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专题12 函数模型及其应用(解析版)


专题十二 函数模型及其应用 【高频考点解读】 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数 增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的 函数模型)的广泛应用. 【热点题型】 题型一 几类常见函数模型

例 1.据调查,苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量

为 4 000 辆次,其中变 速车存车费是每辆一次 0.3 元,普通车存车费是每辆一次 0.2 元,若普通车存车数为 x 辆次, 存车费总收入为 y 元,则 y 关于 x 的函数关系是( A.y=0.1x+800(0≤x≤4 000) B.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000) C.y=-0.1x+800(0≤x≤4 000) D.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000) 解析:y=0.2x+(4 000-x)× 0.3=-0.1x+1 200. 答案:D 【提分秘籍】应用函数模型解应用题要注意 (1)正确理解题意,选择适当的函数模型. (2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. (3)在解决函数模型后,必须验证这个数学解对实际问题的合理性. 【举一反三】 在某种新型材料和研制中,实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数 中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( ) )

A.y=2x 1 C.y= (x2-1) 2 解析:通过检验可知,y=log2x 较为接近.

B.y=log2x D.y=2.61cos x

答案:B 【热点题型】 题型二 三种增长型函数模型的图象与性质

例 2、f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当 x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行 比较,下列选项中正确的是( A.f(x)>g(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) ) B.g(x)>f(x)>h(x) D.f(x)>h(x)>g(x)

【提分秘籍】三种模型的增长差异 在区间(0,+∞)上,尽管函数 y=ax(a>1),y=logax(a>1)和 y=xn(n>0)都是增函数,但它 们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着 x 的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越 快,会超过并远远大于 y=xn(n>0)的增长速度,而 y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因 此,总会存在一个 x0,使得当 x>x0 时,有 logax<xn<ax. 【举一反三】 物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种 绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0,各种方 案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输 量)逐步提高的是( )

解析:由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应逐渐增大,故 选 B. 答案:B 【热点题型】 题型三 二次函数模型

例 3、 (2013 年高考陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于 300

m2 的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x(单位:m)的取值范围是( A.[15,20] C.[10,30] B.[12,25] 0,30]

)

【提分秘籍】 解决二次函数型实际应用问题时,除利用条件建立目标函数外,还要注意自变量的取值 范围,如果涉及最值问题,要注意对称轴与定义区间的关系. 【举一反三】 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x2 和 L2 =2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利润 为( ) A.45.606 万元 C.45.56 万元 B.45.6 万元 D.45.51 万元

【热点题型】

题型四

分段函数模型

例 4、 某旅游景点预计 2014 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 p(x)(单位; 万人)与 x 1 的关系近似地满足 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈N*, 且 x≤12). 已知第 x 个月的人均消费额 q(x)(单 2 35-2xx∈N*,且1≤x , ? ? 位:元)与 x 的近似关系是 q(x)=?160 * ? x x∈N ,且7≤x ? (1)写出 2014 年第 x 个月的旅游人数 f(x)(单位:人)与 x 的函数关系式: (2)试问 2014 年第几个月旅游消费总额最大,最大月旅游消费总额为多少元?

【提分秘籍】 分段函数模型的应用技巧 (1)很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需要构建分段函数模 型,如出租车的票价与路程的函数就是分段函数. (2)构建分段函数时,要做到分段合理,不重不漏,并要注意实际问题中各段自变量的取 值范围,特别是端点值. (3)在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值. 【举一反三】 如图,在平面直角坐标系中,AC 平行于 x 轴,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,记四 边形位于直线 x=t(t>0)左侧图形的面积为 f(t),则 f(t)的大致图象是( )

【热点题型】 题型五 指数函数模型

例 5、将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中,t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲 a . 线 y=aen t 假设过 5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过 m 分钟甲桶中的水只有 升,则 m 8 =________.

【提分秘籍】 指数函数型多涉及增长率、减少率、银行利率.细胞分裂等一系列问题,通常可以表示 为 y=a· (1+p)x 的形式,利用指数运算与对数函数图象性质去求解. 【举一反三】 某电脑公司 2012 年的各项经营收入中经营电脑配件的收入为 400 万元,占全年经营总收 入的 40%,该公司预计 2014 年经营总收入要达到 1 690 万元,且计划从 2012 年到 2014 年每 年经营总收入的年增长率相同,则 2013 年预计经营总收入为________万元.

【热点题型】 题型六 函数的实际应用问题

例 6、小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型 电子产品需投入年固定成本为 3 万元,每生产 x 万件,需另投入流动成本为 W(x)万元.在年 1 100 产量不足 8 万件时,W(x)= x2+x(万元);在年产量不小于 8 万件时,W(x)=6x+ -38(万 3 x 元).每件产品售价为 5 元.通过市场分析,小王生产的商品能当年全部售完. (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入- 固定成本-流动成本) (2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?

【提分秘籍】 函数模型的应用有两个方面:一方面是利用已知函数模型解决问题;另一方面是建立恰 当的函数模型,并利用所得函数模型解决实际问题. 建立函数模型解应用问题的步骤如下: (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型; (2)建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将利用数学知识和方法得出的结论,还原到实际问题中. 【高考风向标】 1. (2014· 湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p,第二年的增长 率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )

p+q (p+1)(q+1)-1 A. B. 2 2 C. pq D. (p+1)(q+1)-1

【答案】D 【解析】设年平均增长率为 x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得 x= (1+p)(1+q)-1. 2. (2014· 陕西卷)如图 12,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为 ( )

图 12 1 3 2 4 A.y= x3- x B.y= x3- x 125 5 125 5 3 3 1 C.y= x3-x D.y=- x3+ x 125 125 5

3. (2013· 陕西卷) 设[x]表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x,y,有 ( A.[-x]=-[x] B.[2x]=2[x] C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x-y]≤[x]-[y]

)

4. (2013· 重庆卷)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个

零点分别位于区间(

)

A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内

【随堂巩固】 1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是( )

2.国家规定某行业收入税如下:年收入在 280 万元及其以下的税率为 p%,超过 280 万元的 部分按(p+2)%征税,有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是( A.560 万元 C.350 万元 B.420 万元 D.320 万元 )

3.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过 10 立方米的, 按每立方米 m 元的水费收费;用水超过 10 立方米的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费 16m 元,则该职工这个月实际用水为( A.13 立方米 C.18 立方米 B.14 立方米 D.26 立方米 )

4. 某城市对一种售价为每件 160 元的商品征收附加税, 税率为 R%(即每销售 100 元征税 R 元), 5 ? 若年销售量为? ?30-2R?万件,要使附加税不少于 128 万元,则 R 的取值范围是( A.[4,8] C.[4%,8%] B.[6,10] D.[6%,100%] )

5.某商店计划投入资金 20 万元经销甲、乙两种商品,已知经销甲商品与乙商品所获得的利 x a 润分别为 P(万元)和 Q(万元),且它们与投入资金 x(万元)的关系是:P= ,Q= x(a>0).若 4 2 不管资金如何投放,经销这两种商品或其中一种商品所获得的纯利润总和不少于 5 万元,则 a 的最小值应为( A. 5 C .± 5 ) B.5 D.- 5

6.为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购 物付款总额:①如果不超过 200 元,则不予优惠;②如果超过 200 元,但不超过 500 元,则 按标价给予 9 折优惠;③如果超过 500 元,其中 500 元按第②条给予优惠,超过 500 元的部 分给予 7 折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设她们一次性购 买上述同样的商品,则应付款额为________.

7.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物释放过程中,室内每立方米 1? 空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比; 药物释放完毕后, y 与 t 的函数关系式为 y=? ?16?
t-a

(a 为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:

(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t (小时)之间的函数关系为 ________________________________________________________________________; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那么 从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室.

8.某公司有价值 a 万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术 改造,从而提高产品附加值.改造需要投入,假设附加值 y(单位:万元)与技术改造投入 x(单 a 3a3 x 位: 万元)之间的关系满足: ①y 与 a-x 和 x 的乘积成正比例; ②当 x= 时, y= ; ③0≤ 4 16 a-x
2

≤t,其中 t 为常数,且 t∈[0,2]. (1)设 y=f(x),求 f(x)的表达式,并求 y=f(x)的定义域; (2)求出附加值 y 的最大值,并求出此时的技术改造投入 x 的值.


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