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2014-2015学年山东省济宁市微山二中高三第四次月考数学试卷(文科)


2014-2015 学年山东省济宁市微山二中高三(下)第四次月考数学 试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|x +x﹣2<0}, A. (﹣1,1) B. (﹣2,1)
2

,则 M∩N=( C. (﹣2,﹣1)

/>
) D. (1,2)

2.已知 i 是虚数单位,设复数 z1=1﹣3i,z2=3﹣2i,则 A. 第一象限 B. 第二象限

在复平面内对应的点在(



C. 第三象限

D. 第四象限

3.已知向量 , 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= A. B. 2 C. 3

,则| |=(

) D. 4

4.已知 sinθ+cosθ= (0<θ< A. B.

) ,则 sinθ﹣cosθ 的值为( C.

) D.

5.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于( ) A. ﹣10 B. ﹣8 C. ﹣6 D. ﹣4 6.下列命题错误的是( A. B. C. D.
2


2

命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1 2 2 “am <bm ”是”a<b”的充分不必要条件 2 2 命题 p:存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则¬p:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0 命题“p 或 q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题

7.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面 积为( )

A.

B.

C.

D.

8.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图) ,要测算 A,B 两点的距离,测量人员在岸边定出基线 BC,测得 BC=50m,∠ABC=105°,∠BCA=45°,就可 以计算出 A,B 两点的距离为( )

A. 50

m

B. 50

m

C. 25

m

D.

m

9.已知函数 y=﹣xf′(x)的图象如图(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数) ,下面四个图象 中,y=f(x)的图象可能是( )

A.

B.

C.

D. 10.已知直线 l,m,平面 α,β,且 l⊥α,m?β,给出下列四个命题: ①若 α∥β,则 l⊥m; ②若 l⊥m,则 α∥β; ③若 α⊥β,则 l∥m; ④若 l∥m,则 α⊥β 其中正确命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2

D. 3

11. 已知函数( f x) = <0 成立,则实数 a 的取值范围为( A. (﹣∞,2) B. (﹣∞, 数根的个数为( A. 2 ) B. 3

满足对任意的实数 x1≠x2 都有 ) ] C. (﹣∞,2] D. , 则方程 2
﹣|x|

=cos2πx 所有实

C. 4

D. 5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.设变量 x,y 满足约束条件:

,则目标函数 z=

的最小值为



14.已知 x>0,y>0,若

+

>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是

2



15.已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若 AB=AA1=2, AC=1,∠BAC=60°,则此球的表面积等于 . 16.下面四个命题:

①已知函数

且 f(a)+f(4)=4,那么 a=﹣4;

②要得到函数

的图象,只要将 y=sin2x 的图象向左平移

单位;

③若定义在(﹣∞,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,则 f(x)是周期函数; ④已知奇函数 f(x)在(0,+∞)为增函数,且 f(﹣1)=0,则不等式 f(x)<0 解集{x|x <﹣1}. 其中正确的是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 (Ⅰ)求 c 的值及数列{an}的通项公式; (Ⅱ)证明: . (c 是常数,n∈N*) ,a2=6.

18.在四棱锥 P﹣ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. (1)若 F 为 PC 的中点,求证:PC⊥平面 AEF; (2)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积 V.

19.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 ,求 cosα 的值.

)的部分图象如图所示.

20.如图所示,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC⊥BC. (1)求证:平面 AB1C1⊥平面 AC1; (2)若 AB1⊥A1C,求线段 AC 与 AA1 长度之比; (3)若 D 是棱 CC1 的中点,问在棱 AB 上是否存在一点 E,使 DE∥平面 AB1C1?若存在, 试确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由.

21.设函数 f(x)=ax﹣lnx,g(x)=e ﹣ax,其中 a 为正实数. (l)若 x=0 是函数 g(x)的极值点,讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 f(x)在(1,+∞)上无最小值,且 g(x)在(1,+∞)上是单调增函数,求 a 的取 值范围;并由此判断曲线 g(x)与曲线 y= ax ﹣ax 在(1,+∞)交点个数.
2

x

三、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答 时请写题号. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,在正△ ABC 中,点 D,E 分别在边 AC,AB 上,且 AD= AC,AE= AB,BD, CE 相交于点 F. (Ⅰ)求证:A,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ)若正△ ABC 的边长为 2,求,A,E,F,D 所在圆的半径.

【选修 4-1:几何证明选讲】 2015?江西二模)在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知曲
2

线 C:ρsin θ=2acosθ(a>0) ,过点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方程为

(t

为参数) ,直线 l 与曲线 C 分别交于 M、N 两点. (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程;

(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值.

【选修 4-5:不等式选讲】 2011?洛阳一模)对于任意的实数 a(a≠0)和 b,不等式|a+b|+|a﹣b|≥M?|a|恒成立,记实数 M 的最大值是 m. (1)求 m 的值; (2)解不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤m.

2014-2015 学年山东省济宁市微山二中高三(下)第四次 月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|x +x﹣2<0}, A. (﹣1,1) B. (﹣2,1)
2

,则 M∩N=( C. (﹣2,﹣1)

) D. (1,2)

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:首先化简集合 M 和 N,然后根据交集的定义求出 M∩N 即可. 解答: 解:∵x +x﹣2<0 即(x+2) (x﹣1)<0 解得:2<x<1 ∴M={x|﹣2<x<1} ∵ 解得:x<﹣1
2

∴N={x|x<﹣1} ∴M∩N=(﹣2,﹣1) 故选:C. 点评:本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

2.已知 i 是虚数单位,设复数 z1=1﹣3i,z2=3﹣2i,则 A. 第一象限 B. 第二象限

在复平面内对应的点在(



C. 第三象限

D. 第四象限

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:直接把复数 z1,z2 代入 ,然后利用复数代数形式的除法运算化简求值,求出 在复

平面内对应的点的坐标,则答案可求. 解答: 解:∵z1=1﹣3i,z2=3﹣2i, ∴ = ,



在复平面内对应的点的坐标为: (



) ,位于第四象限.

故选:D.

点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,是基 础题.

3.已知向量 , 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= A. B. 2 C. 3

,则| |=(

) D. 4

考点:平面向量数量积的运算;向量的模. 专题:平面向量及应用. 分析:将|2 ﹣ |= 平方,然后将夹角与| |=1 代入,得到| |的方程,解方程可得. ,

解答: 解:因为向量 , 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= 所以 4
2

﹣4 ? +

2

=10,即| | ﹣2 (舍) .

2

| |﹣6=0,

解得| |=3

或| |=﹣

故选:C. 点评:本题解题的关键是将模转化为数量积,从而得到所求向量模的方程,利用到了方程的 思想.

4.已知 sinθ+cosθ= (0<θ< A. B.

) ,则 sinθ﹣cosθ 的值为( C.

) D.

考点:同角三角函数间的基本关系. 专题:计算题. 分析:将已知等式左右两边平方, 利用同角三角函数间的基本关系化简, 求出 2sinθcosθ 的值, 再将所求式子平方,利用完全平方公式展开,并利用同角三角函数间的基本关系化简,把 2sinθcosθ 的值代入,开方即可求出值. 解答: 解:将已知的等式左右两边平方得: (sinθ+cosθ) = ∴sin θ+2sinθcosθ+cos θ=1+2sinθcosθ=
2 2 2 2 2 2



,即 2sinθcosθ= ,

∴(sinθ﹣cosθ) =sin θ﹣2sinθcosθ+cos θ=1﹣2sinθcosθ= , ∵0<θ< ,∴sinθ<cosθ,即 sinθ﹣cosθ<0, .

则 sinθ﹣cosθ=﹣

故选 B 点评:此题考查了同角三角函数间的基本关系,以及完全平方公式的运用,熟练掌握基本关 系是解本题的关键.

5.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于( ) A. ﹣10 B. ﹣8 C. ﹣6 D. ﹣4 考点:等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由题意可得,a3=a1+4,a4=a1+6,根据 (a1+4) =a1 (a1+6) ,求得 a1 的值.从而得解. 解答: 解:由题意可得,a3=a1+4,a4=a1+6.∵a1,a3,a4 成等比数列, 2 ∴(a1+4) =a1 (a1+6) , ∴a1=﹣8, ∴a2 等于﹣6, 故选:C 点评:本题考查等差数列的通项公式,等比数列的定义,求出 a1 的值是解题的难点. 6.下列命题错误的是( ) 2 2 A. 命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1 2 2 B. “am <bm ”是”a<b”的充分不必要条件 2 2 C. 命题 p:存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则¬p:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0 D. 命题“p 或 q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析: 对于 A,写出逆否命题,比照后可判断真假; 对于 B,利用必要不充分条件的定义判断即可; 对于 C,写出原命题的否定形式,判断即可. 对于 D,根据复合命题真值表判断即可; 2 2 解答: 解:命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1,故 A 正 确; 2 2 2 2 2 2 “am <bm ”?”a<b”为真, 但”a<b”?“am <bm ”为假 (当 m=0 时不成立) , 故“am <bm ”是”a <b”的充分不必要条件,故 B 正确; 命题 p:存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则¬p:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0,故 C 正确; 命题“p 或 q”为真命题,则命题“p”和命题“q”中至少有一个是真命题,故 D 错误, 故选:D 点评:本题借助考查命题的真假判断,考查充分条件、必要条件的判定及复合命题的真假判 定. 7.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面 积为( )
2 2 2

A.

B.

C.

D.

考点:简单空间图形的三视图;由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:由题意可得侧视图为三角形,且边长为边长为 1 的正三角形的高线,高等于正视图的 高,分别求解代入三角形的面积公式可得答案. 解答: 解:∵边长为 1 的正三角形的高为 ∴侧视图的底边长为 , , = = ,

又侧视图的高等于正视图的高 故所求的面积为:S=

故选 A 点评:本题考查简单空间图形的三视图,涉及三角形面积的求解,属基础题. 8.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图) ,要测算 A,B 两点的距离,测量人员在岸边定出基线 BC,测得 BC=50m,∠ABC=105°,∠BCA=45°,就可 以计算出 A,B 两点的距离为( )

A. 50

m

B. 50

m

C. 25

m

D.

m

考点:正弦定理的应用. 专题:计算题.

分析:由题意及图知,可先求出∠BAC,再由正弦定理得到 AB= 算出 A,B 两点的距离 解答: 解:由题意及图知,∠BAC=30°,又 BC=50m,∠BCA=45° 由正弦定理得 AB= =50 m

代入数据即可计

故选 A 点评:本题考查利用正弦定理求长度,是正弦定理应用的基本题型,计算题. 9.已知函数 y=﹣xf′(x)的图象如图(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数) ,下面四个图象 中,y=f(x)的图象可能是( )

A.

B.

C.

D. 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的概念及应用. 分析:根据函数 y=﹣xf′(x)的图象,依次判断 f(x)在区间(﹣∞,﹣1) , (﹣1,0) , (0, 1) , (1,+∞)上的单调性即可. 解答: 解:由函数 y=﹣xf′(x)的图象可知: 当 x<﹣1 时,﹣xf′(x)>0,f′(x)>0,此时 f(x)增; 当﹣1<x<0 时,﹣xf′(x)<0,f′(x)<0,此时 f(x)减; 当 0<x<1 时,﹣xf′(x)>0,f′(x)<0,此时 f(x)减; 当 x>1 时,﹣xf′(x)<0,f′(x)>0,此时 f(x)增. 综上所述,y=f(x)的图象可能是 B, 故选:B. 点评:本题主要考查了函数的单调性与导数的关系,同时考查了分类讨论的思想,属于基础 题.

10.已知直线 l,m,平面 α,β,且 l⊥α,m?β,给出下列四个命题: ①若 α∥β,则 l⊥m; ②若 l⊥m,则 α∥β; ③若 α⊥β,则 l∥m; ④若 l∥m,则 α⊥β 其中正确命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2

D. 3

考点:等差数列的性质. 专题:综合题. 分析:利用直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系逐一判断,成立的证明,不成 立的可举出反例. 解答: 解;①∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β,又∵m?β,∴l⊥m,①正确. ②由 l⊥m 推不出 l⊥β,②错误. ③当 l⊥α,α⊥β 时,l 可能平行 β,也可能在 β 内,∴l 与 m 的位置关系不能判断,③错误. ④∵l⊥α,l∥m,∴m∥α,又∵m?β,∴α⊥β 故选 C 点评:本题主要考查显现,线面,面面位置关系的判断,属于概念题.

11. 已知函数( f x) = <0 成立,则实数 a 的取值范围为( A. (﹣∞,2) B. (﹣∞,

满足对任意的实数 x1≠x2 都有 ) ] C. (﹣∞,2] D. ,

故选:B. 点评:本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的单调性,是函数图象和性质的综合应用, 难度中档. 12.己知 x∈,则方程 2 =cos2πx 所有实数根的个数为( A. 2 B. 3 C. 4 考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:数形结合;函数的性质及应用. 分析:在同一坐标系内作出函数 f(x)=2 可得方程解的个数.
﹣|x| ﹣|x|

) D. 5

,g(x)=cos2πx 的图象,根据图象交点的个数,
﹣|x|

解答: 解:在同一坐标系内作出函数 f(x)=2

,g(x)=cos2πx 的图象

根据函数图象可知,图象交点的个数为 5 个 ∴方程 2 =cos2πx 所有实数根的个数为 5 个 故选 D. 点评:本题考查方程解的个数,考查函数图象的作法,考查数形结合的数学思想,属于中档 题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
﹣|x|

13.设变量 x,y 满足约束条件:

,则目标函数 z=

的最小值为 1 .

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义即可得到结论. 解答: 解:z 的几何意义为区域内点到点 G(0,﹣1)的斜率, 作出不等式组对应的平面区域如图: 由图象可知,AG 的斜率最小, 由 解得 ,即 A(2,1) ,

则 AG 的斜率 k= 故答案为:1



点评:本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及直线斜率的计算,利用数形结合 是解决本题的关键.
2

14.已知 x>0,y>0,若

+

>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ﹣4<m<2 .

考点:函数恒成立问题;基本不等式. 专题:计算题. 分析:根据题意,由基本不等式的性质,可得
2

+

≥2

=8,即

+

的最小值为 8,

结合题意,可得 m +2m<8 恒成立,解可得答案. 解答: 解:根据题意,x>0,y>0,则 则 若
2

>0,

>0,

+ +

≥2
2

=8,即

+

的最小值为 8,
2

>m +2m 恒成立,必有 m +2m<8 恒成立,
2

m +2m<8?m +2m﹣8<0, 解可得,﹣4<m<2, 故答案为﹣4<m<2. 点评:本题考查不等式的恒成立问题与基本不等式的应用,关键是利用基本不等式求出 + 的最小值.

15.已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若 AB=AA1=2, AC=1,∠BAC=60°,则此球的表面积等于 8π . 考点:球的体积和表面积. 专题:计算题. 分析:通过已知体积求出底面外接圆的半径,确定球心为 O 的位置,求出球的半径,然后求 出球的表面积.

解答: 解:在△ ABC 中 AB=AA1=2,AC=1,∠BAC=60°, 可得 BC= , 可得△ ABC 外接圆半径 r=1, 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱垂直于底面, 三棱柱为直三棱柱,侧面 BAA1B1 是正方形它的中心是球心 O, 球的直径为:BA1=2 ,球半径 R= , 2 故此球的表面积为 4πR =8π 故答案为:8π

点评:本题是中档题,解题思路是:先求底面外接圆的半径,转化为直角三角形,求出球的 半径,这是三棱柱外接球的常用方法;本题考查空间想象能力,计算能力. 16.下面四个命题: ①已知函数 且 f(a)+f(4)=4,那么 a=﹣4;

②要得到函数

的图象,只要将 y=sin2x 的图象向左平移

单位;

③若定义在(﹣∞,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,则 f(x)是周期函数; ④已知奇函数 f(x)在(0,+∞)为增函数,且 f(﹣1)=0,则不等式 f(x)<0 解集{x|x <﹣1}. 其中正确的是 ③ . 考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题;简易逻辑. 分析: ①已知函数 即可求出 a; ②要得到函数 的图象,只要将 y=sin2x 的图象向左平移 单位; ,分 a<0,a>0,利用 f(a)+f(4)=4,

③利用 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,可得 f(x+2)=﹣f(x+1)=f(x) ,所以 f(x)是以 2 为周期的周期函数;④已知奇函数 f(x)在(0,+∞)为增函数,且 f(﹣1)=0,则 f(1) =0,在(﹣∞,0)为增函数,即可解不等式 f(x)<0. 解答: 解:①已知函数 ,a<0 时,f(a)+f(4)=4,那么 a=

﹣4;a>0 时,f(a)+f(4)=4,那么 a=4,故不正确; ②要得到函数 的图象, 只要将 y=sin2x 的图象向左平移 单位, 故不正确;

③若定义在(﹣∞,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,则 f(x+2)=﹣f(x+1) =f(x) ,所以 f(x)是周期函数,周期为 2; ④已知奇函数 f(x)在(0,+∞)为增函数,且 f(﹣1)=0,则 f(1)=0,在(﹣∞,0)为 增函数,不等式 f(x)<0 等价于 f(x)<f(﹣1)或 f(x)<f(1) , 解集{x|x<﹣1}∪{x|0<x<1},故不正确. 故答案为:③. 点评:本题考查命题的真假的判断,考查分段函数,函数的图象变换,周期性,奇偶性,考 查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 (Ⅰ)求 c 的值及数列{an}的通项公式; (Ⅱ)证明: . (c 是常数,n∈N*) ,a2=6.

考点:等差数列的前 n 项和;数列的求和. 专题:计算题;证明题. 分析: (Ⅰ)根据 ,令 n=1 代入求出 a1,令 n=2 代入求出 a2,由 a2=6

即可求出 c 的值, 由 c 的值即可求出首项和公差, 根据首项和公差写出等差数列的通项公式即 可; (Ⅱ)利用数列的通项公式列举出各项并代入所证不等式的坐标,利用 = ( 解答: 解: (Ⅰ)解:因为 所以当 n=1 时, ﹣ ) ,把各项拆项后抵消化简后即可得证. , ,解得 a1=2c,

当 n=2 时,S2=a2+a2﹣c,即 a1+a2=2a2﹣c,解得 a2=3c, 所以 3c=6,解得 c=2, 则 a1=4,数列{an}的公差 d=a2﹣a1=2, 所以 an=a1+(n﹣1)d=2n+2; (Ⅱ)因为 = = = =

=

. .

因为 n∈N*,所以

点评:此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值,会利用拆项 法进行数列的求和,是一道综合题. 18.在四棱锥 P﹣ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. (1)若 F 为 PC 的中点,求证:PC⊥平面 AEF; (2)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积 V.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1)在 Rt△ ABC,∠BAC=60°,可得 AC=2AB,PA=CA,又 F 为 PC 的中点,可得 AF⊥PC.利用线面垂直的判定与性质定理可得:CD⊥PC.利用三角形的中位线定理可得: EF∥CD.于是 EF⊥PC.即可证明 PC⊥平面 AEF. (2)利用直角三角形的边角关系可得 BC,CD.SABCD= V= ,即可得出. .利用

解答: (1)证明:在 Rt△ ABC,∠BAC=60°, ∴AC=2AB, ∵PA=2AB, ∴PA=CA, 又 F 为 PC 的中点, ∴AF⊥PC. ∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC. ∴CD⊥PC. ∵E 为 PD 中点,F 为 PC 中点, ∴EF∥CD. 则 EF⊥PC.

∵AF∩EF=F, ∴PC⊥平面 AEF. (2)解:在 Rt△ ABC 中,AB=1, ∠BAC=60°, ∴BC= ,AC=2. 在 Rt△ ACD 中,AC=2,∠CAD=60°, ∴CD=2 ,AD=4. ∴SABCD= 则 V= = = . .

点评:本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、直角三角形的边角关 系、四棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

19.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 ,求 cosα 的值.

)的部分图象如图所示.

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的恒等变换及化简求值. 专题:作图题;综合题. 分析: (I) 观察图象可得函数的最值为 1, 且函数先出现最大值可得 A=1; 函数的周期 T=π, 结合周期公式 T= 可求 ω;由函数的图象过( )代入可得 φ

(II)由(I)可得 f(x)=sin(2x+ 结合已知 0<a< ,可得 cos(α+

) ,从而由 f( )= . ,利用

)= ,代入整理可得 sin(

)= ,

,代入两角差的

余弦公式可求 解答: 解: (Ⅰ)由图象知 A=1 f(x)的最小正周期 T=4×( 将点( 又|φ|< ﹣ )=π,故 ω= =2

,1)代入 f(x)的解析式得 sin( ,∴φ=

+φ)=1,

故函数 f(x)的解析式为 f(x)=sin(2x+



(Ⅱ)f(

)= ,即 sin( )= . )cos

)= ,注意到 0<a<

,则







所以 cos(α+

又 cosα==cos(α+

+sin(α+

)sin

=

点评: 本题主要考查了(i)由三角函数的图象求解函数的解析式,其步骤一般是:由函数 的最值求解 A, (但要判断是先出现最大值或是最小值,从而判断 A 的正负号)由周期求解 ω= ,由函数图象上的点(一般用最值点)代入求解 φ;

(ii)三角函数的同角平方关系,两角差的余弦公式,及求值中的拆角的技巧,要掌握常见的 拆角技巧:①2α=(α+β)+(α﹣β)②2β=(α+β)﹣(α﹣β)③α=(α+β)﹣β④β=(α+β) ﹣α 20.如图所示,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC⊥BC. (1)求证:平面 AB1C1⊥平面 AC1; (2)若 AB1⊥A1C,求线段 AC 与 AA1 长度之比; (3)若 D 是棱 CC1 的中点,问在棱 AB 上是否存在一点 E,使 DE∥平面 AB1C1?若存在, 试确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由.

考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题:证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由于已知,可得 B1C1⊥CC1,又 AC⊥BC,可得 B1C1⊥A1C1,从而 B1C1⊥平 面 AC1,又 B1C1?平面 AB1C1,从而平面 AB1C1⊥平面 AC1. (2)由(1)知,B1C1⊥A1C,若 AB1⊥A1C,则可得:A1C⊥平面 AB1C1,从而 A1C⊥AC1, 由于 ACC1A1 是矩形,故 AC 与 AA1 长度之比为 1:1. (3)证法一:设 F 是 BB1 的中点,连结 DF、EF、DE.则易证:平面 DEF∥平面 AB1C1,从 而 DE∥平面 AB1C1. 证法二: 设 G 是 AB1 的中点, 连结 EG, 则易证 EG DC1. 即有 DE∥C1G, DE∥平面 AB1C1.

解答: 解: (1)由于 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,所以 B1C1⊥CC1; 又因为 AC⊥BC,所以 B1C1⊥A1C1,所以 B1C1⊥平面 AC1. 由于 B1C1?平面 AB1C1,从而平面 AB1C1⊥平面 AC1. (2)由(1)知,B1C1⊥A1C.所以,若 AB1⊥A1C,则可 得:A1C⊥平面 AB1C1,从而 A1C⊥AC1. 由于 ACC1A1 是矩形,故 AC 与 AA1 长度之比为 1:1. (3)点 E 位于 AB 的中点时,能使 DE∥平面 AB1C1. 证法一:设 F 是 BB1 的中点,连结 DF、EF、DE. 则易证:平面 DEF∥平面 AB1C1,从而 DE∥平面 AB1C1. 证法二:设 G 是 AB1 的中点,连结 EG,则易证 EG DC1.

所以 DE∥C1G,DE∥平面 AB1C1. 点评:本题主要考察了平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,属于基本知识的考 查. 21.设函数 f(x)=ax﹣lnx,g(x)=e ﹣ax,其中 a 为正实数. (l)若 x=0 是函数 g(x)的极值点,讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 f(x)在(1,+∞)上无最小值,且 g(x)在(1,+∞)上是单调增函数,求 a 的取 值范围;并由此判断曲线 g(x)与曲线 y= ax ﹣ax 在(1,+∞)交点个数.
2 x

考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题;导数的综合应用. 分析: (1)求出 g(x)的导数,令它为 0,求出 a=1,再求 f(x)的导数,令它大于 0 或 小于 0,即可得到单调区间;

(2)求出 f(x)的导数,讨论 a 的范围,由条件得到 a≥1,再由 g(x)的导数不小于 0 在(1, +∞)上恒成立,求出 a≤e,令 求出单调区间,判断极值与 e 的大小即可. x 解答: 解: (1)由 g′(x)=e ﹣a, g′(0)=1﹣a=0 得 a=1,f(x)=x﹣lnx ∵f(x)的定义域为: (0,+∞) , , 即 a= ,令 h(x)= ,求出导数,

∴函数 f(x)的增区间为(1,+∞) ,减区间为(0,1) . (2)由 若 0<a<1 则 f(x)在(1,+∞)上有最小值 f( ) , 当 a≥1 时,f(x)在(1,+∞)单调递增无最小值. ∵g(x)在(1,+∞)上是单调增函数 ∴g'(x)=e ﹣a≥0 在(1,+∞)上恒成立 ∴a≤e, 综上所述 a 的取值范围为, 此时 即 a= ,令 h(x)= ,h′(x)= ,
x

则 h(x)在(0,2)单调递减, (2,+∞)单调递增, 极小值为 .故两曲线没有公共点.

点评:本题考查导数的综合应用:求单调区间,求极值和最值,考查分类讨论的思想方法, 曲线与曲线交点个数转化为函数极值或最值问题,属于中档题. 三、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答 时请写题号. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,在正△ ABC 中,点 D,E 分别在边 AC,AB 上,且 AD= AC,AE= AB,BD, CE 相交于点 F. (Ⅰ)求证:A,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ)若正△ ABC 的边长为 2,求,A,E,F,D 所在圆的半径.

考点:分析法和综合法.

专题:计算题;证明题. 分析: (I)依题意,可证得△ BAD≌△CBE,从而得到∠ADB=∠BEC?∠ADF+∠AEF=π, 即可证得 A,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ) 取 AE 的中点 G, 连接 GD, 可证得△ AGD 为正三角形, GA=GE=GD= , 即点 G 是△ AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为 . 解答: (Ⅰ)证明:∵AE= AB, ∴BE= AB, ∵在正△ ABC 中,AD= AC, ∴AD=BE, 又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE, ∴△BAD≌△CBE, ∴∠ADB=∠BEC, 即∠ADF+∠AEF=π,所以 A,E,F,D 四点共圆.…(5 分) (Ⅱ)解:如图,

取 AE 的中点 G,连接 GD,则 AG=GE= AE, ∵AE= AB, ∴AG=GE= AB= , ∵AD= AC= ,∠DAE=60°, ∴△AGD 为正三角形, ∴GD=AG=AD= ,即 GA=GE=GD= , 所以点 G 是△ AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为 . 由于 A,E,F,D 四点共圆,即 A,E,F,D 四点共圆 G,其半径为 .…(10 分) 点评:本题考查利用综合法进行证明,着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明,突出 推理能力与分析运算能力的考查,属于难题. 【选修 4-1:几何证明选讲】

2015?江西二模)在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知曲
2

线 C:ρsin θ=2acosθ(a>0) ,过点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方程为

(t

为参数) ,直线 l 与曲线 C 分别交于 M、N 两点. (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 考点:参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (1)直接利用关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程. (2)利用参数方程和抛物线方程建立成关于 t 的一元二次方程组,利用根和系数的关系求出 两根和与两根积,进一步利用等比数列进一步求出 a 的值. 2 解答: 解: (1)曲线 C:ρsin θ=2acosθ(a>0) , 2 转化成直角坐标方程为:y =2ax

线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,

转化成直角坐标方程为:x﹣y﹣2=0.
2

(2)将直线的参数方程

(t 为参数) ,代入 y =2ax 得到:

, 所以: ,t1t2=32+8a,①

则:|PM|=t1,|PN|=t2,|MN|=|t1﹣t2| |PM|,|MN|,|PN|成等比数列, 所以: ,②

由①②得:a=1. 点评:本题考查的知识要点:极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与直角坐标方程 的互化,利用根和系数的关系建立方程组求解,等比数列的应用. 【选修 4-5:不等式选讲】 2011?洛阳一模)对于任意的实数 a(a≠0)和 b,不等式|a+b|+|a﹣b|≥M?|a|恒成立,记实数 M 的最大值是 m. (1)求 m 的值; (2)解不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤m.

考点:绝对值不等式的解法. 专题:压轴题;不等式的解法及应用. 分析: (1)由题意可得, 可 得,M≤2,由此可得 m 的值. (2)由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和,而数轴上 和 对 应点到 1 和 2 对应点的距离之和正好等于 2,由此求得|x﹣1|+|x﹣2|≤2 的解集. 解答: 解: (1)不等式|a+b|+|a﹣b|≥M?|a|恒成立, 即 对于任意的实数 a(a≠0)和 b 恒成立, 对于任意的实数 a(a≠0)和 b 恒成立,再由

故只要左边恒小于或等于右边的最小值.…(2 分) 因为|a+b|+|a﹣b|≥|(a+b)+(a﹣b)|=2|a|, 当且仅当(a﹣b) (a+b)≥0 时等号成立, 即|a|≥|b|时, 也就是 成立, 的最小值是 2,

故 M 的最大值为 2,即 m=2.…(5 分) (2)不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤m 即|x﹣1|+|x﹣2|≤2. 由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和, 而数轴上 和 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和正好等于 2, 故|x﹣1|+|x﹣2|≤2 的解集为:{x| }. (10 分)

点评:本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,属于中档题.


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