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2016高考数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和课件 理 苏教版


数学

苏(理)

第六章 数 列

§6.3 等比数列及其前n项和

? 基础知识·自主学习 ? 题型分类·深度剖析 ? 思想方法·感悟提高

? 练出高分

1.等比数列的定义 如果一个数列 从第二项起,每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数(不为零)

,那么这个数列叫做等比数列,

这个常数叫做等比数列的 公比 ,通常用字母 q 表示.

2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an= a1· qn-1 . 3.等比中项

b (ab≠0) ,那么G叫做a与b的等比中项. 若 G2=a·

4.等比数列的常用性质
qn-m (n,m∈N*). (1)通项公式的推广:an=am·

(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n (k,l,m,n∈N*),则 a k· a l =a m · an .
? ?1? ? ? ?, (3)若{an}, {bn}(项数相同)是等比数列, 则{λan}(λ≠0), ? ?an? ? ?an? 2 ?仍是等比数列. {an},{an· bn},? ? ?bn? ? ? ?

5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,

当q=1时,Sn=na1;
a1?1-qn? a1-anq 当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q

6.等比数列前n项和的性质
公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,
n S3n-S2n仍成等比数列,其公比为 q .

? 思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 满 足 an + 1 = qan(n∈N* , q 为 常 数 ) 的 数 列 {an} 为 等 比 数 × 列.( )

×
)

(2)G为a,b的等比中项?G2=ab.(

(3)如果 {an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等 ×

(4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( × )
(5)等比数列{an}的首项为a,公比为-1,前n项和为Sn,则 S2n=0,S2n-1=a.( √ )
5 1 - b (6)1+b+b2+b3+b4+b5= .( × ) 1-b

题号
1

答案
-24 -7

解析

2
3

4
2 2n+1-2

4

设等比数列的公比为q, 由a2+a4=20,a3+a5=40.

得20q=40,且a1q+a1q3=20,解得q=2,且a1=2.
a1?1-qn? n+1 因此 Sn= =2 -2. 1-q

解析

答案

思维升华

题型一 等比数列基本量的运算

例1

(1)设{an}是由正数组成

的等比数列, Sn 为其前 n 项和 . 已 知 a2a4 = 1 , S3 = 7 , 则 S5 = .

解析

答案

思维升华

题型一 等比数列基本量的运算

显然公比q≠1,
?a1q· a1q3=1, ? 3 由题意得?a1?1-q ? =7, ? ? 1-q
?a1=4, ? 解得? 1 ?q=2 ?

例1

(1)设{an}是由正数组成

的等比数列, Sn 为其前 n 项和 . 已 知 a2a4 = 1 , S3 = 7 , 则 S5 = .

解析

答案

思维升华

题型一 等比数列基本量的运算

例1

(1)设{an}是由正数组成

的等比数列, Sn 为其前 n 项和 . 已 知 a2a4 = 1 , S3 = 7 , 则 S5 = .

?a1=9 ? 或? 1 ?q=-3 ?

(舍去),

a1?1-q5? ∴S5= 1-q

1 4?1-25? 31 = 1 =4. 1-2

解析

答案

思维升华

题型一 等比数列基本量的运算

例1

(1)设{an}是由正数组成

的等比数列, Sn 为其前 n 项和 . 已 知 a2a4 = 1 , S3 = 7 , 则 S5 31 = 4 .

?a1=9 ? 或? 1 ?q=-3 ?

(舍去),

a1?1-q5? ∴S5= 1-q

1 4?1-25? 31 = 1 =4. 1-2

解析

答案

思维升华

题型一 等比数列基本量的运算

例1

(1)设{an}是由正数组成

等比数列基本量的运算是
等比数列中的一类基本问

的等比数列, Sn 为其前 n 项和 . 已 知 a2a4 = 1 , S3 = 7 , 则 S5 31 = 4 .

题,数列中有五个量a1,
n,q ,an, Sn,一般可以 “知三求二”,通过列方 程(组)可迎刃而解.

解析

答案

思维升华

例1

(2) 在等比数列 {an} 中,

若a4-a2=6,a5-a1=15,则 a3= .

解析

答案

思维升华

例1

(2) 在等比数列 {an} 中,

设等比数列 {an} 的公比为 q(q≠0),
?a1q3-a1q=6, 则? 4 ?a1q -a1=15,

若a4-a2=6,a5-a1=15,则 a3= .

2 q 两式相除,得 2= , 1+q 5 即2q2-5q+2=0, 1 解得 q=2 或 q=2.

解析

答案

思维升华

例1

(2) 在等比数列 {an} 中,

若a4-a2=6,a5-a1=15,则 a3= .

?a1=1, 所以? ?q=2

?a1=-16, ? 或? 1 ?q=2. ?

故a3=4或a3=-4.

解析

答案

思维升华

例1

(2) 在等比数列 {an} 中,

若a4-a2=6,a5-a1=15,则 a3= 4或-4 .

?a1=1, 所以? ?q=2

?a1=-16, ? 或? 1 ?q=2. ?

故a3=4或a3=-4.

解析

答案

思维升华

例1

(2) 在等比数列 {an} 中,

若a4-a2=6,a5-a1=15,则 a3= 4或-4 .

等比数列基本量的运算是
等比数列中的一类基本问

题,数列中有五个量a1,
n,q ,an, Sn,一般可以 “知三求二”,通过列方 程(组)可迎刃而解.

跟踪训练1

(1)已知正项数列{an}为等比数列,且5a2是a4与

3a3的等差中项,若a2=2,则该数列的前5项的和为 31 . 解析 设{an}的公比为q,q>0. 由已知得a4+3a3=2×5a2, 即a2q2+3a2q=10a2,q2+3q-10=0, 解得q=2或q=-5(舍去), 又a2=2,则a1=1,

a1?1-q5? 1×?1-25? 所以 S5= = =31. 1-q 1-2

(2)(2014· 天津 ) 设 {an} 是首项为 a1 ,公差为- 1 的等差数列, 1 Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为-2 .
n?n-1? 解析 因为等差数列{an}的前 n 项和为 Sn=na1+ 2 d,
所以S1,S2,S4分别为a1,2a1-1,4a1-6. 因为S1,S2,S4成等比数列,
1 2 所以(2a1-1) =a1· (4a1-6),解方程得a1=- 2

.

题型二 等比数列的性质及应用 例2 (1)在等比数列{an}中,各

解析

答案

思维升华

项均为正值,且 a6a10 + a3a5 =
41,a4a8=5,则a4+a8= .

题型二 等比数列的性质及应用 例2 (1)在等比数列{an}中,各

解析

答案

思维升华

由 a6a10+a3a5=41 及 a6a10
2 =a2 , a a = a 8 3 5 4, 2 得 a4 +a2 8=41.因为 a4a8=5,

项均为正值,且 a6a10 + a3a5 =
41,a4a8=5,则a4+a8= .

所以 (a4 + a8)2 = a 2 4 + 2a4a8 +a2 8=41+2×5=51.
又 an>0, 所以 a4+a8= 51.

题型二 等比数列的性质及应用 例2 (1)在等比数列{an}中,各

解析

答案

思维升华

由 a6a10+a3a5=41 及 a6a10
2 =a2 , a a = a 8 3 5 4, 2 得 a4 +a2 8=41.因为 a4a8=5,

项均为正值,且 a6a10 + a3a5 =
41,a4a8=5,则a4+a8=

51 .

所以 (a4 + a8)2 = a 2 4 + 2a4a8 +a2 8=41+2×5=51.
又 an>0, 所以 a4+a8= 51.

题型二 等比数列的性质及应用 例2 (1)在等比数列{an}中,各

解析

答案

思维升华

(1) 在解决 等 比 数 列 的 有 关问题时,要注意挖掘隐 含条件,利用性质,特别 则 a m· a n = a p· aq” , 可 以

项均为正值,且 a6a10 + a3a5 =
41,a4a8=5,则a4+a8=

51 .

是性质 “ 若 m + n = p + q , 减少运算量,提高解题速

题型二 等比数列的性质及应用 例2 (1)在等比数列{an}中,各

解析

答案

思维升华

(2) 在应用 相 应 性 质 解 题

项均为正值,且 a6a10 + a3a5 =
41,a4a8=5,则a4+a8=

时,要注意性质成立的前
提条件,有时需要进行适 当变形 . 此外,解题时注 意设而不求思想的运用.

51 .

解析

答案

思维升华

(2)等比数列{an}的首项 a1 S10 31 =-1, 前 n 项和为 Sn, 若 S =32, 5 例 2 则公比 q= .

解析

答案

思维升华

(2)等比数列{an}的首项 a1 S10 31 由 S =32,a1=-1 知公 5 S10 31 =-1, 前 n 项和为 Sn, 若 S =32, 比 q≠1, 5 例 2 则公比 q= .

S10-S5 1 则可得 S =-32.
5

由等比数列前 n 项和的性
质知S5,S10-S5,S15-S10

成等比数列,且公比为 q5 ,

解析

答案

思维升华

(2)等比数列{an}的首项 a1 S10 31 =-1, 前 n 项和为 Sn, 若 S =32, 5 例 2 则公比 q= .

1 故 q =-32,
5

1 q=-2.

解析

答案

思维升华

(2)等比数列{an}的首项 a1 S10 31 =-1, 前 n 项和为 Sn, 若 S =32, 5 1 则公比 q= -2 . 例 2

1 故 q =-32,
5

1 q=-2.

解析

答案

思维升华

(2)等比数列{an}的首项 a1 (1) 在解决 等 比 数 列 的 有 S10 31 =-1, 前 n 项和为 Sn, 若 S =32, 5 关问题时,要注意挖掘隐 1 则公比 q= -2 . 含条件,利用性质,特别 例 2

是性质 “ 若 m + n = p + q ,
则 a m· a n = a p· aq” , 可 以

减少运算量,提高解题速

解析

答案

思维升华

(2)等比数列{an}的首项 a1 (2) 在应用 相 应 性 质 解 题 S10 31 =-1, 前 n 项和为 Sn, 若 S =32, 5 1 时,要注意性质成立的前 则公比 q= -2 . 提条件,有时需要进行适 例 2

当变形 . 此外,解题时注 意设而不求思想的运用.

跟踪训练 2

(1) 设等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,若 S6∶S3 =

1∶2,则S9∶S3= 3∶4 .

解析 由等比数列的性质:S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,
于是(S6-S3)2=S3· (S9-S6),
1 S9 3 将 S6=2S3 代入得S =4. 3

(2) 在等比数列 {an} 中,若 a1a2a3a4 = 1 , a13a14a15a16 = 8 ,则 a41a42a43a44= .

解析 方法一 a1a2a3a4=a1· a1q· a1q2· a1q3
6 =a4 · q =1,① 1

a13a14a15a16=a1q12· a1q13· a1q14· a1q15
54 =a4 · q =8,② 1

(2) 在等比数列 {an} 中,若 a1a2a3a4 = 1 , a13a14a15a16 = 8 ,则 a41a42a43a44= .

54 a4 · q 1 48 16 ②÷ ①: a4· 6 =q =8?q =2, 1q

又a41a42a43a44=a1q40· a1q41· a1q42· a1q43
166 4 6 160 =a4 · q = a q· q 1 1·

=(a4 q6)· (q16)10=1· 210=1 024. 1·

(2) 在等比数列 {an} 中,若 a1a2a3a4 = 1 , a13a14a15a16 = 8 ,则 a41a42a43a44= 1 024 .

方法二 由性质可知, 依次 4 项的积为等比数列, 设公比为 p,
设T1=a1· a 2· a3· a4=1, T4=a13· a14· a15· a16=8, ∴T4=T1· p3=1· p3=8?p=2. ∴T11=a41· a42· a43· a44=T1· p10=210=1 024.

(3)设数列{an}、{bn}都是正项等比数列,Sn、Tn分别为数列 9 Sn n {lg an}与{lg bn}的前n项和,且 = ,则logb5a5= 19 . Tn 2n+1
a2· ?· a9? S9 lg?a1· 解析 由题意知T = lg?b1· b2· ?· b9? 9 lg a9 lg a5 5 =lg b9=lg b 5 5 9 =logb5a5=19.

解析

思维升华

题型三 等比数列的判定与证明
例3 已知数列 {an} 的前 n 项和

为Sn,且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是 等比数列;

解析

思维升华

题型三 等比数列的判定与证明
例3 已知数列 {an} 的前 n 项和

证明 ∵an+Sn=n,①
∴an+1+Sn+1=n+1.②

为Sn,且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是 等比数列;

②-①得 an + 1 - an + an + 1
=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1

an - 1 1 -1) = a +1 n-1, ∴ =2, an-1

解析

思维升华

题型三 等比数列的判定与证明
例3 已知数列 {an} 的前 n 项和 ∴{an-1}是等比数列.

为Sn,且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是 等比数列;

1 又 a1+a1=1,∴a1=2,
∵cn=an-1,

∴首项c1=a1-1,
1 1 ∴c1=-2,公比 q=2.

解析

思维升华

题型三 等比数列的判定与证明
例3 已知数列 {an} 的前 n 项和

为Sn,且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是 等比数列;

1 ∴{cn}是以-2为首项, 1 以2为公比的等比数列.

解析

思维升华

题型三 等比数列的判定与证明 (1) 证明一个数列为等比数 例 3 已知数列 {an} 的前 n 项和 列常用定义法与等比中项 法,其他方法只用于填空 为Sn,且an+Sn=n. 题中的判定;若证明某数 (1)设cn=an-1,求证:{cn}是 列不是等比数列,则只要 证明存在连续三项不成等 等比数列; 比数列即可. (2) 利用递推关系时要注意 对n=1时的情况进行验证.

解析

思维升华

例3 (2)求数列{an}的通项公式.

解析

思维升华

例3 (2)求数列{an}的通项公式.

由 (1) 可 知 cn = ? 1? ?1? ?1? ? ? ? ?n-1 ? ?n - =-?2? , ? 2?· ? ? ? ? ?2? ? ? 解
?1? ?n ∴an=1-? ?2? . ? ?

解析

思维升华

例3 (2)求数列{an}的通项公式.

(1) 证明一个数列为等比数 列常用定义法与等比中项 法,其他方法只用于填空 题中的判定;若证明某数 列不是等比数列,则只要 证明存在连续三项不成等 比数列即可. (2) 利用递推关系时要注意 对n=1时的情况进行验证.

跟踪训练3

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1

=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; 证明 由a1=1及Sn+1=4an+2, 有a1+a2=S2=4a1+2. ∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.

跟踪训练3

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1

=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;
?Sn+1=4an+2, 又? ?Sn=4an-1+2,

① ②

①-②,得an+1=4an-4an-1, ∴an+1-2an=2(an-2an-1).

跟踪训练3

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1

=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; ∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1, 故{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.

(2)求数列{an}的通项公式.



由(1)知bn=an+1-2an=3· 2n-1,

an+1 an 3 ∴ n+1-2n=4, 2 1 3 an 故{2n}是首项为2,公差为4的等差数列. 3 3n-1 an 1 ∴2n=2+(n-1)· 4= 4 ,

得an=(3n-1)· 2n-2.

思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用

典例:(14分)(2013· 天津)已知首项为3 的等比数列{an}的前n项和为 2 Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
思 维 点 拨
规 范 解 答 温 馨 提 醒

思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用

典例:(14分)(2013· 天津)已知首项为3 的等比数列{an}的前n项和为 2 Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
思 维 点 拨
规 范 解 答 温 馨 提 醒

利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项 公式;

思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用

典例:(14分)(2013· 天津)已知首项为3 的等比数列{an}的前n项和为 2 Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
思 维 点 拨
规 范 解 答 温 馨 提 醒

解 设等比数列{an}的公比为q,

因为-2S2,S3,4S4成等差数列,
所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,

思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用

典例:(14分)(2013· 天津)已知首项为3 的等比数列{an}的前n项和为 2 Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
思 维 点 拨
规 范 解 答 温 馨 提 醒
3分

a4 1 可得 2a4=-a3,于是 q=a =-2. 3 3 又 a1=2,所以等比数列{an}的通项公式为 ? 3 ? ? 1?n-1 n-1 3 an=2×?-2? =(-1) · n. 2 ? ?

5分

思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用

典例:(14分)(2013· 天津)已知首项为3 的等比数列{an}的前n项和为 2 Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
思 维 点 拨
规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有:

①已知Sn与an的关系,要分n=1,n≥2两种情况.
②等比数列中遇到求和问题要分公比q=1,q≠1讨论.

思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用

典例:(14分)(2013· 天津)已知首项为3 的等比数列{an}的前n项和为 2 Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
思 维 点 拨
规 范 解 答 温 馨 提 醒

③项数的奇、偶数讨论.

④等比数列的单调性的判断注意与a1,q的取值的讨论.

思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用

典例:(14分)(2013· 天津)已知首项为3 的等比数列{an}的前n项和为 2 Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
思 维 点 拨
规 范 解 答 温 馨 提 醒

(2)数列与函数有密切的联系,证明与数列有关的不等式,一
般是求数列中的最大项或最小项,可以利用图象或者数列的

增减性求解,同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.

1 13 (2)证明:Sn+S ≤ 6 (n∈N*). n
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒

1 13 (2)证明:Sn+S ≤ 6 (n∈N*). n
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒

求出前n项和,根据函数的单调性证明.

1 13 (2)证明:Sn+S ≤ 6 (n∈N*). n
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒

证明

? 1? ?n - 由(1)知,Sn=1-? ? 2? , ? ?

? 1? 1 1 ? ?n Sn+S =1-?-2? + ? 1? ? ? n ?n - 1-? ? 2? ? ?

1 13 (2)证明:Sn+S ≤ 6 (n∈N*). n
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒

1 ? ?2+ n n ,n为奇数, 2 ?2 +1? ? =? 1 ? 2+ n n ,n为偶数. ? 2 ?2 -1? ?

8分

1 当 n 为奇数时,Sn+S 随 n 的增大而减小, n

1 13 (2)证明:Sn+S ≤ 6 (n∈N*). n
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒
10分

1 1 13 所以 Sn+S ≤S1+S = 6 . n 1 1 当 n 为偶数时,Sn+S 随 n 的增大而减小, n

1 1 25 所以 Sn+S ≤S2+S =12. n 2

12分

1 13 (2)证明:Sn+S ≤ 6 (n∈N*). n
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒

1 13 故对于 n∈N ,有 Sn+S ≤ 6 . n
*

14分

1 13 (2)证明:Sn+S ≤ 6 (n∈N*). n
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有: ①已知Sn与an的关系,要分n=1,n≥2两种情况. ②等比数列中遇到求和问题要分公比q=1,q≠1讨论. ③项数的奇、偶数讨论.

④等比数列的单调性的判断注意与a1,q的取值的讨论.

1 13 (2)证明:Sn+S ≤ 6 (n∈N*). n
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(2)数列与函数有密切的联系,证明与数列有关的不等式,
一般是求数列中的最大项或最小项,可以利用图象或者

数列的增减性求解,同时注意数列的增减性与函数单调
性的区别.

方 法 与 技 巧

1.已知等比数列{an}
1 2 {an},{a } 也 (1)数列{c· an}(c≠0),{|an|}, n

是 等

比数列. (2)a1an=a2an-1=?=aman-m+1.

2.判断数列为等比数列的方法

方 法 与 技 巧

an+1 (1)定义法: a =q(q 是不等于 0 的常数, n∈N*)? n an 数列{an}是等比数列; 也可用 =q(q 是不等于 0 an-1 的常数,n∈N*,n≥2)?数列{an}是等比数列.二者 的本质是相同的,其区别只是 n 的初始值不同.

方 法 与 技 巧

(2) 等 比 中 项 法 : a 2 n+1 = anan + 2(anan + 1an + 2≠0 , n∈N*)?数列{an}是等比数列.

3.解题中要注意选用等比数列的性质,减少运算量.

失 误 与 防 范

1.注意等比数列中的分类讨论.

2.由an+1=q· an(q≠0),并不能断言{an}是等比数列,
还要验证a1≠0.

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1.(2014· 重庆改编)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的
是 ④ (填序号).

①a1,a3,a9成等比数列 ②a2,a3,a6成等比数列
③a2,a4,a8成等比数列 ④a3,a6,a9成等比数列

a6 a9 3 解析 设等比数列的公比为 q, 因为a =a =q , 即 a2 6=a3a9, 3 6
所以a3,a6,a9成等比数列.

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2.(2014· 大纲全国改编 ) 等比数列 {an} 中, a4 = 2 , a5 = 5 ,

则数列{lg an}的前8项和为 4 .
解析 数列{lg an}的前8项和S8=lg a1+lg a2+?+lg a8=

lg(a1· a2· ?· a8)=lg(a1· a8)4 =lg(a4· a5)4=lg(2×5)4=4.

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3.(2013· 课标全国 Ⅱ 改编 ) 等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,
1 已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1= 9 .

解析 设等比数列{an}的公比为q,

由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,
即a3=9a1,q2=9, 又a5=a1q4=9,所以a1=1 .
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4.一个等比数列的前三项的积为3,最后三项的积为9,且所有项
的积为729,则该数列的项数是 12 .

解析 设该等比数列为{an},其前n项的积为Tn,
则由已知得a1· a2· a3=3,an-2· an-1· an=9, (a1· an)3=3×9=33, ∴a1· an=3,又Tn=a1· a2· ?· an-1· an, Tn=an· an-1· ?· a2· a1, ∴T=(a1· an)n,即7292=3n,∴n=12.

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5.设各项都是正数的等比数列{an},Sn为前n项和,且S10=10,

S30=70,那么S40=
解析 比数列,

.

依题意,数列 S10 , S20 - S10 , S30 - S20 , S40 - S30 成等

因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20), 即(S20-10)2=10(70-S20),

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故S20=-20或S20=30; 又S20>0, 因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40, 故S40-S30=80.

S40=150.
答案 150

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6.等比数列{an}中,Sn表示前n项和,a3=2S2+1,a4=2S3+1,
则公比q为 3 . 解析 由a3=2S2+1,a4=2S3+1得 a4-a3=2(S3-S2)=2a3,

a4 ∴a4=3a3,∴q=a =3. 3

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7.等比数列{an}的前n项和为Sn,公比不为1.若a1=1,则对 任意的n∈N*,都有an+2+an+1-2an=0,则S5= 11 . 解析 利用“特殊值”法,确定公比. 由题意知a3+a2-2a1=0,设公比为q,则a1(q2+q-2)=0. 由q2+q-2=0解得q=-2或q=1(舍去),
a1?1-q5? 1-?-2?5 则 S5= = =11. 3 1-q

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8. 设等比数列 {an}的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn ,若 a1 =1,a3=4,Sk=63,则k= 6 . 解析 设等比数列{an}公比为q,由已知a1=1,a3=4, a3 2 得 q =a =4. 1 又{an}的各项均为正数,∴q=2.

1-2k k-1=63,解得k=6. 而 Sk= =63, ∴ 2 1-2

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9.已知等差数列{an}满足a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; 解 设等差数列{an}的公差为d,
?a1+d=2, 则由已知得? ∴a1=0,d=2. ?a1+4d=8.

∴an=a1+(n-1)d=2n-2.

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(2) 各项均为正数的等比数列 {bn} 中, b1 = 1 , b2 + b3 = a4 , 求{bn}的前n项和Tn. 解 设等比数列{bn}的公比为q,则由已知得q+q2=a4, ∵a4=6,∴q=2或q=-3. ∵等比数列{bn}的各项均为正数,∴q=2.
b1?1-qn? 1×?1-2n? n =2 -1. ∴{bn}的前 n 项和 Tn= = 1-q 1-2

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10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(n∈N*). (1)证明:数列{an}是等比数列; 证明 依题意Sn=4an-3(n∈N*),

n=1时,a1=4a1-3,解得a1=1.
因为Sn=4an-3,则Sn-1=4an-1-3(n≥2),

所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,

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4 整理得 an=3an-1.
又a1=1≠0,所以{an}是首项为1,
4 公比为3的等比数列.

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(2) 若数列 {bn} 满足 bn + 1 = an + bn(n∈N*) ,且 b1 = 2 ,求数列 {bn}的通项公式. 4 n-1 解 因为 an=(3) , 由bn+1=an+bn(n∈N*),
4 n-1 得 bn+1-bn=(3) . 可得bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+?+(bn-bn-1)

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4 n-1 1-?3? =2+ 4 1-3 4 n-1 =3· (3) -1(n≥2),

当n=1时也满足,
4 n-1 所以数列{bn}的通项公式为 bn=3· (3) -1.

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1.等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a2+a3+a4=1,

a5+a6+a7+a8=2,Sn=15,则项数n为
a5+a6+a7+a8 4 解析 =q =2, a1+a2+a3+a4

.

由a1+a2+a3+a4=1,
1-q4 得 a1· =1,∴a1=q-1, 1-q

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a1?1-qn? 又 Sn=15,即 =15, 1-q
∴qn=16,又∵q4=2,∴n=16. 答案 16

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2.(2013· 福建改编)已知等比数列{an}的公比为q,记bn=am(n-1)+1 +am(n-1)+2+?+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1· am(n-1)+2· ?· am(n-1)+m (m,n∈N*),则以下结论一定正确的是 ①数列{bn}为等差数列,公差为qm; ②数列{bn}为等比数列,公比为q2m; ③数列{cn}为等比数列,公比为 ④数列{cn}为等比数列,公比为 ; .
m2

.

q

q

mm

m ?1 2

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解析 ∵bn=am(n-1)(q+q2+?+qm)

bn+1 amn?q+q2+?+qm? amn m ∴ b = = = q (常数). 2 m am?n-1??q+q +?+q ? am?n-1? n
bn+1-bn不是常数.
m ?1 m 2

又∵cn=(am(n-1))mq1+2+?+m=(am(n-1)q ) , cn+1 amn m m2 m m ∴ c =( ) =(q ) =q (常数). 答案 ③ am?n-1? n

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3.已知数列{an}是等比数列,a1,a2,a3依次位于下表中第 一行,第二行,第三行中的某一格内,又a1,a2,a3中任何 两个都不在同一列,则an= 第一列 第一行 1 (n∈N*). 第二列 10 第三列 2

第二行
第三行

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解析 观察题中的表格可知a1,a2,a3分别为2,6,18,
即{an}是首项为2,公比为3的等比数列, ∴an=2· 3n-1. 答案 2· 3n-1

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4.在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*. (1)证明数列{an-n}是等比数列; 证明 由题设an+1=4an-3n+1, 得an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*.

又a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为1,
且公比为4的等比数列.

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(2)求数列{an}的前n项和Sn. 解 由(1)可知an-n=4n-1, 于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n,
4n-1 n?n+1? 所以数列{an}的前 n 项和 Sn= 3 + 2 .

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5.已知首项为 3 的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为 2 Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.

..

(1)求数列{an}的通项公式;

解 设等比数列{an}的公比为q,
因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列, 所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,

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a5 1 于是 q =a =4. 3
2

3 1 又{an}不是递减数列且 a1=2,所以 q=-2.

故等比数列{an}的通项公式为
? 3 ? ? 1?n-1 n-1 3 an=2×?-2? =(-1) · 2n. ? ?

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1 (2)设 Tn=Sn-S (n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小 n 项的值.
? ?1+ 1n,n为奇数, ? 1? 2 ? ?n ? 由(1)得 Sn=1-?-2? =? ? ? 1 ? 1-2n,n为偶数. ? ?



当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,

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3 所以 1<Sn≤S1=2, 1 1 3 2 5 故 0<Sn-S ≤S1-S =2-3=6. n 1

当n为偶数时,Sn随n的增大而增大, 3 所以4=S2≤Sn<1, 1 1 3 4 7 故 0>Sn-S ≥S2-S =4-3=-12. n 2

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7 1 5 综上,对于 n∈N ,总有-12≤Sn-S ≤6. n
*

5 7 所以数列{Tn}最大项的值为6,最小项的值为-12.


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