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陕师大附中高2013届第四次模拟考试题(理科)


陕师大附中高 2013 届第四次模拟考试 数学试题(理科)
第Ⅰ卷 选择题(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 U={ ?1 , 2, 4}, 1, 3, 集合 A={1, 3}, 2, B={2, 4}, 则(?UA)∪B 为 ( ) A.{

1,2,4} B.{2,3,4} C.{ ?1 ,2,4} D.{ ?1 ,2,3,4}
2 2.如果复数 z= ,则( -1+i A.|z|=2 B.z 的实部为 1
2 2

) C.z 的虚部为-1 D.z 的共轭复数为 1+i

3.已知双曲线

x y ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合,且双曲线的离心率 2 a b x2 y2 ? ?1 5 4 y2 x2 ? ?1 5 4
D.5 x ?
2

等于 5 ,则该双曲线的方程为( ) A.5 x ?
2

4 2 y ?1 5
n

B.

C.

5 2 y ?1 4

4.已知 ? x 2 ? A.5

? ?

1? ? 的展开式的各项系数和为 32,则展开式中 x 4 的系数为( x?
C.20 D.10



B.40

5. 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查, 为此将他们随机编号为 1,2, ??, 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入 区间[1,450]的人做问卷 A,编号落入区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C. 则抽到的人中,做问卷 C 的人数为 A.7 B. 9 C. 10 D.15 6.把函数 y ? 2cos x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向 左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是
2

7.在区间 [? π , π] 内随机取两个数分别记为 a , b ,则使得函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? b2 ? π 有零
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点的概率为 A.

( B.



7 8

3 4

C.

1 2


D.

1 4

8. 如果执行如图的程序框图,那么输出的值是( A. 0 B.

1 2

1 2 D. ?1
C. ?

9. 已知实数 a, b, c, d 成等比数列, 且函数 y ? ln( x ? 2) ? x当x ? b 时取到极大值 c , ad 则 等于( A. 1 ) B. 0 C. ?1 D. 2

10.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是减函数,且函数 y ? f ( x) 的图象关于原点成中心对称,

t 若 s , t 满足不等式 f (s 2 ? 2s) ≤ ? f (2t ? t 2 ) .则当 1 ≤ s ≤ 4 时, 的取值范围是( s ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? A. ? ? , 1? B. ? ? , 1? C. ? ? , 1? D. ? ? , 1? ? 4 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 2 ?



第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横 线上.
11.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列 { 为 .

1 } 的前 100 项和 an an ?1

12.已知函数 f ( x ) 满足:当 x≥4 时, f ( x ) = ( ) ;当 x <4 时 f ( x ) = f ( x ? 1) ,则 f (2 ? log2 3) =______. 13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 为 .
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1 2

x

14.已知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? , 2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围

?

?

?

?



.

15. (考生注意: 请在下列三个小题中任选一题作答, 如果多做,则按所做的第一题评分.) A. (不等式选做题)若不存在实数 x 使 | x ? 3| ? | x ?1|? a 成立,则实数 a 的取值集 ...

合是__________.
B. (几何证明选做题) )如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦, 过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的 平行线与圆相交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3,FB=1, 3 EF= ,则线段 CD 的长为________. 2

C. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l1 : ?

?x ? 1 ? t cos ? (t ? y ? t sin ?

为参数)与圆 C2: ?

? x ? cos ? ( ? 为参数)的位置关系不可能是________. ? y ? sin ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.
16. (本题满分 12 分) 已知 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 b ? c ? a ? bc . (Ⅰ) 求 2sin B cos C ? sin( B ? C ) 的值;
2 2 2

(Ⅱ)若 a ? 2 ,求 ?ABC 周长的最大值. 17.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2(n ? 1) x ? n ? 5n ? 7 .
2 2

(Ⅰ)设函数 y ? f ( x) 的图像的顶点的纵坐标构成数列 {an } ,求证: {an } 为等差数列; (Ⅱ) 设函数 y ? f ( x) 的图像的顶点到 x 轴的距离构成数列 {bn } , {bn } 的前 n 项和 Sn . 求 18.(本题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为一直角梯形,其中

BA ? AD, CD ? AD , CD ? AD ? 2 AB, PA ? 底面 ABCD ,

数学四模试题(理科)

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E 是 PC 的中点.
(Ⅰ)求证: BE //平面 PAD ; (Ⅱ)若 BE ? 平面 PCD ,求平面 EBD 与平面 BDC 夹角的余弦值.

19. (本题满分 12 分)
某品牌汽车 4S 店对最近 100 位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如下表所示: 付款方式 频数 分1期 40 分2期 20 分3期 分4期 10 分5期

a

b

已知分 3 期付款的频率为 0.2,4s 店经销一辆该品牌的汽车,顾客分 1 期付款,其利 润为 1 万元, 2 期或 3 期付款其利润为 1.5 万元, 4 期或 5 期付款, 分 分 其利润为 2 万元, 用 Y 表示经销一辆汽车的利润。 (Ⅰ)求上表中 a , b 的值; (Ⅱ)若以频率作为概率,求事件 A : “购买该品牌汽车的 3 位顾客中,至多有一位采用 3 期付款”的概率 P ( A) ; (Ⅲ)求 Y 的分布列及数学期望 EY.

20. (本题满分 13 分)
如图,F1,F2 是离心率为

2 的椭圆 C: 2
A

y P B

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,直 a2 b2 1 线l : x=- 将线段 F1F2 分成两段, 其长 2 度之比为 1 : 3.设 A,B 是椭圆 C 上的 两个动点, 线段 AB 的中垂线与 C 交于 P, Q 两点,线段 AB 的中点 M 在直线 l 上. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; ???? ???? ? ? (Ⅱ) 求 F2 P ? F2Q 的取值范围.

F1

O

F2

x

l

Q

21. (本小题满分 14 分)
已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2ln x (a ? R) . 2 (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间;
(Ⅲ)设 g ( x) ? x ? 2 x , 若对任意 x1 ? (0, 2] , 均存在 x2 ? (0, 2] , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,
2

求 a 的取值范围.

数学四模试题(理科)

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