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2.直线的法向量与点法式方程


点向式方程: v

2

( x ? x 0 ) ? v1 ( y ? y 0 ) ? 0
? y ? y0 v2
0

x ? x0 v1

( v1 ? 0 , v 2 ? 0 )

点斜式方程: ( y ? y

) ? k ( x ?

x0 )

斜截式方程: y ? kx ? b

直线的法向量 与点法式方程

? 与直线平行的非零向量,用 v 表示 直线的方向向量: ? 直线的法向量:与直线垂直的非零向量, 用 n 表示
不唯一,互相平行(共线)
y

不唯一,互相平行(共线)

? n ? ( A, B )

l
P ( x, y )

? ? ???? n ?p 0 p ? 0
x

P0 ( x 0 , y 0 )

? v ? ( B , ? A)

O

? ? ? v ? ( B , ? A ) 则 v ?n ? ( B , ? A ) ?( A , B ) ? B ? A ? ( ? A ) ? B ? 0 ? ? ? n ? ( A , B ) 是直线 l 的一个法向量,则向量 所以 v ? n ? v ? ( B , ? A ) 就是直线的一个方向向量。

A ( x ? x0 ) ? B ( y ? y 0 ) ? 0

点法式方程

A ( x ? x 0 ) ? B ( y ? y 0 ) ? 0 1、求过点 P (1, 2),且一个法向量为 ?

n ? (3, 4) 的直线方程。

解:由直线的点法式方程,得

典 题

3( x ? 1) ? 4( y ? 2) ? 0 3 x ? 4 y ? 11 ? 0 2、已知点 A ( ? 3, 2), B (1, ? 4) ,求线 段 A B 的垂直平分线的方程。 ??? ? 解:由题意,向量 A B 即为所求 ? 直线的一个法向量,即 n ? (4, ? 6) , 设法用已知的条件找到所求 线段A B 的中点坐标是( ? 1, ? 1)

整理,得所求直线方程为

直线的一个法向量。 再由直线的点法式方程,得
4( x ? 1) ? 6( y ? 1) ? 0 2x ? 3y ?1 ? 0

整理,得所求直线方程为

? 3、已知直线 l 的法向量为 n ? (2, ? 3) ,

典 题

且与两坐标轴围成的三角形的面积为3, 求直线 l 的方程。 解:设直线 l 与 x 轴相交于( a , 0) , 由点法式方程,得
2( x ? a ) ? ( ? 3)( y ? 0) ? 0



2 x ? 3 y ? 2a ? 0

令 x ? 0 ,得 y ? ?
1 2

2a 3 2a 3 |? 3

由三角形面积公式,得
S ? | a || ?

解得a ? ? 3 所以直线 l 的方程为

2 x ? 3 y ? 6 ? 0或 2 x ? 3 y ? 6 ? 0

直线的法向量
直线的点法式方程

? n ?

? v ?

k
A B

( A, B ) ? ( B , ? A )或 ( ? B , A ) ? k ? ?

( ? k ,1) ? (1, k ) ? k


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