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学生用 第一讲 抛物线


第一讲
一、知识归纳:
1、抛物线的定义:

抛物线

平面内___________________的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上) , 定点 F 叫抛物线的________;定直线 l 叫做抛物线的__________. 2、抛物线的标准方程和几何性质 ( p ? 0) 标准方程
l

y 2 ? 2 px
y

y 2 ? ?2 px
y F

x2 ? 2 py
y F

x 2 ? ?2 py
l
y

l

图形

o F x

o

x

o
l

x

o
F

x

对称轴 顶点坐标 离心率 准线方程 焦半径 范围

x轴
O(0,0)

e ?1
x?? p 2 p 2

| PF |? x0 ?

x?0

二、基础练习:
1、若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0距离相等,则点P的 轨迹方程是_____________
2、已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 B、 2 3 C、 4 ) D、 2 5

M (2, y0 ) 。

3、在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F.且与该撇物线相交于 A、B 两点.其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60?.则△OAF 的面积为 ___________ .

4、已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,

AF ? BF =3

,则

线段 AB 的中点到 y 轴的距离为
3 A. 4




7 D. 4

B.1
2

5 C. 4

5、抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是(
4 A. 3 7 B. 5 8 C. 5



D. 3

6、 已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P,Q 分别作 抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为 ( ) A.1 B.3 C. ? 4 D. ? 8

三、例题讲解:
例 1、如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点 均在抛物线 E : x2 ? 2 py( p ? 0) 上. (1)求抛物线 E 的方程; (2) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P , 与直线 y ? ?1 相交于点 Q . 证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定 点.

2 例 2. 在平 面直 角坐 标系 xOy 中,过定点 C (0,p ) 作直 线与抛物 线 x ? 2 py

( p ? 0 )相交于 A,B 两点. (I)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 △ ANB 面积的最小值; (II)是否存在垂直于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为 定值?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由. (此题不要求在答题卡上画 图)
y

C A O N

B x

例 3.已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (I)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (II)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l2 ,设 l1 与轨迹 C 相交于点
???? ??? ? A, B , l2 与轨迹 C 相交于点 D, E ,求 AD ? EB 的最小值.

2 例 4、在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点, M 是

抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点, 过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q , 点Q 到

3 C 抛物线 的准线的距离为 4 .
(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 是否存在点 M , 使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ? 若存在, 求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线

l : y ? kx ? 1 4 与抛物线 C 有两个不同的交点

1 A, B , l 与圆 Q 有两个不同的交点 D, E ,求当 2 ? k ? 2 时, | AB |2 ? | DE |2 的最小
值.

例 5、(2012 年高考湖南卷理科 21) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2: (x-5)2+y2=9 外,且对 C1 上任意一 点 M,M 到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与 曲线 C1 相交于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B, C,D 的纵坐标之积为定值.

例6:(2013湖南理科21)过抛物线E:x2 =2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1 ,k 2的 两条不同直线l1 ,l2 ,且k1 +k 2 =2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为L. ???? ? ???? (1)若k1 >0,k 2 ? 0, 证明: FM ? FN <2p 2; (2)若点M到直线l的距离的最小值为 7 5 ,求抛物线E的方程. 5

四、巩固练习:
2 1 、过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若

AF ? 3

,则 ?AOB 的面积为(


3 2 (C ) 2

2 ( A) 2

( B)

2

( D) 2 2

2 2 、 过 抛 物 线 y ? 2 x 的 焦 点 F 作 直 线 交 抛 物 线 于 A, B 两 点 , 若

AB ?

25 , AF ? BF , AF 12 则 = _________。

2 x ?2 3、在抛物线 y ? x ? ax ? 5(a≠0) 上取横坐标为 x1 ? ?4 , 2 的两点,过这两 2 2 点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5 x ? 5 y ? 36 相

切,则抛物线顶点的坐标为( (A) (?2, ?9) (B) (0, ?5)

) (C) (2, ?9) (D) (1, ?6)

2 4、已知抛物线 C: y ? 4 x 的焦点为 F,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A,B 两点.则

cos ?AFB =(

4 )(A) 5

3 (B) 5

3 (C) 5 ?

4 (D) 5 ?

5、 设抛物线 y2=8x 的焦点为 F, 准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足. 如 果直线 AF 的斜率为 - 3 ,那么|PF|=( (A) 4 3 (B)8 (C) 8 3 )

(D) 16

???? ??? ? 2 6、已知以 F 为焦点的抛物线 y ? 4 x 上的两点 A、B 满足 AF ? 3FB ,则弦 AB 的中
点到准线的距离为___________. 7、如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A。 (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程。

8.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d,当 P 点运动时,d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和.求 点 P 的轨迹 C;

2 9、 已知抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为 F,过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D.

(Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上;
??? ? ??? ? 8 FA?FB ? 9 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . (Ⅱ)设


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