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2016年模拟考试试题(理科数学)


2016 年广州市普通高中毕业班模拟考试

理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在

答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第 Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
x (1)若全集 U=R,集合 A ? x 1 ? 2 ? 4 , B ? x x ? 1 ? 0 ,则 A I ?U B =

?

?

?

?

(A) x 1 ? x ? 2

?

?

(B) x 0 ? x ? 1

?

?

(C) x 0 ? x ? 1

?

?

(D) x 1 ? x ? 2
2

?

?

(2)已知 a, b ? R , i 是虚数单位,若 a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数,则 ? a ? bi ? = (A) 3+4i (3)下列说法中正确的是 (A) “ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x ) 是奇函数”的充要条件
2 (B)若 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ?1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0

(B) 5+4i

(C) 3 ? 4i

(D) 5 ? 4i

(C)若 p ? q 为假命题,则 p , q 均为假命题

? 1 ? 1 ,则 sin ? ? ”的否命题是“若 ? ? ,则 sin ? ? ” 2 2 6 6 ( 4 ) 已 知 f ? x ? 在 R 上 是 奇 函 数 , 且 满 足 f ? x ? 4? ? f ? x ? , 当 x ? ? 0,2?
(D)命题“若 ? ? 时, f ? x ? ? 2x ,则 f ? 7? ?
2

开始

x=1,y=1,k=0

(A) 2 (C) ?98 (5)执行如图所示的程序框 图 ,输出的结果为 (A) ? ?2 ,2 ? (C) ? ?4 ,? 4 ?

(B) ?2 (D) 98

s=x-y,t=x+y x=s,y=t

(B) ? ?4 ,0 ?

? 8? (D) ? 0 ,

k=k+1 否 k≥3 是 输出(x,y)

(6)各项均为正数的等差数列 ?an ? 中, a4 a9 ? 36 ,则前 12 项和 S12 的最小值为 (A) 78 (C) 60 (B) 48 (D) 72

结束

理科数学试题 第 1 页(共 14 页)

(7)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是斜边长为 2 的直角三角形,俯视图是半径为 1 的四分之一圆周和两条半径,则这个 几何体的体积为 (A)

3 ? 12

(B)

3 ? 6

(C)

3 ? 4

(D)

3 ? 3
俯视图

(8)已知 sin ? ?

3 ?? ? ,且 ? ? ? ,? ? ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ?)(? ? 0) 的图像 5 ?2 ? ? ,则 2

的相邻两条对称轴之间的距离等于 (A) ?

??? f ? ? 的值为 ?4?
(C)

3 5

(B) ?

4 5

3 5

(D)

4 5

? 2 x ? y ? 2 ? 0, x ? (9)若实数 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ? 0, 则 的取值范围是 y ? y ? 2, ?
(A) ? , 2 ? 3

?2 ?

? ?

(B) ? , ? 2 2

?1 3? ? ?

(C) ? , 2 ? 2

?3 ?

? ?

(D) ?1, 2?

x2 y 2 (10)过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为点 A ,与另一条渐 a b
近线交于点 B ,若 FB ? 2 FA ,则此双曲线的离心率为 (A) 2 (B) 3 (C)2 (D) 5

uur

uur

(11)将 5 位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这 3 所大学就读,每所大学至少保送 1 人,则不同的保送方法共有 (A) 150 种 (B) 180 种 (C) 240 种 (D)540 种

(12)已知 ?ABC 的三个顶点 A , B ,C 的坐标分别为 ? 0,1? , 足 CP ? 1 ,则 OA ? OB ? OP 的最小值是 (A) 3 ? 1 (B) 11 ? 1

?

2, 0 , ? 0, ?2 ? ,O 为坐标原点,动点 P 满

?

uur

uur

uu u r uu u r

(C) 3 ? 1

(D) 11 ? 1

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第 Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)已知向量 a , b 满足 | b |? 4 , a 在 b 方向上的投影是 (14)已知 cos ?? ? ? ? ? ?
10

1 b= ,则 a ? 2




1 ?? ? ,则 sin ? 2? ? ? ? 3 2? ?

a? ? (15) ? x ? 2 ? 展开式中的常数项为 180 ,则 a ? x ? ?



(16)已知 y ? f ? x ? 为 R 上的连续可导函数,且 xf ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,则函数 g ? x ? ? xf ? x ? ?1 ? x ? 0 ? 的零点个数为___________.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 设 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a1 ? 2 ,对任意 n ? N ,都有 2Sn ? ? n ?1? an .
*

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?

?

? 1 4 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? 1 . 2 ? an (an ? 2) ?

(18)( 本小题满分 12 分)

?BAC ? 120 ,D, D1 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C 中, 侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,AB ? AC ? 2 AA 1,
?

分别是线段 BC , B1C1 的中点,过线段 AD 的中点 P 作 BC 的平行线,分别交 AB , AC 于点 M , N . (Ⅰ)证明: MN ? 平面 ADD1 A1 ; (Ⅱ)求二面角 A ? A 1M ? N 的余弦值. C1 C N A D1 A1 B1 P D M B

理科数学试题 第 3 页(共 14 页)

(19) (本小题满分 12 分) 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库年入流量 X (年 入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在 40 以上.其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频 率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (Ⅰ)求在未来 4 年中,至多 1 年的年入流量超过 120 的概率; (Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有 如下关系; 年入流量 X 发电机最多可运行台数

40 ? X ? 80
1

80 ? X ? 120
2

X ? 120
3

若某台发电机运行,则该台发电机年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台发电机年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

(20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2 ?

x2 a

y2 3 ? 1 ? a ? b ? 1? 的离心率 e ? ,且椭圆 C1 上一点 2 b 2

3? 的距离的最大值为 4. M 到点 Q?0,
(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设 A ? 0, ? , N 为抛物线 C2:y ? x 上一动点,过点 N 作抛物线 C2 的切线交椭圆 C1 于 B ,
2

? 1? ? 16 ?

C 两点,求 ?ABC 面积的最大值.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e ? ax ( e 为自然对数的底数, a 为常数)在点 ? 0,1? 处的切线斜率为 ?1 .
x

(Ⅰ)求 a 的值及函数 f ?x ? 的极值; (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时, x ? e ;
2 x

(III)证明:对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,使得当 x ? ?x0, ? ?? ,恒有 x ? ce .
2 x

理科数学试题 第 4 页(共 14 页)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.

(22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图 ?ACB ? 90? , CD ? AB 于点 D ,以 BD 为直径的圆 O 与 BC 交于点 E . (Ⅰ)求证: BC ? CE ? AD ? DB ;
o (Ⅱ)若 BE ? 4 ,点 N 在线段 BE 上移动, ?ONF ? 90 ,

C E N A D O B F

NF 与 e O 相交于点 F ,求 NF 的最大值.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ? 参数, a ? 0 ). (Ⅰ)若曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上,求 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 3 时,曲线 C1 与曲线 C2 交于 A , B 两点,求 A , B 两点的距离.

? x ? t ? 1, ? x ? a cos ?, ( t 为参数)与曲线 C2 : ? (? 为 ? y ? 1 ? 2t ? y ? 3sin ?

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ?| x ? m | ? | x | , m ? N* ,存在实数 x 使 f ( x) ? 2 成立. (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)若 ? , ? ? 1 , f (? ) ? f ( ? ) ? 4 ,求证:

4 1 ? ? 3. ? ?

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2016 年广州市普通高中毕业班模拟考试 理科数学答案及评分参考
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一.选择题 (1)C (7)A 二.填空题 (13)2 (14) ? (2)A (8)B (3)D (9)B (4)B (10)C (5)B (11)A (6)D (12)A

7 9

(15) 2 或 ?2

(16)0

(其中第 15 题中,答对 2 个给 5 分,答对 1 个给 3 分) 三.解答题 (17)证明: (Ⅰ)因为 2Sn ? ? n ?1? an , 当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? nan?1 , 两式相减,得 2an ? ? n ?1? an ? nan?1 , 即 ? n ?1? an ? nan?1 , 所以当 n ? 2 时, 所以

an an ?1 ? . n n ?1

an a1 ? . n 1

因为 a1 ? 2 ,所以 an ? 2n . (Ⅱ)因为 an ? 2n , bn ?

4 ? , n?N , an (an ? 2)

所以 bn ?

4 1 1 1 ? ? ? . 2n(2n ? 2) n(n ? 1) n n ? 1
理科数学试题 第 6 页(共 14 页)

所以 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1 ? ? 1? ? 1 1? ?1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2? ? 2 3? ? n n ?1 ?
1 n ? . n ?1 n ?1 1 1 ? 0 ,所以 1 ? ?1. 因为 n ?1 n ?1 1 * 因为 f ? n ? ? 在 N 上是单调递减函数, n ?1 1 * 所以 1 ? 在 N 上是单调递增函数. n ?1 1 所以当 n ? 1 时, Tn 取最小值 . 2 1 所以 ? Tn ? 1 . 2

? 1?

广东数学教师 QQ 群:179818939。里面数学资源丰富,研讨数学问题热烈。 (18) (Ⅰ)证明:因为 AB ? AC , D 是 BC 的中点,所以, BC ? AD . 因为 M , N 分别为 AB , AC 的中点,所以 MN ? BC . 所以 MN ? AD . 因为 AA1 ? 平面 ABC , MN ? 平面 ABC ,所以 AA1 ? MN .

AD 与 AA1 相交, 又因为 AD, AA1 在平面 ADD1 A 1 内,且
所以 MN ? 平面 ADD1 A 1.

A 作 AE ? A1P 于 E , (Ⅱ)解法一:连接 A 1P ,过
过 E 作 EF ? A1M 于 F ,连接 AF . 由(Ⅰ)知, MN ? 平面 AEA1 , 所以平面 AEA1 ? 平面 A1MN . 所以 AE ? 平面 A1MN ,则 A1M ? AE . 所以 A1M ? 平面 AEF ,则 A1M ? AF . 故 ?AFE 为二面角 A ? A 1M ? N 的平面角(设为 ? ).

C N C1 A E A1 P F D M D1 B1 B

设 AA1 ? 1,则由 AB ? AC ? 2AA1 , ?BAC ? 120 ,有 ?BAD ? 60 , AB ? 2, AD ? 1 .
? ?

理科数学试题 第 7 页(共 14 页)

又 P 为 AD 的中点,则 M 为 AB 的中点,所以 AP ? 在 Rt? AA 1P ? 1P , A

1 , AM ? 1 . 2

5 ,在 Rt? A1 AM 中, A 1M ? 2 . 2

从而 AE ?

AA1 ?AP AA1 ?AM 2 5 , AF ? . ? ? A1M 2 A1P 5
AE 10 . ? AF 5
2

所以 sin ? ?

因为 ?AFE 为锐角,

? 10 ? 15 所以 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? . ? 5 ? ? ? 5 ? ?
2

故二面角 A ? A 1M ? N 的余弦值为

15 . 5

解法二: 设 AA1 ? 1.如图,过 A 1作 A 1E 平行于 B 1 为坐标原点,分别以 A 1C1 ,以 A 1E, A 1D 1,A 1 A 的方向 为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 O ? xyz (点 O 与点 A 1 重合). 则A 1 ? 0,0,0? , A ? 0,0,1? . 因为 P 为 AD 的中点,所以 M , N 分别为 AB, AC 的中点, 故M ? C N C1 A D1 A1 B1 x z P D M y B

???? ????? ????

? 3 1 ? ? 3 1 ? ? 2 , 2 ,1? ?, N ? ? ? , ,1? ?, ? ? ? 2 2 ?

所以 A1M ? ? ?

?????

???? ? ? 3 1 ? ???? , ,1? , A1 A ? ? 0,0,1? , NM ? ? ? 2 2 ?

?

3,0,0 .

?

设平面 AA1M 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,

? ????? ? ????? ? 3 1 ? ? ? ?? x1 , y1 , z1 ? ? ? ?n1 ? A1M , ?n1 ? A1M ? 0, ? 2 , 2 ,1? ? ? 0, 则? 故有 ? ???? ? 即? ???? ? ? ? ? ? ? n1 ? A1 A, ? n1 ? A1 A ? 0, ? ? x1 , y1 , z1 ? ? ? 0, 0,1? ? 0.

? 3 1 x ? y ? z1 ? 0, ? 从而 ? 2 1 2 1 取 x1 ? 1 ,则 y1 ? ? 3 , ? z1 ? 0. ?
所以 n1 ? 1, ? 3, 0 是平面 AA1M 的一个法向量.

?

?

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设平面 A1MN 的法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? ,

? ? 3 1 ? ????? ? ????? x , y , z ? ? ? ? ? ? ? 2 , 2 ,1? ? ? 0, ?n2 ? A1M , ?n2 ? A1M ? 0, ? 2 2 2 ? 则? 故有 ? ? ? ????? ? 即? ???? ? n ? NM , n ? NM ? 0, ? ? ? ? 2 ? 2 x , y , z ? 3, 0, 0 ? 0. ? ? ? 2 2 2?

?

?

? 3 1 x2 ? y2 ? z2 ? 0, ? 从而 ? 2 取 y2 ? 2 ,则 z2 ? ?1, 2 ? 3 x2 ? 0. ?
所以 n2 ? ? 0, 2, ?1? 是平面 A1MN 的一个法向量.

? ? 设二面角 A ? A 1M ? N 的平面角为 ,又 为锐角,
则 cos ? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

?1, ?

3, 0 ? ? 0, 2, ?1? 2? 5

?

?

15 . 5
15 . 5
10 1 ? , 50 5

故二面角 A ? A 1M ? N 的余弦值为

广东数学教师 QQ 群:179818939。里面数学资源丰富,研讨数学问题热烈。 (19)解: (I)依题意 P 1 ? P (40 ? X ? 80) ?

P2 ? P(80 ? X ? 120) ?

35 7 5 1 ? , P3 ? P ( X ? 120) ? ? . 50 10 50 10

由二项分布,在未来 4 年中至多有 1 年入流量超过 120 的概率为:

?9? ?9? 1 P ? C (1 ? P 3 ) ? C (1 ? P 3) P 3 ?? ? ? 4?? ? ? ? 10 ? ? 10 ? 10
0 4 4 1 4 3

4

3

?

9477 ? 0.9477 . 10000

(Ⅱ)记水电站年总利润为 Y (单位:万元) , 由于水库年入流量总大于 40,所以至少安装 1 台. ①安装 1 台发电机的情形: 由于水库年入流量总大于 40,所以一台发电机运行的概率为 1, 对应的年利润 Y ? 5000 , EY ? 5000 ? 1 ? 5000 .

理科数学试题 第 9 页(共 14 页)

②安装 2 台发电机的情形: 当 40 ? X ? 80 时,一台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 800 ? 4200 , 因此 P(Y ? 4200) ? P(40 ? X ? 80) ? P 1 ? 0.2 . 当 X ? 80 时,两台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 2 ? 10000 , 因此 P(Y ? 10000) ? P( X ? 80) ? P 2 ?P 3 ? 0.8 . 所以 Y 的分布列如下:

Y P

4200 0.2

10000 0.8

所以 EY ? 4200 ? 0.2 ? 10000 ? 0.8 ? 8840 . ③安装 3 台发电机的情形: 当 40 ? X ? 80 时,一台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 800 ? 2 ? 3400 , 因此 P(Y ? 3400 ) ? P(40 ? X ? 80) ? P 1 ? 0.2 . 当 80 ? X ? 120 时,两台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 2 ? 800 ? 9200 , 此时 P(Y ? 9200 ) ? P(80 ? X ? 120) ? P2 ? 0.7 . 当 X ? 120 时,三台发电机运行,此时 y ? 5000? 3 ? 15000, 因此 P(Y ? 15000 ) ? P( X ? 120) ? P 3 ? 0.1 . 所以 Y 的分布列如下:

Y P

3400 0.2

9200 0.7

15000 0.1

所以 EY ? 3400 ? 0.2 ? 9200 ? 0.7 ? 15000 ? 0.1 ? 8620 . 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装 2 台发电机.

(20)解: (Ⅰ)因为 e ?
2

c 2 a 2 ? b2 3 ? ? ,所以 a 2 ? 4b2 . 2 2 a a 4

则椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1, 即 x2 ? 4 y 2 ? 4b2 . 4b 2 b 2
理科数学试题 第 10 页(共 14 页)

设 M ( x, y ) ,则 MQ ?

( x ? 0)2 ? ( y ? 3)2 ? 4b 2 ? 4 y 2 ? ( y ? 3) 2

? ? 3 y 2 ? 6 y ? 4b 2 ? 9 ? ? 3( y ? 1) 2 ? 4b 2 ? 12 .
当 y ? ?1 时, | MQ | 有最大值为 4b2 ? 12 ? 4 . 解得 b2 ? 1 ,则 a 2 ? 4 . 所以椭圆 C1 的方程是

x2 ? y2 ? 1 . 4

(Ⅱ)设曲线 C : y ? x2 上的点 N (t , t 2 ) ,因为 y? ? 2 x , 所以直线 BC 的方程为: y ? t 2 ? 2t ( x ? t ),即y ? 2tx ? t 2 . ①

将①代入椭圆方程

x2 ? y 2 ? 1 中整理, 4

得 (1 ? 16t 2 ) x 2 ?16t 3 x ? 4t 4 ? 4 ? 0 . 则有 ? ? (16t 3 ) 2 ? 4(1 ? 16t 2 )(4t 4 ? 4) ? 16(?t 4 ? 16t 2 ? 1) . 且 x1 ? x2 ?

16t 3 4t 4 ? 4 , x x ? . 1 2 1 ? 16t 2 1 ? 16t 2

2 2 2 所以 | BC |? 1 ? 4t | x1 ? x2 |? 1 ? 4t ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2

?

4 1 ? 4t 2 ? t 4 ? 16t 2 ? 1 . 1 ? 16t 2

设点 A 到直线 BC 的距离为 d ,则 d ?

1 ? 16t 2 16 1 ? 4t 2



所以 ?ABC 的面积 S ?

1 1 4 1 ? 4t 2 ?t 4 ? 16t 2 ? 1 1 ? 16t 2 . | BC | d ? ? ? 2 2 1 ? 16t 2 16 1 ? 4t 2
1 1 65 ?t 4 ? 16t 2 ? 1 ? ?(t 2 ? 8)2 ? 65 ? . 8 8 8

?

当 t ? ?2 2 时取到“=” ,经检验此时 ? ? 0 ,满足题意. 综上, ?ABC 面积的最大值为

65 . 8

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(21) (I)解:由 f ( x) ? e x ? ax ,得 f '( x) ? e x ? a . 因为 f ?(0) ? 1 ? a ? ?1 ,所以 a ? 2 . 所以 f ( x) ? e x ? 2 x , f '( x) ? e x ? 2 . 令 f '( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 . 当 x ? ln 2 时, f '( x) ? 0, f ( x) 单调递减;当 x ? ln 2 时, f '( x) ? 0, f ( x) 单调递增. 所以当 x ? ln 2 时, f ( x ) 取得极小值,且极小值为 f (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? ln 4, f ( x) 无极大值. (Ⅱ)证明:令 g ( x) ? e x ? x 2 ,则 g '( x) ? e x ? 2 x . 由(I)得 g '( x) ? f ( x) ? f (ln 2) ? 0 ,故 g ( x) 在 R 上单调递增. 所以当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 1 ? 0 ,即 x ? e .
2 x

(Ⅲ)证明一:①若 c ? 1 ,则 e ? ce .
x x

由(Ⅱ)知,当 x ? 0 时, x ? e .所以当 x ? 0 时, x ? ce .
2 x 2 x

取 x0 ? 0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce .
2 x

②若 0 ? c ? 1 ,令 k ?
2 x

1 ? 1, c
x 2

要使不等式 x ? ce 成立,只要 e ? kx 成立. 而要使 e ? kx 成立,则只要 x ? ln(kx 2 ) ,只要 x ? 2ln x ? ln k 成立.
x 2

令 h( x) ? x ? 2ln x ? ln k ,则 h '( x) ? 1 ?

2 x?2 ? . x x

所以当 x ? 2 时, h '( x) ? 0, h( x) 在 (2, ??) 内单调递增. 取 x0 ? 16k ? 16 ,所以 h( x) 在 ( x0 , ??) 内单调递增. 又 h( x0 ) ? 16k ? 2ln(16k ) ? ln k ? 8(k ? ln 2) ? 3(k ? ln k ) ? 5k , 易知 k ? ln k , k ? ln 2,5k ? 0 . 所以 h( x0 ) ? 0 .即存在 x0 ?

16 2 x ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce . c
2 x

综上,对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce .

理科数学试题 第 12 页(共 14 页)

证明二:对任意给定的正数 c ,取 x0 ?

4 , c
x x

由(Ⅱ)知,当 x ? 0 时, e x ? x ,所以 e x ? e 2 ? e2 ? ?

2

? x? ? ?2?

2

? x? ? ? ? . ? 2?

2

? x? 当 x ? x0 时, e ? ? ? ?2?
x

2

? x? 4? x? 1 2 ? ? ? ? ? ? ? x . ? 2? c? 2? c
2 x

2

2

因此,对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce . 证明三:首先证明当 x ? ? 0, ??? 时,恒有 令 h ? x? ?

1 3 x ? ex . 3

1 3 x x ? e ,则 h? ? x ? ? x2 ? ex . 3
x
2

由(Ⅱ)知,当 x ? 0 时, e ? x , 从而 h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递减。

1 3 x ? ex . 3 1 2 1 3 3 x 取 x0 ? ,当 x ? x0 时,有 x ? x ? e . c 3 c
所以 h ? x ? ? h ? 0? ? ?1 ? 0 ,即 因此,对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce .
2 x

(22)解: (Ⅰ) 在 ?ACB 中, ?ACB ? 90 , CD ? AB 于点 D ,
?
2 所以 CD ? AD ? DB ,

因为 CD 是圆 O 的切线,
2 由切割线定理得 CD ? CE ? CB .

所以 CE ? CB ? AD ? DB . (Ⅱ)因为 ON ? NF ,所以 NF ? OF 2 ? ON 2 . 因为线段 OF 的长为定值,即需求解线段 ON 长度的最小值. 弦中点到圆心的距离最短,此时 N 为 BE 的中点,点 F 与点 B 或 E 重合. 因此 NF
max

?

1 BE ? 2 . 2

理科数学试题 第 13 页(共 14 页)

(23)解: (Ⅰ)曲线 C1 : ?

? x ? t ? 1, 的直角坐标方程为 y ? 3 ? 2 x . ? y ? 1 ? 2t

曲线 C1 与 x 轴交点为 ?

?3 ? ,0? . ?2 ?

? x ? a cos ? , x2 y 2 ? 1. 曲线 C2 : ? 的直角坐标方程为 2 ? a 9 ? y ? 3sin ?
曲线 C2 与 x 轴交点为 (?a,0),(a,0) . 由 a ? 0 ,曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上,知 a ? (Ⅱ)当 a ? 3 时, 曲线 C2 : ?

3 . 2

? x ? 3cos ? , 为圆 x 2 ? y 2 ? 9 . y ? 3sin ? ?

圆心到直线 y ? 3 ? 2 x 的距离 d ?

3 2 ?1
2 2

?

3 5 . 5
2

? 3 5 ? 12 5 所以 A, B 两点的距离 AB ? 2 r ? d ? 2 9 ? ? . ? 5 ? ? ? 5 ? ?
2 2

(24)解: (Ⅰ)因为 | x ? m | ? | x |? ( x ? m) ? x ? m . 要使不等式 | x ? m | ? | x |? 2 有解,则 | m |? 2 ,解得 ?2 ? m ? 2 . 因为 m ? N* ,所以 m ? 1 . (Ⅱ)因为 ? , ? ? 1 , 所以 f (? ) ? f ( ? ) ? 2? ? 1 ? 2? ? 1 ? 4 ,即 ? ? ? ? 3 .

所以

4

?

?

1? 4 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3?? ? ? 1
4? ? ? 1 ? 4? ? ? 1 ? 5 ? 2 . ? ? 3. ? ?5 ? ? ?? ? ? ?? 3? ? ? ? 3? ? ?

(当且仅当

4?

?

?

? 时,即 ? ? 2 , ? ? 1 等号成立) ?



4

?

?

1

?

? 3.
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