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§19 三角函数的有关概念(1)-1


则 x1 ? x 2 的最小值是_______ 3 . 不 等式 tan x ? ?1 的 解集是 是 4.函数 y ? 思考题: 求函数 y ? sin x cos x ? sin x ? cos x 的值域 ( y ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 3 cos2 x ? 1的值域) §28 【基本训练】 1 . 判 断 函 数 的 奇 偶 性 : ① y ? lg cos x __________ ②
3? y ? sin( ? x) __________ 2

, 不等 式 sin x ? cos x ? 1 的 解 集


cos x ? 3 的值域是 cos x ? 2

三角函数的性质(2)

2.函数 y ? t an ( ? ) 的对称中心是___________,函数 y ? s in ( x ? ) 的对 x 2
4 3

?

?

称轴方程是___________ 3.y ? cos 2 x 的单调递减区间为___________________;y ? 2 sin(? x) 的单调 递 增 区 间 为 ___________________ ; y ? tan x 的 单 调 递 减 区 间 为 _____________________ 4.若 f (x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? sin x, 则 x ? 0 时 f (x) ? 5. 若 函 数 f ( x) ? 3 s i n (x ? ? ) 对 任 意 实 数 x 都 有 f ( ? x) ? f ( ? x), 则 ?
f ( ) ? ________ 6

?

?

?

6

6

【典型例题讲练】
1

例 1 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图象的一条对称轴是直线
x?

?
8

,
(2) 求函数 y ? f (x) 的单调减区间;

(1) 求 ? ;

证明直线 5x ? 2 y ? c ? 0 与函数 y ? f (x) 的图象不相切 例 2 求下列函数的单调区间:
(1) y ? 1 ? 2x sin( ? ); 2 3 3
(2) y ? ? cos(x ?

?
4

)

例 3 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,其图象关于 点M(
3? ? ,0) 对称,且在区间 [0, ] 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值. 2 4

练习:若函数 y ? f (x) 的图象和 y ? sin(x ? ) 的图象关于点 M ( ,0) 对称,则
4 4
f (x) 的表达式是_________________

?

?

【课堂检测】 1.函数 y ? sin 2 x 的对称轴方程为 _________ , 函数 y ? cos(x ? ) 的对称中
2

?

心坐标为 _________ 2.求下列函数的单调区间 (1) y ? sin( ? 3x) ; (2) f ( x) ? sin x(sin x ? cos x)
4

?

3.已知 f ( x) ? sin(x ? ? ) ? 3 sin(x ? ? ) 为偶函数,求 ? 的值.

【课后作业】 1.已知函数 y ? 3 sin ωx cos ωx ? cos2 ωx+ , ? R,ω ? R) 的最小正周期为 π , (x 且当 x ? 时,函数有最小值,(1)求 f ( x) 的解析式;(2)求 f ( x) 的单调
2

3 2

π 6

递增区间。 2.求函数 y ? log 1 [cos( ? )] 的单调区间
2

x 3

?

4

3.已知向量 a ? (2 cos , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 令f ( x) ? a ? b .
4 4 4

x 2

x 2

?

x 2

?

x 2

?

求函数 f(x)的最大值, 最小正周期, 并写出 f(x)在[0, π]上的单调区间. (江西卷) 思考题: §29 三角函数的最值问题(1) 【基本训练】 1.(1)设 M 和 N 分别表示函数 y ? 1 cos x ? 1 的最大值和最小值,则 M+N 等于
3

_______. (2)函 数 y ? 4 s inx co sx 在 区 间 [0, 2 ? ]上 的 最 大 值 为 _______, 最 小 值为
3

_______. 2.(1)函数 y ? sin x ? cos x 的最大值为_______,最小值为_______.
? x) 的最大值为_______. 3 6 3.函数 y ? sin 2 x ? 5 sin x ? 5 的最大值为_______,最小值为_______. 2 2 4.函数 f ( x) ? sin x ? 1 , x ? (0, ? ) ,则 f (x) 的最小值是_______. sin x ? x) ? sin(

(2)函数 y ? 2 sin(?

?

5.函数 y ?

cos x 的最大值为_______. cos x ? 1

【典型例题讲练】 例1 求函数 y ? sin x ?
3 cos x 在区间[ ?

? ?

, 2 2

]上的最大值与最小值.

3

练习: 例2

函数 y ? sin x(cos x ? sin x)(0 ? x ? ? ) 的最大值是
4 2

函数 f ( x) ? cos x ? 1 cos 2 x( x ? R) 的最大值等于_______ 已知 k ? ?4, 则函数 y ? cos 2x ? k (cos x ?1) +1 的最小值是多少?

练习: 例3

求函数 y ? (4 ? 3sin x)(4 ? 3 cos x) 的最小值. 求函数
y ? (sin x ? a)(cos x ? a)

练习:

的最大值与最小值(其中 ?1 ? a ? 0) .

【课堂检测】 已知 sin x ? sin y ? 1 ,求 sin y ? cos2 x 的最大值与最小值.
3

1.当

时,函数

的最大值是 ,最小值是

2. 函数 y ? cos2 x ? 3 cos? 2 的最小值为 3.函数 y ?
1 的最大值是 2 ? sin x ? cos x

§30 三角函数的最值问题(2) 【基础练习】 1.若函数 y ? a ? b sin(4 x ? ) 的最大值和最小值分别为 5 和 1,则
3

?

a?

,b ?
3 ? x) ? cos(

.
?
6 ? x) 的最小值为_______.

2. 函数 y ? 2 sin(?

3. 函数 y ? cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 7 的最大值_________.
4

4.函数 y ?

sin x 的最小值为 ______, sin x ? 2

,最大值为 _______ .

【典型例题】 例1 已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ? ? ) ?
3 3 sin 2 x ? sin x cos x ,求函数 f (x) 的最大、最

4

小值. 练习: 已知
f ( x) ? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? a ? 1.(a ? R, a 为常数).(1)若 x ? R, 求

(2)若 f (x) 在[0, f (x) 的最小正周期; 的值.

? ]上的最大值与最小值之和为 5,求 a 6

例 2 设关于 x 的函数 y ? 2 cos2 x ? 2a cos x ? (2a ? 1) 的最小值为 f (a) . (1)写出 f (a) 的表达式; (2)试确定使 f (a) ? 的 a 值,并对此时的 a ,求 y 的最大值. 例3 扇形 AOB 的半径为 1,中心角为 60? , 问 PQRS 是扇形的内接矩形, P 在
1 2

怎样的位置时,矩形 PQRS 的面积最大,并求出这个最大值.

B

Q

P

O R S

A

【课堂检测】 1.若 f ( x) ? 2 sin ?x(0 ? ? ? 1) 在区间 [0, ? ] 上得最大值是
3
2

.则的值是 _______

2.求函数 y ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 3 cos2 x 的最大值和最小值及相应 x 的值. 【课外作业】
3 sin x cos x ? 1 , x ? R 2 (I)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; 1 2

1.已知函数 y ? cos2 x ?

(II)该函数的图象可由 y ? sin x ( x ? R )的图象经过怎样的平移和伸缩 变换得到?
5

2.已知函数 f ( x) ? 2a s in2 x ? 2 3a s in x cosx ? b ? 1 的定义域为 [0, ] ,值域为
2
[?5,1] ,求 a, b 之值.

?

§31 两角和与差的三角函数式(1) 【考点及要求】 1. 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.

2.能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值. 【基础知识】 :
sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ?

; ; tan(? ? ? ) ? 用、 用和 用 .

公式的“三用”指 【基本训练】

1.(1) sin17? cos 47? ? sin 73? cos 43? =
1 ? tan15? 2. (1 ? tan 26? )(1 ? tan19? ) ?

(2) 1 ? tan15? =___________
π

3.若 tan ? ? ? ? ? 3 ,则 cot ? 等于 ? ? 4
? ?

4.若 tan ? ? 3 , tan ? ? ,则 tan(? ? ? ) 等于 5.求值 2 sin 50 0 (1 ? 3 tan10 0 ) = 【典型例题讲练】 例1 练习: 求值: 2 sin 50? ? sin 80?(1 ?
1 ? sin 20? cos10? ? 1 ? sin 2 100?
3 tan10?) 1 ? cos10?

4 3



例2 设 ? ? ( ? , ? ), 若 sin ? ? 4 , 试求: (1)
2 5
6

2 cos(? ?

?
4

(2) tan(? ? );

?
3

).

练习:

设 cos(? ? ? ) ? ? 4 , cos(? ? ? ) ? 12 , ? ? ? ? ( ? , ? ) , ? ? ? ? ( 3? ,2? ) , 求
5 13 2 2

cos 2? , cos 2? 的值.

例 3 已知 cos(? ? ? ) ? m , cos(? ? ? ) ? n , (m ? n ? 0) ,求 tan? ? tan ? . 练习:
sin(? ? ? ) ? 1 , sin(? ? ? ) ? 1 ,则 tan? cot ? =_____________ 2 3

【课堂检测】 1.化简:
3 1 sin ? ? cos ? =___________ 2 2

2. sin 62? cos 28? ? cos118? sin 152? =_______; 3. sin ?

cos 15? ? sin 15? ? ______ . cos 15? ? sin 15?

3 ? 4 ? , cos ? ? , 则 ? 角的终边在第 ____ 2 5 2 5
3 (tan10? ? tan 20?) =

象限. .

4. tan10? tan 20? ?

§32 两角和与差的三角函数式(2) 【基础练习】 1.已知 ? , ? 均为锐角,且 cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ), 则 tan? ? ______ 2. cos ?
6 ? 3 sin

?
6

? ________

3.在 ?ABC 中,若 cos A ? , cos B ? 4.

2 cos10? ? sin 20? 的值为_________ sin 70?

4 5

5 , 则 cos C 的值是_________ 13

【典型例题讲练】 例 1 已知 ? 、 ? 、 ? ? (0, ? ), sin ? ? sin ? ? sin ? , cos ? ? cos ? ? cos ? , 求 ? ? ? 的值.
2

例2

设 cos ? ? 1 , cos(? ? ? ) ? ? 11 , ? ? (0, ? ) , ? ? ? ? ( ? , ? ) ,求 ? .
7 14 2 2

练习:

已知 tan(? ? ? ) ? 1 , tan ? ? ? 1 , ,且 ?、 ? ? (0, ? ) ,求 2? ? ? 的值.
2 7
7

例 3.化简: 例4 求证:

2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ? 2 tan(

?
4

? x) sin 2 (

?
4

1 2

? x)

cos 2 ? cot

?
2

? tan

?
2

?

1 sin 2? . 4

【课堂检测】 1. 化简:
sin 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? cos 2 ? ? 1 cos 2? cos 2? 2

2. 已知: tan(? ? ? ) ? 2 tan ? ,求证: 3 sin ? ? sin(? ? 2? ) 【课后作业】 1.已知 sinα= 3.若 cos(?
5 5

,则 sin4α-cos4α的值为
3[tan(18? ? x) ? tan(12? ? x)]

2.化简: tan(18? ? x) tan(12? ? x) ?
4 ? x) ? 3 17? 7? , ?x? 5 12 4

,求 sin 2 x ? 2 sin
1 ? tan x

2

x

的值.
3 , 4

4.设 ?ABC 中,有 tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B,sin A cos A ? 则此三角形是 三角形。

§33 【基础知识】 1 . cos 2? ?
sin 2? ?

二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)

= , tan 2? ?
?
2

= . ; cos 2
?


?

2 2.在二倍角公式中,可得 sin ?

2

(也称为降次公式);

【基本训练】 1.已知 3sin x ? 2 cos x ? 0 ,则 tan 2x =_______
8

2.已知sin 2? ? , (?

3 5

3? ? ? ? ? ? ),求 cos?的值。 4 2

4.化简 sin 6? cos 24? sin 78? cos 48? = 5.若 sin? ? ? ? ? ,则 cos? ? ? ?
?6 ? 1 3

. .

?

2? ? ? 2? ? = ? 3 ?

【典型例题讲练】
3? ? ? ? ? ? ? ,求 cos(2? ? )的值。 4 2 2 4 3? 10 例 3.已知 ? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ? 4 3 (Ⅰ)求 tan ? 的值;

1.已知cos( ? ? ) ? , ?

?

3 5

(Ⅱ)求

5sin 2

?
2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 11cos 2

?
2

?8

?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ?

的值。

【课堂检测】 1.求值: (1) sin 22?30? ? cos 22?30? ? (2) 8sin ? cos ? cos ? cos ? ?
48 48 24 12

2.已知: tan x ? 2 ,则 tan 2( x ? ) ?
4

?

3.化简 2 ? sin 2 2 ? cos 4 = 4.设 f (tan x) ? tan 2 x ,求 f (2) §34 二倍角的正弦、余弦、正切公式(2) 【典型例题讲练】 例 1.已知 tan α ? , β ? , α,β 为锐角,试求 α ? 2 β 的值。 且 tan
1 1 2 7 例 2.若 tan? ? 3 ,求 sin 2? ? cos 2? 的值
2

1 7

1 3

练习:已知 tan(α ? β ) ? , β ? ? ,且α,β ? (0,π ), 2α ? β 的值。 求 tan

例 3.求证: (1)sin ? ? cos ? ? 1 [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] ; (2)sin ? ? sin ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ?
2 2
9

练习:求证: tan ? ?
2

sin ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ?



【课堂检测】 1.化简 cos 2? ? 2 sin 2 ? 得 2.已知 sin? ? cos 2? ,? ? ( , ? ), 求 tan? 3.化简
1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? sin 4? ? cos 4? 2

?

【课后作业】 1.求证:
sin β sin(2α ? β ) ? ? 2cos(α ? β ) sin α sin α

0 2. 已知: 0 ? ? ? ? ? 900 , nss, ? 且ii n

? 是方程 x 2 ? ( 2 cos 400 ) x ? cos 400 ? ? 0 的

1 2

两根, 求 cos(2? ? ? )的值。 3. cos6 ? sin 6 =
8 8

?

?


?

2 cos 2 ? sin ? ? 1 3 ? 2 4.已知 sin 2? ? ,且 0 ? 2? ? ,求 的值。 5 2 ? 2 sin(? ? ) 4

§35 【考点及要求】 1. 掌握正弦定理、余弦定理;

解三角形 (1)

2. 并能初步应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题. 【基础知识】 1.正弦定理: .

利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:
10

(1) (2)

; .
2

2.余弦定理:第一形式:b 2 = a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,第二形式:cosB= a 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1) (2) 3 式 4.△ABC 中, a : b : c ? sin A:sin B:sin C ; 【基本训练】
A ? B ?C ? ?.

? c2 ? b2 2ac

; . . 三 角 形 的 面 积 . 公

2.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若三角形的面积 S= 1 (a2+b2-c2) ,则∠C 的度数是_______.

4

3 . 在 △ ABC 中 , A B? 4 , A C 7 ,M 为 BC 的 中 点 , 且 AM ? 3 ? 5 , 则 ?
BC ?

.
1 3

4.在 △ABC 中,若 tan A ? , C ? 150? , BC ? 1 ,则 AB ? 【典型例题讲练】 例 1 在ΔABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,求 A,C 及边 c. 1. 变 式 : 在 △ABC 中 ,
a ? 2, C ?
a, b c分 别 是 三 个 内 角 A,B,C ,

的对边.若

B 2 5 π , cos ? ,则 △ABC 的面积 S =________________ 2 5 4

例 2 在ΔABC 中,若 2cos B sin A ? sin C ,则ΔABC 的形状为
11

.

【课堂小结】 利用正弦,余弦定理,可以解决以下几类有关三角形的问题. §36 解三角形 (2) 【典型例题讲练】 例 3 在△ABC 中 A=45°,B:C = 4:5 最大边长为 10,求角 B、C、外接 圆半径及面积 S 变式:在△ABC 中以知 A=30°a、b 分别为角 A、B 对边,且 a=4= 解此三角形 例 4.△ABC 的周长为 12, 且 sinA〃cosB-sinB=sinC-sinA〃cosC,则 其面积最大值为 。
3 b 3

变式:△ABC 三内角 A、B、C 成等差数列,则 cos 2 A ? cos2 C 的最小值 为 。

【课堂小结】 常用方法: (1)A+B+C=180° (2)
a ? 2R sin A

可进行角的代换

可进行边角互换 可进行角转化为边 面积与边角联系。

a2 ? b2 ? c2 (3) cosC ? 2ab

(4) S ? ? ab sin C 【课堂检测】

1 2

1.△ABC 中已知∠A=60°,AB :AC=8:5,面积为 10 3 ,则其周长
12



。 。

2.△ABC 中 A:B:C=1:2:3 则 a:b: c= 【课后作业】 1. 若 a、a+1、a+2 为钝角三角形的三边求 a 的范围 2.在 △ABC 中,
tan A 2c ? b ? , 则 ?A ? tan B b

.

3. 在 △ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? . (Ⅰ)求 sin B 的值;
? (Ⅱ)求 sin ? 2 B ? ? 的值 ? ? ? 6?

4 5

13


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