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2014年高考文科数学之数列练习


2014 年高考文科数学之数列练习
一、选择题 1 . ( 2013 年 高 考 大 纲 卷 ( 文 ) ) 已 知 数 列 ? an ? 满 足 ( D. 3 ?1+3-10 ? )

4 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? , 则?an ?的前10项和等于 3 1 A. -6 ?1-3-10 ? B. ?1-3-10 ? C. 3 ?

1-3-10 ? 9

【答案】C 2 . (2013 年高考安徽(文) )设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 ,则
a9 =

( B. ?4 C. ?2 D.2



A. ?6 【答案】A

3 . (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) )设首项为1 ,公比为 的等比数列 {an } 的前 n 项 和为 Sn ,则 A. Sn ? 2an ? 1 B. Sn ? 3an ? 2 C. Sn ? 4 ? 3an 【答案】D 4 . (2013 年高考辽宁卷(文) )下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ? an ? 的四个命 题:
p1 : 数列?an ? 是递增数列; p2 : 数列?nan ? 是递增数列; p4 : 数列?an ? 3nd ? 是递增数列;

2 3

( D. Sn ? 3 ? 2an



?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?

其中的真命题为 A. p1 , p2 【答案】D 二、填空题
1

( C. p2 , p3 D. p1 , p4



B. p3 , p4

5 . 2013 年 高 考 重 庆 卷 ( 文 ) 若 2 、 a 、 b 、 c 、 9 成 等 差 数 列 , 则 ( )
c ? a ? ____________.

【答案】

7 2

6 . (2013 年高考北京卷(文) )若等比数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 20, a3 ? a5 ? 40 ,则公 比 q =__________;前 n 项 S n =_____. 【答案】2, 2n?1 ? 2 7 . (2013 年高考广东卷(文) )设数列 {an } 是首项为1,公比为 ?2 的等比数列,则
a1 ? | a2 | ? a3 ? | a4 |? ________

【答案】 15 8 . (2013 年高考江西卷(文) )某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵树是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N*)等 于_____________. 【答案】6 9 . (2013 年高考辽宁卷(文) )已知等比数列 ?an ? 是递增数列, S n 是 ?an ? 的前 n 项 和,若 a1,a3 是方程 x2 ? 5x ? 4 ? 0 的两个根,则 S 6 ? ____________. 【答案】63 10. (2013 年高考陕西卷(文) )观察下列等式:
(1 ? 1) ? 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 2) ? 22 ? 1 ? 3 (3 ? 1)(3 ? 2)(3 ? 3) ? 23 ? 1 ? 3 ? 5

照此规律, 第 n 个等式可为________. 【答案】 (n ? 1)( n ? 2)( n ? 3)?(n ? n) ? 2 n ?1? 3 ? 5?? (2n ? 1) 11. (2013 年上海高考数学试题 (文科) 在等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 30 , )
2

则 a2 ? a3 ? _________. 【答案】15 三、解答题 12. (2013 年高考福建卷(文) )已知等差数列 {an } 的公差 d ? 1 ,前 n 项和为 Sn . (1)若 1, a1 , a3 成等比数列,求 a1 ; (2)若 S5 ? a1a9 ,求 a1 的取值范围. 【答案】解:(1)因为数列 {an } 的公差 d ? 1 ,且1, a1 , a3 成等比数列, 所以 a12 ? 1? (a1 ? 2) , 即 a12 ? a1 ? 2 ? 0 ,解得 a1 ? ?1 或 a1 ? 2 . (2)因为数列 {an } 的公差 d ? 1 ,且 S5 ? a1a9 , 所以 5a1 ? 10 ? a12 ? 8a1 ; 即 a12 ? 3a1 ? 10 ? 0 ,解得 ?5 ? a1 ? 2 13. (2013 年高考大纲卷(文) )等差数列 ?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 , (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ?
1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

【答案】(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,则 an ? a1 ? (n ? 1)d 因为 ?
a1 ? 6d ? 4 ? a7 ? 4 ? ,所以 ? . ?a1 ? 18d ? 2(a1 ? 8d ) ?a19 ? 2a9

解得, a1 ? 1, d ? . 所以 {an } 的通项公式为 an ? (Ⅱ) bn ?
n ?1 . 2

1 2

1 2 2 2 ? ? ? , nan n(n ? 1) n n ? 1

3

所以 Sn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ?

2 1

2 2

2 2

2 3

2 n

2 2n . )? n ?1 n ?1

14. (2013 年高考湖北卷(文) )已知 S n 是等比数列 {an } 的前 n 项和, S 4 , S 2 , S3 成等 差数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? ?18 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 n ,使得 Sn ? 2013 ?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合; 若不存在,说明理由. 【答案】(Ⅰ)设数列 {an } 的公比为 q ,则 a1 ? 0 , q ? 0 . 由题意得
? S 2 ? S 4 ? S3 ? S 2 , ? ?a2 ? a3 ? a4 ? ?18,



? ? a1q 2 ? a1q 3 ? a1q 2 , ? ? 2 ? a1q (1 ? q ? q ) ? ?18, ?

解得 ? ?

a1 ? 3,

? q ? ?2.

故数列 {an } 的通项公式为 an ? 3(?2)n?1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)有
Sn ? 3 ? [1 ? (?2)n ] ? 1 ? (?2)n . 1 ? (?2)

若存在 n ,使得 Sn ? 2013 ,则 1 ? (?2)n ? 2013 ,即 (?2)n ? ?2012. 当 n 为偶数时, (?2)n ? 0 , 上式不成立; 当 n 为奇数时, (?2)n ? ?2n ? ?2012 ,即 2n ? 2012 ,则 n ? 11 . 综上,存在符合条件的正整数
{n n? 2 k? 1 , kN ? , k?. 5 }

n

,且所有这样的 n 的集合为

15 . 2013 年 高 考 湖 南 ( 文 ) 设 S n 为 数 列 { a n } 的 前 项 和 , 已 知 ( )
a1 ? 0 ,2 a n ?a1 ? S1 ? S n , n ? N ?

(Ⅰ)求 a1 , a 2 ,并求数列{ a n }的通项公式;(Ⅱ)求数列{ na n }的前 n 项和.
2 【答案】解: (Ⅰ) ? S1 ? a1 . ? 当n ? 1时,a1 ? a1 ? S1 ? S1 ? a1 ? 0, a1 ? 1.
当n ? 1时,a n ? s n ? s n ?1 ? 2a n ? a1 2a n ?1 ? a1 ? ? 2a n ? 2a n ?1 ? a n ? 2a n ?1 S1 S1
4

? {a n }时首项为a1 ? 1公比为q ? 2的等比数列,a n ? 2 n ?1 , n ? N * .

(Ⅱ) 设Tn ? 1 ? a1 ? 2 ? a 2 ? 3 ? a3 ? ? ? n ? a n ? qTn ? 1 ? qa1 ? 2 ? qa 2 ? 3 ? qa3 ? ? ? n ? qa n
? qTn ? 1 ? a 2 ? 2 ? a3 ? 3 ? a 4 ? ? ? n ? a n ?1

上式左右错位相减:
(1 ? q )Tn ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? na n ?1 ? a1
? Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1, n ? N * .

1? qn ? na n ?1 ? 2 n ? 1 ? n ? 2 n 1? q

16. (2013 年高考重庆卷(文) )(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 7 分,(Ⅱ)小问 6 分) 设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? 3an , n ? N? . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 S n ; (Ⅱ)已知 ?bn ? 是等差数列, Tn 为前 n 项和,且 b1 ? a2 , b3 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 T20 . 【答案】

17.2013 年高考天津卷 ( (文)已知首项为 3 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn (n ? N *) , )
2

且 ?2S2 , S3 , 4S4 成等差数列. (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 证明 Sn ? 【答案】
1 13 ? (n ? N *) . Sn 6

5

? 18. (2013 年高考北京卷(文) )本小题共 13 分)给定数列 a1,a2, ,an .对 ? i ? 1, 2,?, n ? 1 ,该数列前 i 项的最大值记为 Ai ,后 n ? i 项 ai ?1,ai ? 2, ,an 的最小值

记为 Bi , di ? Ai ? Bi . (Ⅰ)设数列 ?an ? 为 3,4,7,1,写出 d1 , d 2 , d 3 的值;
? (Ⅱ)设 a1,a2, ,an ( n ? 4 )是公比大于 1 的等比数列,且 a1 ? 0 .证明:

d1 , d 2 ,, dn?1 是等比数列;

(Ⅲ)设 d1 , d 2 ,, dn?1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1 ? 0 ,证明: a1 , a2 ,, an?1 是等 差数列 【答案】解:(I) d1 ? 2, d2 ? 3, d3 ? 6 .
6

? (II)因为 a1 ? 0 ,公比 q ? 1 ,所以 a1,a2, ,an 是递增数列.

因此,对 i ? 1, 2,?, n ?1 , Ai ? ai , Bi ? ai ?1 . 于是对 i ? 1, 2,?, n ?1 , di ? Ai ? Bi ? ai ? ai ?1 ? a1 (1 ? q)qi ?1 . 因此 di ? 0 且
d i ?1 ? q ( i ? 1, 2,?, n ? 2 ),即 d1 , d 2 ,, dn?1 是等比数列. di

(III)设 d 为 d1 , d 2 ,, dn?1 的公差. 对 1 ? i ? n ? 2 ,因为 Bi ? Bi ?1 , d ? 0 ,所以 Ai ?1 ? Bi ?1 ? di ?1 ? Bi ? di ? d ? Bi ? di = Ai . 又因为 Ai ?1 ? max ? Ai , ai ?1? ,所以 ai ?1 ? Ai ?1 ? Ai ? ai .
? 从而 a1,a2, ,an?1 是递增数列,因此 Ai ? ai ( i ? 1, 2,?, n ? 2 ).

又因为 B1 ? A1 ? d1 ? a1 ? d1 ? a1 ,所以 B1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 . 因此 an ? B1 . 所以 B1 ? B2 ? ? ? Bn?1 ? an .

所以 ai ? Ai = Bi ? di ? an ? di . 因此对 i ? 1, 2,?, n ? 2 都有 ai ?1 ? ai ? di ?1 ? di ? d ,即 a1 , a2 ,, an?1 是等差数列. 19 . 2013 年 高 考 山 东 卷 ( 文 ) 设 等 差 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 为 S n , 且 ( )
S 4 ? 4S 2 , a 2 n ? 2a n ? 1

(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式 (Ⅱ)设数列 ?bn ?满足 【答案】
b b1 b2 1 ? ? ? ?? n ? 1 ? n , n ? N * ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? a1 a2 an 2

7

20. (2013 年高考浙江卷(文) )在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列.
8

(Ⅰ)求 d,an; (Ⅱ) 若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|++|an| . 【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:
(2a2 ? 2)2 ? 5a1a3 ? 4(a1 ? d ? 1) 2 ? 50(a1 ? 2d ) ? (11 ? d ) 2 ? 25(5 ? d )

?d ? 4 ?d ? ?1 ; ? 121 ? 22d ? d 2 ? 125 ? 25d ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0 ? ? 或? ?an ? 4n ? 6 ?an ? 11 ? n
(Ⅱ)由(1)知,当 d ? 0 时, an ? 11 ? n , ①当1 ? n ? 11时,
an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ? ? ?? an ? ? ? n(10 ? 11 ? n) n(21 ? n) ? 2 2

②当12 ? n 时,
an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ?? ?? a11 ? (a12 ? a13 ? ? ?? an ) ? ? ? ? 2(a1 ? a2 ? a3 ?? ?? a11 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ?? ?? an ) ? 2 ? ? ? 11(21 ? 11) n(21 ? n) n2 ? 21n ? 220 ? ? 2 2 2

? n(21 ? n) ,(1 ? n ? 11) ? 2 ? 所以,综上所述: | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ?? | an |? ? 2 ; ? n ? 21n ? 220 ? ,(n ? 12) ? ? 2

21. (2013 年高考四川卷(文) )在等比数列 {an } 中, a2 ? a1 ? 2 ,且 2a2 为 3a1 和 a3 的 等差中项,求数列 {an } 的首项、公比及前 n 项和. 【答案】解:设 ?an ? 的公比为 q.由已知可得
a1 q ? a1 ? 2 , 4a1 q ? 3a1 ? a1 q 2 ,

所以 a1 (q ? 1) ? 2 , q 2 ? 4q ? 3 ? 0 ,解得

q?3



q ? 1,

由于 a1 (q ? 1) ? 2 .因此 q ? 1 不合题意,应舍去, 故公比 q ? 3 ,首项 a1 ? 1 . 所以,数列的前 n 项和 S n ? 3
n

?1 2

22. (2013 年高考广东卷(文) )设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满
9

2 足 4Sn ? an?1 ? 4n ? 1, n ? N ? , 且 a2 , a5 , a14 构成等比数列.

(1) 证明: a2 ? 4a1 ? 5 ; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有
1 1 1 1 ? ?? ? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

2 2 【答案】(1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,? an ? 0 ? a2 ? 4a1 ? 5

2 2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ? 1? ? 1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an?1 ? an ? 4
2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an ?1 ? an ? 2 2

?当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 ? a2 , a5 , a14 构成等比数列,? a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

2 由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,? a1 ? 1

? a2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

?数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.

(3)
? ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? ??? a1a2 a2 a3 an an ?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? 2 ?

23. (2013 年高考安徽(文) )设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , a2 ? a4 ? 8 ,且对任意 n ? N * , 函数 f ( x) ? (an ? an ?1 ? an ? 2 ) x ? an ?1 ? cos x - an ? 2 ? sin x (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? (an ? 2
1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . ) 2an

满足 f '( ) ? 0
2

?

【答案】解:由 a1 ? 2

a2 ? a4 ? 8

f ( x) ? (an ? an ?1 ? an ? 2 ) x ? an ?1 ? cos x - an ? 2 ? sin x
10

? ? f(x) an - an ?1 ? an ? 2 - an ?1 ? sin x - an ? 2 ? cos x
f '( ) ? an - an ?1 ? an ? 2 - an ?1 ? 0 2

?

所以, 2an ?1 ? an ? an ? 2
??an ? 是等差数列.

而 a1 ? 2

a3 ? 4

d ?1

? an ? 2 ? n -1 ?1 ? n ? 1 ( )

(2) bn ? (an ? 2

1 1 1 ) (n ? 1 ? n ?1 ) (n ? 1 ? n ?2 ?2 ) an 2 2 2

1 1 ( n) 1(2 ? n ? 1 n 2 2 ) 2 Sn ? ? 1 2 12

1 2n 1 ? n 2 ? 3n ? 1- n 2 =(n ? 3) 1n ?

24. (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )已知等差数列 ?an ? 的公差不为零,a1=25,且 a1,a11,a13 成等比数列. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a3n?2 . 【答案】

11

25. (2013 年高考江西卷(文) )正项数列{an}满足 an 2 ? (2n ?1) an ? 2 n ? 0 . (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?
1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. (n ? 1) an

(1)由a n 2 ? (2n ? 1)a n ? 2n ? 0得(a n -2n)(an +1)=0 【答案】解:

由于{an}是正项数列,则 a n ? 2n . (2)由(1)知 a n ? 2n ,故 bn ?
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (n ? 1)an (n ? 1)(2n) 2 n (n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 n ?Tn ? (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? 2 2 2 3 n n ?1 2 n ? 1 2n ? 2

26. (2013 年高考陕西卷(文) ) 设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和. (Ⅰ) 若 {an } 为等差数列, 推导 Sn 的计算公式;
n

(Ⅱ) 若 a1 ? 1, q ? 0 , 且对所有正整数 n, 有 Sn ? 1 ? q . 判断 {an } 是否为等比数
1? q

列. 【答案】解:(Ⅰ) 设公差为 d,则 an ? a1 ? (n ? 1)d
?S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? a n ? 2 S n ? (a1 ? a n ) ? (a 2 ? a n ?1 ) ? ? ? (a n ?1 ? a1 ) ? (a n ? a1 ) ? ?S n ? a n ? a n ?1 ? ? ? a 2 ? a1

? 2S n ? n(a1 ? a n ) ? S n ?

n(a1 ? a n ) n ?1 ? n(a1 ? d) . 2 2

(Ⅱ) a1 ? 1,q ? 0,由题知q ? 1.
?n ? N *,S n ?
?1 a n ? ? n ?1 ?q

1? qn 1 ? q n ?1 1 ? q n q n ? q n ?1 ? a n ?1 ? S n ?1 ? S n ? ? ? ? qn 1? q 1? q 1? q 1? q
? a n ? q n ?1,n ? N * .

n ?1 n?2

所以, 数列{an } 是首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 1 的等比数列.
12

27. (2013 年上海高考数学试题 (文科) 本题共有 3 个小题.第 1 小题满分 3 分, ) 第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 2? | x | .无穷数列 {an } 满足 an?1 ? f (an ), n ? N * . (1)若 a1 ? 0 ,求 a2 , a3 , a4 ; (2)若 a1 ? 0 ,且 a1 , a2 , a3 成等比数列,求 a1 的值; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 , a3 ,, an 成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ; 若不存在,说明理由. 【答案】

13

28. (2013年高考课标Ⅰ卷(文) )已知等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足
S3 ? 0 , S5 ? ?5 .

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {
1 } 的前 n 项和. a2 n ?1a2 n ?1

【答案】(1)设{a n }的公差为 d,则 S n = na1 ?
?3a1 ? 3d ? 0, 解得a1 ? 1, d ? ?1. 由已知可得 ?5a1 ? 10d ? ?5, ?
故 ?an ?的通项公式为an =2-n.

n(n ? 1) d. 2

(2)由(I)知 从而数列 ?
?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), a2 n ?1a2 n ?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ? 1

? 1 1 1 1 1 1 1 1 n . ? )? ?的前n项和为 ( - + - +? + 2 -1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2 n ? a2 n ?1a2 n ?1 ?

14


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