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5求函数值域学生版


培根(英国哲学家)说: “数学是打开科学大门的钥匙”

学案(5 )

求函数值域方法
一、直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观观 察,准确判断函数值域的方法。 1:求函数 y ? 2:求函数 y ? 3:求函数 y ?

x ? 1 ? x

? 1, ? x ≥1? 的值域。 x 2 ? 6 x ? 10 的值域。
x ? 1的值域。

二、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如 F ( x) ? af 2 ( x) ? bf ( x) ? c 1 求函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域。 三、分离常数法: y ?

ax ? b (c ? 0) 可用分离常数法,也可以利用反函数 cx ? d 1? x 1.求函数 y ? 的值域。 2x ? 5

四、换元法:适用类型:无理函数、三角函数(用三角代换)等。 1:求函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。
2 2、求函数 y =x+2+ 1 ? ( x ? 1) 的值域

3、求函数 y=

x3 ? x 的值域 x 4 ? 2x 2 ? 1

4、求函数 y=(sinx+1) (cosx+1) , x ? [? , ] 5、求函数 y=x+4+ 5 ? x 2 的值域

? ?
2 2

的值域。

五、判别式法:把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y) ? 0 ;通过方程有实数根,判别式 ? ? 0 ,从而求 得原函数的值域,形如 y ?

a1 x 2 ? b1 x ? c1 ( a1 、 a2 不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。 a2 x 2 ? b2 x ? c2

1.求函数 y ?

x2 ? x ? 3 的值域。 x2 ? x ? 1

六.函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。 1:求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。 2.求函数 y ? x ?

1 在区间 x ? ?0,???上的值域。 x

1

培根(英国哲学家)说: “数学是打开科学大门的钥匙” 七、基本不等式法

学案(5 )

1. 求函数 2 .求函数

y?

x?2 x ?1 的值域.

y?

x2 ?2 x?2 x ?1 的值域.

3. 求函数 4. 求函数 的值域。

的值域。

八、有界性法: (反函数思想用 y 表示 x) 1.求函数 y ? 2.求函数 y ?

2x 的值域。 x ?1

1 ? 2x 的值域。 1 ? 2x

x2 ?1 3.求函数 y ? 2 的值域。 x ?1
4:求函数 y ? 九、数型结合法 1:求函数 y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的值域。 2、求函数 y = 3.求函数 y ?

2 cos x ? 1 的值域。 3cos x ? 2

cos x 的值域。 sin x ? 3

x2 ? 4 x ? 5 ? x2 ? 4 x ? 8 的值域。

4.求函数 y ? 1 ? x ? 1 ? x 的值域。 5 求函数 6. 的值域。

用 min?a, b, c? 表示 a, b, c 三个数中的最小值, 设 f ( x) =

min 2 x , x ? 2,10 ? x ( x ? 0) 求 f ( x) 的最大值.

?

?

十.平方开方法 1. 求函数 y ?

x ? 3 ? 5 ? x 的值域

2.求函数 f ( x) ?| sin x | ? | cos x | ( x ? R )的值域. 3.求函数 f ( x) ?| sin x ? cos x | ? | sin x ? cos x | ( x ? R )的值域

2


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