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福建省师大附中2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案


福建师大附中 2012—2013 学年度上学期期末考试

高一数学试题
(满分:150 分,时间:120 分钟)
命题人:黄晓滨 审核人:江 泽

说明:请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.

第 1 卷 共 100 分
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的

四个选项中,只有一项符合要求) 1. 下列条件中,能使 ? // ? 的条件是(***** ) A. 平面 ? 内有无数条直线平行于平面 ? C. 平面 ? 内有两条直线平行于平面 ? D. 平面 ? 内有两条相交直线平行于平面 ? B. 平面 ? 与平面 ? 同平行于一条直线

2、直线 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角与在 y 轴上的截距分别是(***** ) A. 135°,1 B. 45°,-1 C. 45°,1 D. 135°,-1 3、三个平面把空间分成7部分时,它们的交线有(***** ) A.1条 B.2条 C.3条 D.1或2条 4、已知直线 l1 : ax ? y ? a ? 0 ,l2 : (2a ? 3) x ? ay ? a ? 0 互相平行,则 a 的值是(***** ) A. ? 3 B 1 C . 1 或 ?3 D. 0 5、设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是(***** ) A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ? B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ?

6、已知点 M (a, b) 在直线 3x ? 4 y ? 15上,则 a 2 ? b 2 的最小值为(***** ) A.2 B. 3 C.

15 4

D.5

7、一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形 OA/B/C/的面积为 2 , 则原梯形的面积为(***** ) A. 2 B. 2
2

y?

C.2 2
2

D. 4

O

450

x?

8、若 P(2, ?1) 为圆 ( x ?1) ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为(****) A. x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 9、长方体的三个相邻面的面积分别为 2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则 这个球的表面积为(***** )

A.

7? 2

B.56π

C.14π

D.64π

10、已知圆 C1 : ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称, 则圆 C2 的方程为(***** ) A. ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 C. ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1
2 2 2

B. ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 D. ( x ? 2)2 + ( y ? 1) 2 =1

11、点 M ( x? , y? ) 是圆 x ? y ? a ( a ? 0) 内不为圆心的一点,则直线 x? x ? y? y ? a2 与该 圆的位置关系是(***** ) A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交

12、如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,线段 B 1D 1 上有两个动点 E,F, 且 EF ?

1 ,则下列结论中错误的是(***** ) 2 A. AC , BE 为异面直线,且 AC ? BE
B. EF // 平面ABCD C.三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 D. ?AEF的面积与?BEF的面积相等

二、填空题: (本大题 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答卷上) 13、过点 A(a, 4)和B(?1, a) 的直线的倾斜角等于 45 ,则 a 的值是_******_
?

14、直线 kx ? y ? 1 ? 3k , 当 k 变化时,所有直线都通过定点_******_

15、若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_******_

16、两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 间的距离是_******_

17、集合 A ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 4}, B ? {( x, y) | ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? r 2} ,其中 r ? 0 , 若 A ? B 中有且仅有一个元素,则 r 的值是_******_ 18、将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C,有如下四个结论: ①AC⊥BD; ②△ACD 是等边三角形; ? ③二面角 A ? BC ? D 的度数为 60 ; ④AB 与 CD 所成的角是 60° 。 其中正确结论的序号是_******_ 三、解答题: (本大题共 6 题,满分 60 分) 19. (本小题满分 8 分) 如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子 吗?请用你的计算数据说明理由.

4 cm _

12 cm _

20. (本小题满分 10 分) 如图,在平行四边形 OABC 中,点 O 是原点,点 A 和点 C 的坐标分别是 (3, 0) 、 (1,3) ,点

D 是线段 AB 上的动点。 (1)求 AB 所在直线的一般式方程; (2)当 D 在线段 AB 上运动时,求线段 CD 的中点 M 的轨迹方程.

21. (本小题満分 12 分) A1

D1 B1 P

C1

D

如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1 ,

AA1 ? 2 ,点 P 为 DD1 的中点.
(1)求证:直线 BD1 ∥平面 PAC ; (2)求证:平面 PAC ? 平面 BDD1B1 ; (3)求 CP 与平面 BDD1B1 所成的角大小.

22、 (本小题满分 10 分) 如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形构成。已知隧道总宽度 AD 为 6 3 m,行车道总宽度 BC 为 2 11 m,侧墙 EA、FD 高为 2m,弧顶高 MN 为 5m。 (1)建立直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程; (2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至 少要有 0.5 m。请计算车辆通过隧道的限制高度是多少。

A 23、 (本小题満分 10 分) 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别为 BD、BC 的中点, 且 CA = CB = CD = BD = 2,AB = AD =

2。
B

D O · E C

(1)求证:AO⊥平面 BCD; (2)求 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值。

24、(本小题满分 10 分) 已知圆 x2 ? y 2 ? 2ax ? 6ay ? 10a2 ? 4a ? 0(0 ? a ? 4) 的圆心为 C,直线 L: y ? x ? m 。 (1)若 a ? 2 ,求直线 L 被圆 C 所截得的弦长 AB 的最大值; (2)若 m ? 2 ,求直线 L 被圆 C 所截得的弦长 AB 的最大值; (3)若直线 L 是圆心 C 下方的切线,当 a 变化时,求实数 m 的取值范围。

25、 附加题( . 10 分) 设 M 点是圆 C : x ? ( y ? 4) ? 4 上的动点, 过点 M 作圆 O : x ? y ? 1
2 2 2 2

的两条切线,切点分别为 A, B ,切线 MA, MB 分别交 x 轴于 D, E 两点.是否存在点 M ,使 得线段 DE 被圆 C 在点 M 处的切线平分?若存在,求出点 M 的纵 坐标;若不存在,说明 . 理由.

参考答案
第 1 卷 共 100 分
一、选择题:DDCAC; BDACA; CD 二、填空题: 13、

3 ; 14、 (3,1) ;15、1 ; 16、 2 2

17、3 或 7

18、①②④

三、解答题: 19. (本小题满分 8 分) 解: 由图可知 V半球 ? ? ? R3 ? ? ? ? 43 ?

1 4 2 3

1 4 2 3

128 ? (cm3 ) ; 3

4cm _

1 1 V圆锥 ? ? r 2 h ? ? ? 42 ?12 ? 64? (cm3 ) ; 3 3
因为 V半球 ? V圆锥 , 所以,冰淇淋融化了,不会溢出杯子. 20. (本小题满分 10 分)
(1)? AB // OC 3?0 =3 1? 0 ? AB所在直线的方程是y-0=3(x-3)即3x-y-9=0 ? AB所在直线的斜率k AB =k OC ?

12 cm _

(2)方法一:设线段CA、CB的中点分别是点E、F, 由题意可知,点M的轨迹是?ABC的中位线EF. 由平行四边形的性质得点B的坐标是(4,), 3 由中点坐标公式可得点E的坐标是( 1+3 3+0 3 , ),即(2, ),

D1 A1 P B1

C1

D A 21. (本题満分 12 分) (1)证明:设 AC 和 BD 交于点 O,连 PO, 由 P,O 分别是 DD1 ,BD 的中点,故 PO// BD1 , ∵ PO ? 平面 PAC , BD ? 平面 PAC 所以直线 BD1 ∥平面 PAC (2)长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1 , 底面 ABCD 是正方形,则 AC ? BD 又 DD1 ? 面 ABCD,则 DD1 ? AC, ∵ BD ? 平面 BDD1B1 , D1 D ? 平面 BDD1B1 , BD ? D1D ? D B

C

∴AC ? 面 BDD1B1 ∵ AC ? 平面 PAC ∴平面 PAC ? 平面 BDD1B1

(3)由(2)已证:AC ? 面 BDD1B1 ∴ CP 在平面 BDD1B1 内的射影为 OP ∴ ?CPO 是 CP 与平面 BDD1B1 所成的角,依题意得

CP ? CD2 ? DP2 ? 2 , CO ?
在 Rt△ CPO 中, CO ? 22. (本小题满分 10 分)

1 2 , AC ? 2 2

1 CP ,∴ ?CPO = 30 o ∴ CP 与平面 BDD1B1 所成的角为 30 o 2

(1)以EF所在直线为x轴,以MN所在直线为y轴,以1m为单位长度建立直角坐标系。 ? 则有E(-3 3,0),F(3 3,0),M(0,3), 由于所求圆的圆心在y轴上,所以设圆的方程为(x-0) 2 +(y-b) 2 ? r 2 ? F(3 3,0),M(0,3)都在圆上
2 2 2 ? ?(3 3) +b ? r ?? 2 , 2 2 0 +(3-b) ? r ? ? 解得b ? ?3, r 2 ? 36

所以圆的方程是x 2 +(y+3) 2 ? 36 以EF所在直线为x轴,以MN所在直线为y轴,以1m为单位长度建立直角坐标系。 设所求圆的圆心为G,半径为r,则点G在y轴上 在Rt?GOE中, |OE|=3 3, |GE|=r, |OG|=r-3, 则由勾股定理,r =(3 3)+(r-3) ,解得r=6 则圆心G的坐标为(0,-3),
2 2 2

?

23、 (本小题満分 10 分) (1)证明: ⊿ABD 中 ∵AB = AD =

2 ,O 是 BD 中点,BD = 2

A

∴ AO ⊥ BD 且 AO ? ⊿BCD 中,连结 OC ∴ CO ⊥ BD 且 CO ?

AB2 ? BO2 = 1
∵ BC = DC = 2 O B

D · E C

BC 2 ? BO2 ? 3

⊿AOC 中 AO = 1,CO = 3 ,AC = 2 ∴ AO 2 + CO 2 = AC 2 故 AO ⊥ CO ∴ AO ⊥平面 BCD (2)取 AC 中点 F,连结 OF、OE、EF ⊿ABC 中 E、F 分别为 BC、AC 中点

A

1 2 ∴ EF∥AB,且 EF ? AB ? 2 2
⊿BCD 中 O、E 分别为 BD、BC 中点 ∴ OE∥CD 且 OE ? B

D O · E

F

C O

1 CD ? 1 2
∴ OF ?

∴ 异面直线 AB 与 C D 所成角等于∠OEF(或其补角) 又 OF 是 Rt⊿AOC 斜边上的中线

1 AC ? 1 2

1 EF 2 2 ∴ 等腰⊿OEF 中 cos ?OEF ? ? OE 4 24、(本小题满分 10 分)解:圆 C 的方程可化为(x-a)2+(y-3a)2=4a

E

M

F

∴圆心为 C(a,3a),半径为 r=2 a (1)若 a=2,则 c(2,6),r= 2 2 , ∵弦 AB 过圆心时最长,∴ AB max=4 2 (2)若 m=2,则圆心 C(a,3a)到直线 x-y+2=0 的距离 d=

?2a ? 2 2

? 2 a ? 1 ,r=2 a

直线与圆相交,?d ? r,?a2 ? 4a ?1 ? 0且0 ? a ? 4,?a ? (2 ? 3, 2 ? 3) 又 AB =2 r 2 ? d 2 ? 2 ? 2a 2 ? 8a ? 2 ? 2 ? 2(a ? 2) 2 ? 6 , ∴当 a=2 时, AB max=2 6 , (3)圆心 C(a,3a)到直线 x-y+m=0 的距离 d=

? 2a ? m 2

∵直线 L 是圆心 C 的切线,∴d=r , ∴m=2a± 2 2a ∵直线 L 是圆心 C 下方, ∵ a ? (0, 4] ,∴当 a=

m ? 2a 2

?2 a,

m ? 2a ? 2 2a

∴m=2a-2 2a =( 2a -1)2-1 当 a=4 时,,mmax=8-4 2 ,

1 时,mmin=-1; 2

故实数 m 的取值范围是[-1,8-4 2 ]
附加题. (10 分) 设 M 点是圆 C : x ? ( y ? 4) ? 4 上的动点, 过点 M 作圆 O : x ? y ? 1 的
2 2 2 2

两条切线,切点分别为 A, B ,切线 MA, MB 分别交 x 轴于 D, E 两点.是否存在点 M ,使得 线段 DE 被圆 C 在点 M 处的切线平分?若存在,求出点 M 的纵 坐标;若不存在,说明理 . 由. 解:设存在点 M ( x0 , y0 ) 满足条件 设过点 M 且与圆 O 相切的直线方程为: y ? y0 ? k ( x ? x0 )

则由题意得,

| ?kx0 ? y0 | 1? k
2

? 1 ,化简得: ( x02 ?1)k 2 ? 2x0 y0k ? y02 ?1 ? 0

设直线 MA, MB 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 ? k2 ?

2 x0 y0 y0 2 ? 1 , k k ? 1 2 x0 2 ? 1 x0 2 ? 1

圆 C 在点 M 处的切线方程为 y ? y0 ?

? x0 ( x ? x0 ) y0 ? 4

y0 2 ? 4 y0 令 y ? 0 ,得切线与 x 轴的交点坐标为 ( ? x0 , 0) x0
又得 D, E 的坐标分别为 (

? y0 ?y ? x0 , 0), ( 0 ? x0 , 0) k1 k2

由题意知, 2(

y02 ? 4 y0 ?y ?y ? x0 ) ? 0 ? x0 ? 0 ? x0 x0 k1 k2
y 0 ?4 ? x0 y0 13 ? 105 ,与 x02 ? ( y0 ? 4)2 ? 4 联立,得 y0 ? ? 2 8 x0 y0 ? 1

用韦达定理代入可得,


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