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2012届高考数学二轮复习课件 专题3 第1课时 排列、组合与二项式定理(数学文)


专题三

排列、组合、二项式 定理、概率与统计

1.计数原理 分类计数原理:完成一件事,有n类办法,在第1类办 法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同 的方法, ,在第n类办法中有mn 种不同的方法,那么 ? 完成这件事共有N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法. 分步计数原理:完成一件事,需要n个步骤,做 第1

步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法, ?,做第n步有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法.

2.排列

?1? 排列的定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m
? n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个排列.

? 2 ? 排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m ? n)个
元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数,用符号A m 表示. n
m 3? 排列数公式:A m ? n ? n ? 1?? ? n ? m ? 1?,A n ? ?? ? n

n! ,规定: ? 1;A 0 无意义. 0 ! n ? n ? m ?!

3.组合

?1? 组合的定义:一般地,从n个不同元素中,任意取
出m(m ? n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中任 取m个元素的一个组合.

? 2 ? 组合数的定义:从n个不同元素取出m(m ? n)个元
素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个 元素的组合数,用符号C m 表示. n

? 3? 组合数公式:

m An n? n ? 1?? n ? 2??? n ? m ? 1? n ! m Cn ? m ? ? . Am m ! m ?n ? m? ! !

? 4 ? 组合数性质:①Cm ? Cn?m (m ? n);②Cm?1 ? Cm ? Cm?1 n n n n n
(m ? n);③规定:C0 ? 0. n

4.二项式定理
k 1? 二项展开式:a ? b ? ? C0 a n ? C1 a n ?1b ??? C n a n ? k b k ? ? n n n

? 2 ? 二项式系数的性质

??? C n b n,通项为Tk ?1 ? C k a n ? k b k (n ? N* ). n n

①对称性:在二项展开式中,与首末两端“等距离” 的两项的二项式系数相等,即C r ? C n ?r ( n ? N* ). n n

n ?1 ②增减性与最大值:当k< (n ? N* )时,二项式系 2 数逐渐增大,后半部分逐渐减小,二项式系数最大的 项在中间.如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的 二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间 两项的二项式系数最大且相等. ③各二项式系数的和:C0 ? C1 ??? C n ? 2n,且奇数 n n n 项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等, 均为2n ?1,即C0 ? C2 ?? ? C1 ? C3 ? C5 ? ? 2n ?1 (n ? N* ). n n n n n

考点1 排列与组合的应用
例1.将A、B、C、D、E排成一列,要求A、B、C 在排列中顺序为“A、B、C”或“C、B、A”可以 ( 不相邻),这样的排列数有(    ) A. 种 12 C. 种 40 B. 种 20 D. 种 60

分析:分两步完成,即首先排A,B,C三个字母,

然后排余下的两个字母D,E

解析:五个字母排成一列,①先从中选三个位置 给A、B、C且A、B、C有两种排法,即C3 ? 2,② 5 然后让D、E排在剩余两个位置上,有A 2种排法; 2 由分步乘法计数原理所求排列数为C3 ? 2 ? A 2 ? 40, 5 2 故选C.

【思维启迪】本题解答实际上是利用“特 殊元素(位置)特殊处理”的原理处理的, 其“A,B,C”就是特殊元素.

变试题:某班学生参加植树节活动,苗圃中有 甲、乙、丙3种不同的树苗,从中取出5棵分别 种植在排成一排的5个树坑内,同种树苗不能 相邻,且第1个树坑和第5个树坑只能种甲种树 苗的种法共有(    ) A. 种 15 B. 种 12 C. 9种 D.种 6

解析:根据第2个树坑和第4个树坑为特殊元素, 可将问题分两类: ? 第2个树坑和第4个树坑种 ?1 相同的树苗,有2C 种; ? 第2个树坑和第4个 ?2
1 2

树坑种不同的树苗,有A 种,则共有
2 2

A 2 ? 2C1 ? 6种,故选D. 2 2

考点2 二项式定理的应用

1 8 例2.?1 ? 2x ? ( x ? ) 的展开式中常数项为 _____ . x (用数字表示)
2

分析: 以第一个括号的两项为准,分别考虑第二

个括号中如何取项才是常数项,而第二个括号产
生的项可用二项展开式的通项公式来处理.

解析:第二个括号的通项为Tr ?1 ? C x

r 8? r 8

1 r (? ) ? x

? ?1?

r

r C8 x8? 2r,则当第一个括号中取1时,则第二

个括号必取常数项,由通项易知当r ? 4时,取
4 得常数1? ? ?1? C8 ? 70; 4

1 当第一个括号中取2x 时,则第二个括号必取 2 x
2 5 项,由通项易知当r ? 5时,取得常数2 ? ? ?1? C8 5

? ?112,所以展开式中常数项为 ? 112 ? 70 ? ?42.

【思维启迪】本题主要考查二项式定理的通项 公式及分类讨论的思想方法.解答两个因式 积的展开式问题主要有两种途径:

?1? 通过变形转化为一个二项式的形式求解; ? 2 ? 利用组合的知识,寻求产生指定项的各种
可能的情况,然后求它们的和,即为所求.

1 n 变式题:若( x ? ) 展开式的二项式系数之和为64, x 则展开式的常数项为(    ) A. 10 C. 30 B. 20 D. 120

解析:由条件知2n ? 64,则n ? 6, 1 6 而在( x ? ) 展开式的通项为 x 1 r r 6?r r Tr ?1 ? C6 x ? ( ) ? C6 x 6? 2r . x 令6 ? 2r ? 0,得r ? 3,故展开式的常数项为C3 ? 20. 6

备选例题:

5名志愿者分别到三个不同国家展

览馆进行世博会知识宣传,每个地方至少去一 名志愿者,则不同的分派方法共有 ?    ? A. 种 150 B. 种 180 C. 种 200 D. 种 280

分析:首先根据题意须将5名志愿者分成三组, 再分配到三个不同国家展览馆去,而分组有 1,1,3与2, 2,1两种.

解析:将5名志愿者的人数按1,1,3与2, 2,1分成三组 C52C32 的分法有C3 ? 种, 5 2 A2 将每组分配到三个不同国家展览馆的分法有A 3种, 3 根据分类计算原理知不同的分派方法共有(C ?
3 5

C52C32 2 ) ? A 3 ? 150种,故选A. 2 A2

【思维启迪】此类问题为排列组合中的分组 问题.此类型题可归纳为:将n个不同的球 放入m(n>m)个不同的盒子中,每个盒子至 少放入一个,问有多少种不同的放法.解答 时先按要求将n个元素分成m组,然后再“全 排列”分到m个盒子中.

1.解决排列组合问题的策略和方法

?1? 对无限制条件的:直接法,即直接利用计数原
理与排列、组合的知识解答.

? 2 ? 有限制条件的
①以元素或位置有特殊要求为限制条件:可考虑 元素或位置优先排列法; ②以“元素相邻”为限制条件:捆绑法,即将有 相邻要求的元素捆绑在一起,看做一个“假想元 素”,再与其他元素进行排列;

③以“不相邻”为限制条件:插空法,即首先将 无条件要求的元素进行全排,然后将有“不相邻” 要求的元素插入到无条件要求的排列中去; ④以“顺序固定”为限制条件:消序法,即将有 顺序固定处理为一种排法,一般利用除法可达到 目的.

2.解决二项式有关问题的策略和方法

?1? 求二项展开式中的特定项,一般用通项公式、待
定系数法求解;

? 2 ? 求二项展开式系数和问题,一般用赋值法; ? 3? 证明某些组合恒等式或求和问题,常用构造法,
构造一个生成相应二项式系数的函数或构造同一个 命题的不同解法,通过研究函数或变更命题来解决;

? 4 ? 证明不等式:通过二项式展开,根据命题形式对
展开式中的若干个项进行放缩;

? 5? 整除问题或求余数:应先构造二项式后再展开研
究;

? 6 ? 近似计算:构造二项式,展开后根据精确度的要
求分析应取前几项,从哪项开始去掉后面的所有项.

1.(2011? 全国大纲卷)4位同学每人从甲、乙、丙3   门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同 选法共有 ? A. 种 12 C. 种 30

?
B. 种 24 D. 种 36

解析:因为恰有2人选修课程甲,共有C2 ? 6 4 种结果,所以余下的两个人各有两种选法, 共有2 ? 2 ? 4种结果,根据分步计数原理知共 有6 ? 4 ? 24种结果.

2.(2011? 庆卷) ?1 ? 2x ? 的展开式中x 4的系数是 重
6

_________  .
r 解析:展开式的通项为Tr ?1 ? 2r C6 x r .

令r ? 4得展开式中x 的系数是2 C ? 240.
4 4 4 6


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