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西城区2016届高三一模数学(理)试题(word版)


北京市西城区 2016 年高三一模试卷


合题目要求的一项.

学(理科)
共 40 分)

2016.4

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符

1.设集合

A ? {x | x 2 ? 4 x ? 0} ,集合 B ? {n | n ? 2k ?1, k ? Z} ,则 A ? B ? ( (A) {?1,1} (B) {1,3} (C) {?3, ?1}
? ? x ? 2 ? 2 cos ? , ? ?y ? 2 sin ?



(D) {?3, ?1,1,3}
(? 为参数) ,则曲线 C

2. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? 是( )

(A)关于 x 轴对称的图形 (C)关于原点对称的图形

(B)关于 y 轴对称的图形 (D)关于直线 y ? x 对称的图形 )

3. 如果 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( (A) y ? x ? f ( x) (C) y ? x2 ? f ( x) (B) y ? xf ( x) (D) y ? x2 f ( x)

??? ? ??? ? 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,向量 OA =( ? 1, 2), OB =(2, m) , 若 O, A, B 三点能构成三

角形,则( (A) m ? ?4 (C) m ? 1

) (B) m ? ?4 (D) m ? R 开始 输入 A, S

5. 执行如图所示的程序框图,若输入的 A, S 分别为 0, 1, 则输出的 S ? ( (A)4 (B)16 (C)27 (D)36 )

k ?1

A ? A? k
k ?k?2
S ?S?A
k≥4



是 输出 S 结束
第 1 页 共 14 页

1 6. 设 x ? (0, ) ,则“ a ? (??, 0) ”是“ log 1 x ? x ? a ”的( 2 2
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件



7. 设函数 f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ? ( A , ? , ? 是常数, A ? 0 , ? ? 0 ) ,且函数 f ? x ? 的部分 图象如图所示,则有( ) y

3π 5π 7π (A) f (? ) ? f ( ) ? f ( ) 4 3 6 3π 7π 5π (B) f (? ) ? f ( ) ? f ( ) 4 6 3 5π 7π 3π (C) f ( ) ? f ( ) ? f (? ) 3 6 4 5π 3π 7π (D) f ( ) ? f (? ) ? f ( ) 3 4 6

O π

12

5π 6

x

8. 如图,在棱长为 a(a > 0) 的正四面体 ABCD 中,点 B1 , C1 , D1 分别在棱 AB , AC , AD 上,且 平面 B1C1D1 // 平面 BCD ,A1 为 D BCD 内一点, 记三棱锥 A1 - B1C1D1 的体积为 V, 设 对于函数 V = f ( x) ,则( ) B1 B C1 D A1 A D1

AD1 = x, AD

2 (A)当 x = 时,函数 f ( x) 取到最大值 3
1 (B)函数 f ( x) 在 ( ,1) 上是减函数 2

1 (C)函数 f ( x) 的图象关于直线 x = 对称 2

C 1 (D)存在 x0 ,使得 f ( x0 ) > VA- BCD (其中 VA- BCD 为四面体 ABCD 的体积) 3

第 2 页 共 14 页

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 在复平面内,复数 z1 与 z2 对应的点关于虚轴对称,且 z1 ? ?1 ? i ,则 10.已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 , a3 ? ?3 , a2 ? a4 ? 5 ,则
an ? ____;记 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 Sn 的最小值为____.

z1 ? ____. z2

11.若圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的渐近 a2

2 正(主)视图

2 侧(左)视图

线相切,则 a ? _____;双曲线 C 的渐近线方程是____. 12. 一个棱长为 4 的正方体, 被一个平面截去一部分后, 所得几 何体的三视图如图所示,则该截面的面积是____. 俯视图

13. 在冬奥会志愿者活动中,甲、乙等 5 人报名参加了 A, B, C 三个项目的志愿者工作,因工 作需要,每个项目仅需 1 名志愿者,且甲不能参加 A, B 项目,乙不能参加 B, C 项目,那 么共有____种不同的选拔志愿者的方案.(用数字作答) 14. 一辆赛车在一个周长为 3 km 的封闭跑道上行驶,跑道由几段直道和弯道组成,图 1 反映 了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系. s ( 图 1) ( 图 2) 根据图 1,有以下四个说法: 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 在这第二圈的 2.6 km 到 2.8 km 之间,赛车速度逐渐增加; 在整个跑道中,最长的直线路程不超过 0.6 km; 大约在这第二圈的 0.4 km 到 0.6 km 之间,赛车开始了那段最长直线路程的行驶; 在图 2 的四条曲线(注:S 为初始记录数据位置)中,曲线 B 最能符合赛车的运动轨迹. s C s s s A B

D

第 3 页 共 14 页

其中,所有正确说法的序号是_____.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 设 A ? (Ⅰ)若 a ? 7 ,求 b 的值; (Ⅱ)求 tan C 的值.

π , sin B ? 3sin C . 3

16. (本小题满分 13 分) 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试, 现从中随机抽取 40 名学生的测试成 绩,整理数据并按分数段 [40,50) ,[50, 60) ,[60, 70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100] 进行分组, 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图(如下).

各 12 分 10 数 8 段 6 人 4 数
2

14

? ?

?

? ? ? ?

O

45

55

65

75

85 ?
?

95

体育成绩

? (Ⅰ)体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好” . 已知该校高一年级有

1000 名学生,试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数; (Ⅱ)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在 [60, 70) 和 [80,90) 的样本学生 中随机抽取 2 人,求在抽取的 2 名学生中,至少有 1 人体育成绩在 [60, 70) 的概率;
[80,90) , [90,100] (Ⅲ) 假设甲、 乙、 丙三人的体育成绩分别为 a, b, c , 且分别在 [70,80) ,

三组中,其中 a,b,c ? N .当数据 a, b, c 的方差 s 2 最小时,写出 a, b, c 的值.(结论不要 求证明)

1 2 2 2 2 (注: s ? [( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] ,其中 x 为数据 x1, x 2 , ?, x n 的平均数) n

第 4 页 共 14 页

17. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 是梯形, AD //BC , ?BAD ? 90? ,四边形 CC1D1D 为矩形,已知

AB ? BC1 , AD ? 4 , AB ? 2 , BC ? 1 .
(Ⅰ)求证: BC1 // 平面 ADD1 ; (Ⅱ)若 DD1 ? 2 ,求平面 AC1D1 与平面 ADD1 所成的锐二面角的余弦值; (Ⅲ)设 P 为线段 C1 D 上的一个动点(端点除外) ,判断直线 BC1 与直线 CP 能否垂直? 并说明理由. C1 A D D1

B

C

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? xe x ? ae x?1 ,且 f ?(1) ? e . (Ⅰ)求 a 的值及 f ( x) 的单调区间;
2 (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? 2 (k ? 2) 存在两不相等个正实数根 x1 , x2 ,证明:

| x1 ? x2 |? ln

4 . e

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : mx2 ? 3my 2 ? 1(m ? 0) 的长轴长为 2 6 , O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和离心率; (Ⅱ)设点 A(3, 0) ,动点 B 在 y 轴上,动点 P 在椭圆 C 上,且 P 在 y 轴的右侧,若
| BA |?| BP | ,求四边形 OPAB 面积的最小值.
第 5 页 共 14 页

20. (本小题满分 13 分) 设数列 {an } 和 {bn } 的项数均为 m,则将数列 {an } 和 {bn } 的距离定义为 ? | ai ? bi | .
i ?1 m

(Ⅰ)给出数列 1,3,5, 6 和数列 2,3,10, 7 的距离; (Ⅱ)设 A 为满足递推关系 an ?1 ?
1 ? an 的所有数列 {an } 的集合,{bn } 和 {cn } 为 A 中的两 1 ? an

个元素,且项数均为 m,若 b1 ? 2 , c1 ? 3 , {bn } 和 {cn } 的距离小于 2016 ,求 m 的最大值; (Ⅲ)记 S 是所有 7 项数列 {an |1≤n≤7, an ? 0 或 1} 的集合, T ? S ,且 T 中任何两个 元素的距离大于或等于 3,证明: T 中的元素个数小于或等于 16.

第 6 页 共 14 页

北京市西城区 2016 年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学(理科)
2016.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C 5.D 2.A 6.A 3 .B 7.D 4 .B 8.A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. i 11. 3 13.21 10. 2n ? 9

?16

y??

3 x 3

12. 6 14.○ 1 ○ 4

注:第 10,11 题第一问 2 分,第二问 3 分;第 14 题多选、少选或错选均不得分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 sin B ? 3sin C , 由正弦定理 得 b ? 3c . 分 由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 及 A ? 得 7 ? b2 ? c 2 ? bc ,

a b c ? ? , sin A sin B sin C
?????? 3

π ,a ? 7 , 3

??????5 分

b b2 所以 b 2 ? ( ) 2 ? ? 7 , 3 3
解得 b ? 3 . (Ⅱ)解:由 A ? 所以 sin( 分 ??????7 分

2π π ?C . ,得 B ? 3 3
??????8

2π ? C ) ? 3sin C . 3

第 7 页 共 14 页

3 1 cos C ? sin C ? 3sin C , 2 2 3 5 所以 cos C ? sin C , 2 2 3 . 所以 tan C ? 5
即 分

??????11 分

??????13

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由折线图,知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 30 人,??????2 分 所以该校高一年级学生中, “体育良好”的学生人数大约有 1000 ? 分 (Ⅱ)解:设 “至少有 1 人体育成绩在 [60,70) ”为事件 A , 由题意,得 P( A) ? 1 ?
2 C3 3 7 ? 1? ? , 2 C5 10 10

30 ? 750 人. ??4 40

??????5 分

因此至少有 1 人体育成绩在 [60,70) 的概率是

7 . 10

??????9 分 ??????13 分

(Ⅲ)解: a , b , c 的值分别是为 79 , 84 , 90 ;或 79 , 85 , 90 .

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:由 CC1D1D 为矩形,得 CC1 //DD1 , 又因为 DD1 ? 平面 ADD1 , CC1 ? 平面 ADD1 , 所以 CC1 // 平面 ADD1 , 分 同理 BC // 平面 ADD1 , 又因为 BC ? CC1 ? C , 所以平面 BCC1 // 平面 ADD1 , 又因为 BC1 ? 平面 BCC1 , ?????? 3 分 ?????? 2

第 8 页 共 14 页

所以 BC1 // 平面 ADD1 . 分 (Ⅱ)解:由平面 ABCD 中, AD //BC , ?BAD ? 90? ,得 AB ? BC , 又因为 AB ? BC1 , BC ? BC1 ? B , 所以 AB ? 平面 BCC1 , 所以 AB ? CC1 , 又因为四边形 CC1D1D 为矩形,且底面 ABCD 中 AB 与 CD 相交一点, 所以 CC1 ? 平面 ABCD , 因为 CC1 //DD1 , 所以 DD1 ? 平面 ABCD .

?????? 4

过 D 在底面 ABCD 中作 DM ? AD , 所以 DA, DM , DD1 两两垂直, 以 DA, DM , DD1 分 别为 x 轴、 y 轴和 z 轴,如图建立空间直角坐标系, ?????? 6 分

则 D (0, 0, 0) , A(4, 0, 0) , B (4, 2, 0) , C (3, 2, 0) , C1 (3, 2, 2) , D1 (0, 0, 2) , 所以 AC1 ? (?1, 2, 2) , AD1 ? (?4, 0, 2) . 设平面 AC1D1 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

????

????

???? ? ???? ? ?? x ? 2 y ? 2 z ? 0, 由 m ? AC1 ? 0 , m ? AD1 ? 0 ,得 ? ??4 x ? 2 z ? 0,
令 x ? 2 ,得 m ? (2, ?3, 4) . ??????8 分 易得平面 ADD1 的法向量 n ? (0,1, 0) . 所以 cos ? m, n ??
x A

z D1 C1 P D

m?n 3 29 . ?? | m || n | 29

B

C

y

即平面 AC1D1 与平面 ADD1 所成的锐二面角的余弦值为 (Ⅲ)结论:直线 BC1 与 CP 不可能垂直. 分

3 29 . 29

??????10 分 ??????11

第 9 页 共 14 页

??? ? ???? ? 证明:设 DD1 ? m(m ? 0) , DP ? ? DC1 (? ? (0,1)) ,
由 B(4, 2,0) , C (3, 2, 0) , C1 (3, 2, m) , D(0,0,0) ,

???? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 得 BC1 ? (?1,0, m) , DC1 ? (3,2, m) , DP ? ? DC1 ? (3?,2?, ?m) , CD ? (?3, ?2,0) , ??? ? ??? ? ??? ? CP ? CD ? DP ? (3? ? 3,2? ? 2, ?m) .
??????12 分

???? ? ??? ? 若 BC1 ? CP ,则 BC1 ? CP ? ?(3? ? 3) ? ?m2 ? 0 ,即 (m2 ? 3)? ? ?3 ,
因为 ? ? 0 , 所以 m2 ? ?

3

?

? 3 ? 0 ,解得 ? ? 1 ,这与 0 ? ? ? 1 矛盾.
??????14 分

所以直线 BC1 与 CP 不可能垂直.

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:对 f ( x) 求导,得 f ?( x) ? (1 ? x)e x ? ae x?1 , 分 所以 f ?(1) ? 2e ? a ? e ,解得 a ? e . 分 故 f ( x) ? xex ? e x , f ?( x) ? xex . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 . 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 的变化情况如下表所示: ??????3 ??????2

x

(??, 0)

0 0

(0, ??)

f ?( x )
f ( x)

?


?
↗ ??????5 分

所以函数 f ( x) 的单调减区间为 (??, 0) , 单调增区间为 (0, ??) . (Ⅱ)解:方程 f ( x) ? kx2 ? 2 ,即为 ( x ?1)e x ? kx2 ? 2 ? 0 , 设函数 g ( x) ? ( x ? 1)ex ? kx2 ? 2. 分 求导,得 g?( x) ? xex ? 2kx ? x(e x ? 2k ) . 由 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 ,或 x ? ln(2 k) .

??????6

??????7 分

第 10 页 共 14 页

所以当 x ? (0, ??) 变化时, g ?( x) 与 g ( x) 的变化情况如下表所示:

x
g ?( x)
g ( x)

(0, ln(2k ))

ln(2k )

(ln(2k ), ??)

?


0

?
↗ ??????9 分

所以函数 g ( x) 在 (0, ln(2k )) 单调递减, 在 (ln(2k ), ??) 上单调递增. 由 k ? 2 ,得 ln(2k ) ? ln 4 ? 1 . 又因为 g (1) ? ?k ? 2 ? 0 , 所以 g (ln(2k )) ? 0 . 不妨设 x1 ? x2 (其中 x1 , x2 为 f ( x) ? kx2 ? 2 的两个正实数根) ,

因为函数 g ( x) 在 (0, ln 2k ) 单调递减,且 g (0) ? 1 ? 0 , g (1) ? ?k ? 2 ? 0 , 所以 0 ? x1 ? 1. 同理根据函数 g ( x) 在 (ln 2k , ??) 上单调递增,且 g (ln(2k )) ? 0 , 可得 x2 ? ln(2k ) ? ln 4 , ??????11 分

4 所以 | x1 ? x2 |? x2 ? x1 ? ln 4 ? 1 ? ln , e
即 | x1 ? x2 |? ln

4 . e

??????13 分

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由题意,椭圆 C:
x2 y2 ? ?1, 1 1 m 3m

??????1 分

所以 a 2 ? 故 2a ? 2

1 1 , b2 ? , m 3m
1 1 ? 2 6 ,解得 m ? , m 6
x2 y 2 ? ?1. 6 2
??????3 分

所以椭圆 C 的方程为

因为 c ? a2 ? b2 ? 2 , 所以离心率 e ? 分
c 6 ? . a 3

?????? 5

第 11 页 共 14 页

(Ⅱ)解:设线段 AP 的中点为 D , 因为 | BA |?| BP | ,所以 BD ? AP , 由题意,直线 BD 的斜率存在,设点 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) , 则点 D 的坐标为 ( ??????7 分

x0 ? 3 y0 , ), 2 2
y0 , x0 ? 3
??????8

且直线 AP 的斜率 k AP ? 分 所以直线 BD 的斜率为 ?

3 ? x0 1 ? , k AP y0 y0 3 ? x0 x ?3 ? (x ? 0 ). 2 y0 2
??????10 分

所以直线 BD 的方程为:y ?

令 x ? 0 ,得 y ?

2 2 2 x0 ? y0 ?9 x 2 ? y0 ?9 ), ,则 B(0, 0 2 y0 2 y0



2 x0 y2 2 2 ? 0 ? 1 ,得 x0 ? 6 ? 3 y0 , 6 2

化简, 得 B(0,

2 ?2 y0 ?3 ). 2 y0

??????11 分

所以四边形 OPAB 的面积 SOPAB ? S?OAP ? S?OAB
?
2 ?2 y0 ?3 1 1 ? 3? | y0 | ? ? 3? | | 2 2 2 y0

??????12 分

2 ?2 y0 ?3 3 ? (| y0 | ? | |) 2 2 y0

3 3 ? (2 | y0 | ? ) 2 2 | y0 |
3 3 ≥ ? 2 2 | y0 | ? 2 2 | y0 |
? 3 3.

当且仅当 2 y0 ?

3 3 ? [? 2, 2] 时等号成立. ,即 y0 ? ? 2 y0 2
第 12 页 共 14 页

所以四边形 OPAB 面积的最小值为 3 3 .

??????14 分

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由题意,数列 1,3,5, 6 和数列 2,3,10, 7 的距离为 7. (Ⅱ)解:设 a1 ? p ,其中 p ? 0 ,且 p ? ?1 . 由 an ?1 ?
1 ? an 1? p 1 p ?1 ,得 a2 ? , a3 ? ? , a4 ? , a5 ? p , 1 ? an 1? p p p ?1

??????2 分

所以 a1 ? a5 , 因此 A 中数列的项周期性重复,且每隔 4 项重复一次. 分 所以 {bn } 中, b4k ?3 ? 2 , b4 k ? 2 ? ?3 , b4k ?1 ? ? , b4 k ? 所以 {cn } 中, c4 k ?3 ? 3 , c4 k ? 2
k ?1 i ?1 k

??????4

1 1 ( k ? N* ) , 2 3 1 1 ? ?2 , c4 k ?1 ? ? , c4k ? ( k ? N* ). ?????5 分 3 2

由 ? | bi ? ci |≥? | bi ? ci | ,得项数 m 越大,数列 {bn } 和 {cn } 的距离越大.
i ?1 4

由 ? | bi ? ci | ?
i ?1 3456 i ?1

7 , 3
4?864 i ?1

??????6 分

得 ? | bi ? ci | ?

? | b ? c | ? 3 ? 864 ? 2016 .
i i m i ?1

7

所以当 m ? 3456 时, ? | bi ? ci | ? 2016 . 故 m 的最大值为 3455 . 分 (Ⅲ)证明:假设 T 中的元素个数大于或等于 17 个. 因为数列 {an } 中, ai ? 0 或 1 , 所以仅由数列前三项组成的数组 (a1 , a2 , a3 ) 有且只有 8 个: (0, 0, 0) , (1,0,0) , (0,1,0) , ??????8

(0,0,1) , (1,1,0) , (1,0,1) , (0,1,1) , (1,1,1) .
那么这 17 个元素(即数列)之中必有三个具有相同的 a1 , a2 , a3 . 分
第 13 页 共 14 页

??????10

设这三个数列分别为 {cn }:c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , c7 ; {dn }:d1 , d2 , d3 , d4 , d5 , d6 , d7 ;

{ f n }:f1 , f 2 , f 3 , f 4f, f c1 ? d1 ? f1 , c2 ? d 2 ? f 2 , c3 ? d3 ? f3 . 5 , f6 ,,其中 7
因为这三个数列中每两个的距离大于或等于 3, 所以 {cn } 与 {dn } 中, ci ? di (i ? 4,5,6,7) 中至少有 3 个成立. 不妨设 c4 ? d4 , c5 ? d5 , c6 ? d6 . 由题意,得 c4 , d 4 中一个等于 0,而另一个等于 1. 又因为 f 4 ? 0 或 1 , 所以 f 4 ? c4 和 f 4 ? d 4 中必有一个成立, 同理,得 f5 ? c5 和 f5 ? d5 中必有一个成立, f6 ? c6 和 f6 ? d6 中必有一个成立, 所以“ fi ? ci (i ? 4,5,6) 中至少有两个成立”或“ fi ? di (i ? 4,5,6) 中至少有两个成立” 中必有一个成立. 所以 ? | fi ? ci |≤2 和 ? | fi ? di |≤2 中必有一个成立.
i ?1 i ?1 7 7

这与题意矛盾, 所以 T 中的元素个数小于或等于 16. ??????13 分

第 14 页 共 14 页


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