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高三数学第一轮复习讲义(小结)导 数


高三数学第一轮复习讲义(小结)导 数
一.课前预习:

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 1 ,则 f ?( x0 ) ? ( C ) ?x 1 ( A) 1 (B) 0 (C ) 2 ( D) 2 2.设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数, y ? f ?( x) 的图象如下图(1)所示,则 y ? f ( x

) 的图象
1.设函数 f ( x ) 在 x ? x0 处有导数,且 lim
?x ?0

最有可能的是
y
y y y y





O

1

2

x

O 1

2

x

2

O

1

2

x

1

x

O 1 2

x

(1)

(B) (C ) ( D) 3.若曲线 y ? x ? px ? q 与 x 轴相切,则 p, q 之间的关系满足 ( A ) p q p q ( A) ( ) 2 ? ( ) 2 ? 0 ( B ) ( ) 2 ? ( )3 ? 0 3 2 2 3 2 2 (C ) 2 p ? 3q ? 0 ( D) 2q ? 3 p ? 0 1 1 1 1 3 2 4. 已知函数 f ( x ) ? ax ? x 的最大值不大于 , 又当 x ? [ , ] 时,f ( x ) ? , 则a ? 1 . 6 4 2 8 2 4 3 5.若对任意 x ? R, f ?( x) ? 4 x , f (1) ? ?1 ,则 f ( x) ? x ? 2 .
3

( A)

四、例题分析: 例 1.若函数 f ( x) ?
2

1 3 1 2 x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 在区间 (1, 4) 内为减函数,在区间 (6, ??) 上 3 2

为增函数,试求实数 a 的取值范围. 解: f ?( x) ? x ? ax ? a ?1 ? ( x ?1)[ x ? (a ?1)] , 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? a ? 1 , ∴当 x ? (1, 4) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (6, ??) 时, f ?( x) ? 0 , ∴ 4 ? a ? 1 ? 6 ,∴ 5 ? a ? 7 .
3 例 2.已知函数 f ( x) ? ax ? cx ? d (a ? 0) 是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时 f ( x ) 取得极值 ?2 ,

(1)求 f ( x ) 的单调区间和极大值; (2)证明对任意 x1 , x2 ? (?1,1) ,不等式 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 恒成立. 解: (1)由奇函数的定义,应有 f (? x) ? ? f ( x) , x ? R , 即 ? ax ? cx ? d ? ?ax ? cx ? d , ∴
3 3

d ? 0 , ∴ f ( x) ? ax3 ? cx , ∴ ?a ? c ? ?2 , f ?( x) ? 3ax2 ? c ,由条件 f (1) ? ?2 为 f ( x) 的极值,必有 f ?(1) ? 0 ,故 ? 3 a ? c ? 0 ?

解得 a ? 1 , c ? ?3 ,∴ f ( x) ? x 3 ? 3x , f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1) , ∴ f ?(?1) ? f ?(1) ? 0 , 当 x ? (?? , ? 1) 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在单调区间 (?? , ? 1) 上是增函数; 当 x ? (?1 , 1) 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在单调区间 (?1 , 1) 上是减函数; 当 x ? (1 , ? ?) 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在单调区间 (1 , ? ?) 上是增函数, 所以, f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值,极大值为 f (?1) ? 2 . (2)由(1)知, f ( x) ? x 3 ? 3x ( x ? [?1 , 1] ) 是减函数, 且 f ( x) 在 [?1 , 1] 上的最大值 M ? f (?1) ? 2 ,最小值 m ? f (1) ? ?2 , 所以,对任意的 x1 , x2 ? (?1 , 1) ,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? M ? m ? 2 ? (?2) ? 4 . 例 3.设函数 f ( x) ?

a 3 b ?1 2 x ? x ? x ? 5 (a, b ? R, a ? 0) 的定义域为 R ,当 x ? x1 时,取 3 2 得极大值;当 x ? x2 时取得极小值, | x1 |? 2 且 | x1 ? x2 |? 4 . 2 2 (1)求证: x1 x2 ? 0 ; (2)求证: (b ? 1) ? 16a ? 4a ; (3)求实数 b 的取值范围. 2 (1)证明: f ?( x) ? ax ? (b ?1) x ? 1 , 1 2 由题意, f ?( x) ? ax ? (b ?1) x ? 1 ? 0 的两根为 x1 , x2 ,∴ x1 x2 ? ? 0 . a

(b ? 1)2 ? 4a ? 4 ,∴ (b ?1)2 ? 16a2 ? 4a . a ?1 ? b ? 0 (3)①若 0 ? x1 ? 2 ,则 ? , ? f ?(2) ? 4a ? 2b ?1 ? 0
(2) | x1 ? x2 |? ∴ 4a ? 1 ? 2(1 ? b) ,从而 (4a ? 1) ? 4(1 ? b) ? 4(16a ? 4a) ,
2 2 2

1 1 或 a ? ? (舍) 12 4 4 1 ∴ 2(1 ? b) ? ,得 b ? . 3 3 ?1 ? b ? 0 ②若 ?2 ? x1 ? 0 ,则 ? , ? f ?(?2) ? 4a ? 2b ? 3 ? 0
解得 a ? ∴ 4a ? 1 ? 2(b ? 1) ,从而 (4a ? 1) ? 4(1 ? b) ? 4(16a ? 4a) ,
2 2 2

1 1 或 a ? ? (舍) 12 4 4 5 ∴ 2(b ? 1) ? ,∴ b ? , 3 3
解得 a ? 综上可得, b 的取值范围是 ( ??, ) ? ( , ??) . 小结:本题主要考查导数、函数、不等式等基础知识,综合分析问题和解决问题的能力. 五、课后作业: 班级 学号 姓名 1.函数 y ? 2 x ? 3x ?12 x ? 5 在[0,3]上的最大值与最小值分别是
3 2

1 3

5 3





( A) 5 、 ?15

(B) 5 、 4

(C ) ?4 、 ?15

( D) 5 、 ?16

2.关于函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? 7 ,下列说法不正确的是 ( A) 在区间 (??, 0) 内, f ( x) 为增函数





( B ) 在区间 (0, 2) 内, f ( x) 为减函数 (C ) 在区间 (2, ??) 内, f ( x) 为增函数 ( D) 在区间 (??,0) ? (2, ??) 内, f ( x) 为增函数 f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 ) ? 1 ,则 f ?( x0 ) 等于 ( 3.设 f ( x) 在 x ? x0 处可导,且 lim ?x ?0 ?x 1 1 ( A) 1 (B) ? (C ) ? 3 ( D) 3 3 4.设对于任意的 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x), f ?(? x0 ) ? ?k ? 0 ,则 f ?( x0 ) ? ( 1 1 ( A) k (B) ? k (C ) ( D) ? k k 1 2 2 5. 一物体运动方程是 s ? 200 ? gt ( g ? 9.8m / s ) , 则 t ? 3 时物体的瞬时速度为 3 3 2 6.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. (1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程.







7.某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量 x (吨)与每吨的价格 P (元/吨)之间的关

1 2 x ,且生产 x 吨的成本为 R ? 50000 ? 200 x 元,问:该厂每月生产 5 多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润 ? 收入 ? 成本)
系为 P ? 24200 ?

2 8.已知 b ? ?1, c ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? b 的图象与函数 g ( x) ? x ? bx ? c 的图象相切,

(1)求 b, c 的关系式(用 c 表示 b ) ; (2)设函数 F ( x) ? f ( x) g ( x) 在 (??, ??) 内有极值点,求 c 的取值范围.


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