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山西省各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(3)函数与导数


山西省各地市 2012 年高考数学最新联考试题分类大汇编 (3) 函数与 导数
一、选择题: 3.(山西大学附中 2012 年高三下学期三模理科)由曲线 y ? x 2 ? 2 x 与直线 x ? y ? 0 所围 成的封闭图形的面积为( D A. ) C.

2 3

B.

5 6

1

3

D.

1 6

12. (山西大学附中 2012 年高三下学期三模理科)已知函数 f(x)满足:①定义域为 R;② 对任意 x∈R,有 f(x 十 2)=2f(x) ; ③当 x∈[-1,1]时,f(x)=-|x|+1,则函数 y= 上零点的个数是(C) (A)17 (B)12 在区间[-10,10]

(C)11

(D)10

16. (山西大学附 中 2012 年高三下学期三模理科)对于定义域为 D 的函数 f ?x ? ,若存在区 间 M ? ?a, b? ? D?a < b? ,使得 y y ? f ?x?, x ? M ? M ,则称区间 M 为函数 f ?x ? 的“等 值区间”.给出下列四个函数: ① f ?x ? ? 2 x ; ② f ?x ? ? x3 ; ③ f ?x ? ? sin x; ④ f ?x ? ? log2 x ? 1. 则存在“等值区间”的函数的序号是(B.) A .1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7.(山西省太原市 2012 年高三第三次模拟)设函数

?

?

f ( x) ? g ( x) ? x 2 ,曲线y ? g (x) 在点(1, g(1)) 处的切线方程为 y = 2x 十 1,则曲线
y= f ( x ) 在点 (1,f(1) )处切线的斜率为 A.2 B. ?

1 4

C.4

D. ?

1 2

2.(山西省四校 2012 届高三第三次联考理科)曲线 y ? x ln x 在点 (e, e) 处的切线与直线

x ? ay ? 1 垂直,则实数 a 的值为
A.2 B.-2 C.

1 2

D. ?

1 2
1

【 答案】A 7. (山西省四校 2012 届高三第三次联考理科) 定义在 R 上的函数 f ?x ? 满足

? log2 ?8 ? x ?, x ? 0 ,则 f ?3? 的值为 f ?x ? ? ? ? f ?x ? 1? ? f ?x ? 2?, x ? 0
A. 1 B.2

C. ? 2

D. ? 3

11. (山西省太原五中 2012 届高三 4 月月考理科)若 R 上的奇函数 y ? f (x) 的图象关于直线

x ? 1 对称,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? log2 x ,则方程

f ( x) ?

1 ? f (0) 在区间 4

(2010 2012 内的所有实数根之和为( B ) , )
A. 4020 二、填空题: B.4022 C.4024 D.4026

? a, x ? 1 ? 16. (山西省四校 2012 届高三第三次联考理科)函数 f ( x) ? ? 1 | x ?1| 若关于 x 的方程 ?( 2 ) ? 1, x ? 1 ?

2 f 2 ( x) ? (2a ? 3) f ( x) ? 3a ? 0 有五个不同的实数解,则 a 的取值范围是
__ ______. (1, ) ? ( , 2)

3 2

3 2

三、解答题: 21.(山西大学附中 2012 年高三下学期三模理科)(本题满分 12 分) 设 函数
b f ( x) ? ax ? ( a, b ? R) ,若 f ( x ) 在 点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 1 . x

(Ⅰ)用 a 表示 b ; (Ⅱ)设 g ( x ) ? ln x ? f ( x) ,若 g ( x ) ? ?1 对定义域内的 x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
b b ,依题意有: f ?(1) ? a ? 2 ? a ? b ? 1 ? b ? a ? 1 ; 2 x x a ?1 (Ⅱ) g( x) ? ln x ? f ( x) ? ln x ? (ax ? ) ? ?1 恒成立. x

解: (Ⅰ) f ?( x ) ? a ?

????2′

g ( x ) ? ?1 恒成立即 g ( x )max ? ?1 .

方法一: g ( x ) ? ?1 恒成立,则 g (1) ? 1 ? ?a ? a ? 1 ? 1 ? 0 ? a ? 1 .
2

?( ax ? a ? 1)( x ? 1) ? 当 a ? 1 时, g ?( x ) ? x2

1 ? a[ x ? ( ?1 ? )]( x ? 1) 1 a ? 0 ? x ? 1, x ? ?1 ? x2 a

x ? ?1 ?

1 ? 0, x2 g ?(0) ? 0 ,则 x ? (0,1) , g ?( x) ? 0 , g ( x ) 单调递增,当 x ? (1, ?? ) , a

g ?( x) ? 0 , g ( x ) 单调递减,则 g ( x )max ? g (1) ? 1 ? 2a ? ?1 ,符合题意;

即 g ( x ) ? ?1 恒成立,实数 a 的取值范围为
a ?1 ;

?????6′

1 1 ( g (?1 ? ) ? ln(?1 ? ) ? 1 ? 0 矛盾; ) a a 1 若 a ? 1 ,?1 ? ? 0 , x ? (0,1) , g ?( x) ? 0 , g ( x ) 单调递增;当 x ? (1, ?? ) , g ?( x) ? 0 , g ( x ) a

单调递减,则 g ( x )max ? g (1) ? 1 ? 2a ? ?1 ,符合题意; 综上,得 g ( x ) ? ?1 恒成立,实数 a 的取值范围为 a ? 1 ; 21.(山西省山大附中 2012 届高三 4 月月考文科)(本小题满分 12 分 ) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 2 .( a ? R ). (1)当 a ? 1 时,求函数 f (x) 的极值;
3 2

?????6

(2)若对 ?x ? R ,有 f '( x ) ?| x | ?

4 成立,求实数 a 的取值范围. 3

3

当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

1 (??, ? ) 3
+ 单调递增

?
0

1 3

1 ( ? ,1) 3 ?
单调递减

1 0 极小

(1, ??)
+ 单调递增

极大

----------------------------------------------------------------------------4 分 ∴当 x ? ? 时,函数 f ( x ) 有极大值, f ( x)极大 =f ( ? ) ? 2

1 5 , ---------------5 分 3 27 当 x ? 1 时函数 f ( x ) 有极小值 , f ( x)极小 ? f (1) ? 1 ---------- ------6 分

1 3

1 1 1 ? 2 3| x | ? ? 2 ,当且仅当 x ? ? 时等号成立, 3 3| x | 3| x | 1 ∴ 1 ? 2a ? 2 ? a ? ? --------------------------------13 分 2 ③当 x ? 0 时, a ? R 1 1 综上得实数 a 的取值范围为 [? , ] .--------------------------14 分 2 2
∵ 3| x | ? 21. (山西省太原五中 2012 届高三 4 月月考理科)(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x2 ? a ( x ? R)(e 是自然对数的底数, e ? 2.71 ) ex

(1)当 a ? ?15 时,求 f (x) 的单调区间; (2)若 f (x) 在区间 [ , e ] 上是增函数 ,求实数 a 的取值范围;

1 e

(3)证明

1 ? 12 1 ? 2 2 1 ? 32 1 ? n2 5n * 对一切 n ? N 恒成立。 ? 2 ? 3 ??? n ? e e e e 4 e
4

20. (满分 12 分)

2 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 4km , x1 x2 ? 2m ? 2 2 2

1 ? 2k

1 ? 2k

7分

5


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