当前位置:首页 >> 数学 >>

极坐标和参数方程


与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

考纲要求 1.了解坐标系的作用.了解在平

面直角 坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化 情况. 2.了解极坐标的基本概念.会在极坐 标系中用极坐标刻画点的位置,能进行 极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形(如过 极点的直线、过极点或圆心在极点的 圆)表示的极坐标方程. 4.了解柱坐标系、球坐标系中表示空 间中点的位置的方法,并与空间直角坐 标系中表示点的位置的方法相比较,了 解它们的区别. 5.了解参数方程,了解参数的意义. 6.能选择适当的参数写出直线、圆和 椭圆的参数方程.

考情分析 从近三年的高考试题来看,极坐标部分重点 考查极坐标与直角坐标的互化,尤其是涉及 直线与圆的极坐标方程问题,同时考查直线 与圆的位置关系.如2012年陕西卷15,湖南 卷10,辽宁卷3等.参数方程部分多考查直线 与圆的参数方程及应用.如2012年广东卷 14,属容易题. 单独考查参数方程和极坐标的题目,一般为 选择、填空题形式,分值4~5分.若综合考 查参数方程和极坐标的知识,则通常以解答 题形式出现,如2012年课标卷23,辽宁卷23 等,分值10分. 预测:2013年仍会以直线、圆的极坐标参数 方程为载体,以极坐标参数方程与普通方程 的互化为主要形式,考查直线与曲线位置关 系等,解析几何知识注重基本运算及方程的 应用,难度不大.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(对应学生用书P234)

1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
? ?x′=λx?λ>0? φ:? ? ?y′=μy?μ>0?

的作用下,点P(x,y)对应到点

P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换.
课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

2.坐标系 (1)极坐标系的概念 在平面上取一个定点O叫做 极点 ;自点O引一条射线Ox 叫做
极轴

;再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)

及其正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个 极坐标系.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

设M是平面上任一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M 的极径,记为 ρ ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的∠xOM 叫做点M的 极角 ,记为 θ 标,记作 M(ρ,θ) . .有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(2)直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且 在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一 点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则
2 2 2 ρ = x + y ? ? ? ?x=ρcosθ ? ,? y ? tanθ=x?x≠0? ?y=ρsinθ ? ?

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

3.简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的 方程为
ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α)



几个特殊位置的直线的极坐标方程

θ=θ0 ①直线过极点:

和 θ=π-θ0

; ; .

②直线过点M(a,0)且垂直于极轴: ρcosθ=a π ③直线过点M(b,2)且平行于极轴:ρsinθ=b
课前自主回顾 课堂互动探究

课时作业

与名师对话
(2)圆的极坐标方程

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r的圆方程为
2 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ2 - r =0. 0

几个特殊位置的圆的极坐标方程 ①当圆心位于极点,半径为r:ρ=r ; ;

②当圆心位于M(a,0),半径为a: 2acosθ

π ③当圆心位于M(a, ),半径为a: ρ=2asinθ . 2

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

问题探究1:平面内的点与点的直角坐标的对应关系是什 么?与点的极坐标呢?
提示:平面内的点与点的直角坐标是一一对应关系,而 与点的极坐标不是一一对应关系,当规定ρ≥0,0≤θ<2π后点 的极坐标与平面内的点就一一对应了.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话
4.参数方程的概念

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上 任意一点 的
? ?x=f?t? 坐标x,y都是某个变数t的函数: ? ? ?y=g?t?

,并且对于t的每一

个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在 这条曲线上 ,那 么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y之间关系 的变数t叫做参变数,简称 参数 .相对于参数方程而言,直接 给出点的坐标间关系的方程叫做 普通方程 .

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

5.几种常见曲线的参数方程 (1)直线 经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程是
? ?x=x0+tcosα ? ? ?y=y0+tsinα

(t为参数).

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A
? ?x=x0+tcosα ? ? ?y=y0+tsinα

数学(文)

问题探究2:在直线的参数方程

(t为参数)

中,t的几何意义是什么?如何利用t的几何意义求直线上任两 点P1、P2的距离?

提示:t表示在直线上过定点P0(x0,y0)与直线上的任一点 P(x,y)构成的有向线段P0P的数量. |P1P2|=|t1-t2| = ?t1+t2?2-4t1t2.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(2)圆 以O′(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是
? ?x=a+rcosα ? ? ?y=b+rsinα

,其中α是参数.

? ?x=rcosα, 当圆心在(0,0)时,方程为? ? ?y=rsinα.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(3)椭圆 中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下 两种情况: x2 y2 椭圆a2+b2=1(a>b>0)的参数方程是 是参数.
? ?x=acosφ ? ? ?y=bsinφ

,其中φ

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

x2 y2 问题探究3:对于椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)的参数方程
? ?x=acosθ, ? ? ?y=bsinθ

(θ为参数),θ是椭圆上的点与原点连线的倾斜角

吗?
提示:不是,如图,θ是离心角.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

高考中该部分的试题是综合性的,题目中既有极坐标的 问题,也有参数方程的问题,考生既可以通过极坐标解决, 也可以通过直角坐标解决,但大多数情况下,把极坐标问题 转化为直角坐标问题,把参数方程转化为普通方程更有利于 在一个熟悉的环境下解决问题.要重视把极坐标问题化为直 角坐标问题,把参数方程化为普通方程的思想意识的形成, 这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错 误.
课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

1.(2011年北京)在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的 极坐标是
? π? A.?1,2? ? ? ? π? B.?1,-2? ? ?

(

)

C.(1,0)

D.(1,π)

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

解析:ρ2=-2ρsinθ ∴x2+y2=-2y 即x2+(y+1)2=1,圆心为(0,-1) π ∴圆心的极坐标为(1,-2).
答案:B

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

π 2.(2011年安徽)在极坐标系中,点(2, 3 )到圆ρ=2cosθ的 圆心的距离为 A.2 C. π2 1+ 9 B. D. 3 π2 4+ 9 ( )

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

? π? 解析:将点?2,3?化为直角坐标为(1, ? ?

3),

ρ=2cosθ化为直角坐标系下方程为:(x-1)2+y2=1,圆 心为(1,0).∴两点间距离为 3.
答案:D

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

3.极坐标方程ρcosθ=4表示的曲线是 A.一条平行于极轴的直线 B.一条垂直于极轴的直线 C.圆心在极轴上的圆 D.过极点的圆
解析:ρcosθ=4化为直角坐标方程为x=4 答案:B

(

)

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

4.极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是 ( A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线

)

解析:由(ρ-1)(θ-π)=0可得ρ=1或θ=π. ρ=1表示圆,θ=π(ρ≥0)表示一条射线,故选C.
答案:C

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

5.(2012年陕西)直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长 为________.
解析:将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别 1 为x= ,(x-1)2+y2=1. 2 所求的弦长等于2 1
2

?1? -?2?2= ? ?

3.

答案: 3

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

6.若x2+y2=4,则x-y的取值范围是________.

解析:令x=2cosθ,y=2sinθ,则x-y=2cosθ-2sinθ= 2 2cos(θ+φ)∈[-2 2,2 2]

答案:-2 2≤x-y≤2 2

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(对应学生用书P235)

极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件: ①极点与原点重合; ②极轴与x轴正方向重合; ③取相同的单位长度.
课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(2)若把直角坐标化为极坐标,求极角θ时,应注意判断点 P所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.利用 两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(1)(2011年江西)若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+ 4cosθ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系, 则该曲线的直角坐标方程为________.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(2)(2012年上海,改编)如图,在极坐标系中,过点M(2,0) π 的直线l与极轴的夹角α= 6 .若将l的极坐标方程写成ρ=f(θ)的 形式,则f(θ)=______.在直角坐标系下的方程为______.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话
? ?x=ρcosθ 【解析】(1)∵? ? ?y=ρsinθ.

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

∴x2+y2=ρ2.

∵ρ=2sinθ+4cosθ, ∴ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ, ∴x2+y2=2y+4x. 即(x-2)2+(y-1)2=5. ∴x2+y2-4x-2y=0 即(x-2)2+(y-1)2=5.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(2)法一:由点斜式得直线的直角坐标方程为
? ?1 ? ?x=ρcosθ, 3 3 ? y= (x-2).由? 得ρ? cosθ- sinθ? ?=1, 3 2 2 ? ? ? ?y=ρsinθ

1 即ρ= ?π ?. sin?6-θ? ? ?

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

法二:设直线上任意一点P(ρ,θ),在△POM中,由正弦 ρ 2 1 定理得 = ? ,即ρ= ? . 5 π ? π ? ? -θ? sin π sin? -θ? sin 6 ?6 ? ?6 ?
?π ? 1 由ρ= ? 得ρcos?6-θ?=1 ? π ? ? ? ? cos 6-θ ? ?

1 2 2ρsinθ- 2 ρsinθ=1 ∴x- 2y-2=0

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

【答案】 (1)x2+y2-4x-2y=0(答(x-2)2+(y-1)2=5也 1 对) (2) ? ,x- 2y-2=0 π ? sin?6-θ? ? ?

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

在本例(2)中法一是由我们熟悉的直角坐标系下求出直线 方程再化为极坐标方程,因为化归到直角坐标系下,不易出 错.而法二是在极坐标系下研究直线,用到极角和长度(极径) 所以用到解三角形的知识,需有一定的基础知识.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

? π? (1)求极坐标方程ρcos?θ-6?=1所表示的直角坐标方程__. ? ?

(2)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为
? ?x=t+1, π 极轴建立极坐标系.已知射线θ= 4 与曲线 ? 2 (t为参数) ? ?y=?t-1?

相交于A,B两点,则线段AB的中点的直角坐标为______.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

? π? 解析:(1)由ρcos?θ-6?=1,化为 ? ?

3 1 2 ρcosθ+2ρsinθ=1,

3 y 将ρcosθ=x,ρsinθ=y代入上式,得 2 x+2=1, 即 3x+y-2=0.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(2)将射线与曲线的方程化为普通方程并联立得
? ?y=x, ? 2 ? ?y=?x-2? ,

x1+x2 5 ∴x -5x+4=0,∴ 2 =2,
2

?5 5? ∴AB中点的直角坐标为?2,2?. ? ?

答案:(1) 3x+y-2=0

?5 5? (2)?2,2? ? ?

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

求解与极坐标有关的问题,主要有两种方法:一是直接 利用极坐标求解,求解时可与数形结合思想结合在一起应 用;二是转化为直角坐标后,用直角坐标求解,使用后一种 时应注意若结果要求是极坐标,还应将直角坐标化为极坐 标.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(2012年宿迁模拟)在极坐标系中,已知点P为圆ρ2+ 2ρsinθ-7=0上任一点.求点P到直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的距 离的最小值与最大值.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

【解】 圆ρ2+2ρsinθ-7=0的普通方程为 x2+y2+2y-7=0, 直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的普通方程为x+y-7=0, 设点P(2 2cosα,2 2sinα-1), 则点到直线x+y-7=0的距离 |2 2cosα+2 2sinα-8| d= = 2
? ? π? ? ?4sin?α+ ?-8? 4? ? ? ?

2



4 12 ∴dmin= =2 2;dmax= =6 2. 2 2
课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

极坐标方程化为直角坐标方程是常见的解题策略.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

在极坐标系中,设P是直线l:ρ(cosθ+sinθ)=4上任一点,Q 是圆C:ρ2=4ρcosθ-3上任一点,则|PQ|的最小值是_____.

解析:直线l:p(cosθ+sinθ)=4,即x+y-4=0;圆C: ρ2=4ρcosθ-3,即x2+y2-4x+3=0,(x-2)2+y2=1.因此 |PQ|的最小值等于圆心(2,0)到直线l:x+y-4=0的距离减去 |2+0-4| 圆半径,即等于 -1= 2-1. 2

答案: 2-1
课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

1.将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构 特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参 法、加减消参法,平方消参法等,对于含三角函数的参数方 程,常利用同角三角函数关系式消参如sin2θ+cos2θ=1等. 2.将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价 性,不要增解.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(1)(2012年广东,理)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和
? ?x=t, C2的参数方程分别为 ? ? ?y= t ? ?x= (t为参数)和 ? ? ?y=

2cosθ, (θ为 2sinθ

参数),则曲线C1与C2的交点坐标为____. (2)(2012年湖南,理)在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:
? ?x=t+1, ? ? ?y=1-2t ? ?x=asinθ, (t为参数)与曲线C2:? ? ?y=3cosθ

(θ为参数,a>0)

有一个公共点在x轴上,则a=________.
课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

【解析】(1)曲线C1的普通方程为y2=x(y≥0),曲线C2的 普通方程为x2+y2=2.
2 ? ?y =x?y≥0?, 由? 2 2 ? ?x +y =2

? ?x=1, 解得? ? ?y=1,

即交点坐标为(1,1).

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(2)把曲线C1的参数方程化为普通方程为y=-2x+3,曲 x2 y2 线C2的普通方程为 2 + =1,直线y=-2x+3与x轴的交点为 a 9
?3 ? 3 ? ,0?,即a= . 2 ?2 ?

3 【答案】 (1)(1,1) (2)2

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

将参数方程化为普通方程来研究是这类问题常用的方 法,不易出错.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(1)(2011年广东)已知两曲线参数方程分别为
? ?x= 5cosθ, ? ? ?y=sinθ

52 ? ?x= t , (0≤θ<π)和? 4 (t∈R),它们的交点坐 ? ?y=t

标为________.
? ?x=2+t, (2)(2012年北京)直线? ? ?y=-1-t ? ?x=3cosα, ? ? ?y=3sinα

(t为参数)与曲线

(α为参数)的交点个数为________.
课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

? ?x= 5cosθ 解析:(1)由? ? ?y=sinθ

(0≤θ<π)消去θ得

x2 2 5 +y =1(- 5<x≤ 5,0≤y≤1) 5 ? 2 ?x= t2 4 x 由? 4 (t∈R)消去θ得y2=5x(x≥0)代入 5 +y2=1 ? ?y=t 消去y得x2+4x-5=0解得x=1或x=-5(舍)

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话
2

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

4 2 5 当x=1时y = ,y=± ,又0≤y≤1, 5 5 2 5 ∴y= 5
? 2 5? ? ? 故两曲线交点坐标为?1, . 5 ? ? ?

(2)直线方程可化为x+y-1=0,曲线方程可化为x2+y2= 1 2 9,圆心(0,0)到直线x+y-1=0的距离d= = <3,∴直线 2 2 与圆有两个交点.
? 2 5? ? ? 答案:(1)?1, 5 ? ? ?

(2)2
课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

1.过定点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线参数方程的标准式
? ?x=x0+tcosα, 为? ? ?y=y0+tsinα

(t为参数),t的几何意义是直线上的点P到

点P0(x0,y0)的数量,即t=|PP0|时为距离.使用该式时直线上 任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2,则|P1P2|=|t1-t2|, 1 P1P2的中点对应的参数为2(t1+t2).

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

? ?x=x0+at, 2.对于形如? ? ?y=y0+bt

(t为参数),当a2+b2≠1时,应

先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题. 3.解决直线与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题 时,要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互 化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围 等.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(2011年福建)在直角坐标系xOy中,直线l的方程为
? ?x= 3cosα, x-y+4=0,曲线C的参数方程为? ? ?y=sinα

(α为参

数). (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单 位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐
? π? 标为?4,2?,判断点P与直线l的位置关系; ? ?

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的 最小值.
【解】 (1)把极坐标系下的点P P(0,4). 因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0,所 以点P在直线l上.
? π? ?4, ? 2? ?

化为直角坐标,得

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(2)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为( sinα),从而点Q到直线l的距离为: | 3cosα-sinα+4| d= = 2 =
? π? 2cos?α+6?+2 ? ? ? π? 2cos?α+6?+4 ? ?

3 cosα,

2

2, =-1时,d取得最小值,且最小值

由此得,当cos 为 2.

? π? ?α+ ? 6? ?

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

直线和圆、椭圆的参数方程是高考考查的重点,要熟悉 其中参数的几何意义.在掌握好这些基本问题的同时要熟练 掌握参数方程向普通方程的转化,优化解题过程.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

? 过点P ? ? ?

10 ? ? 2 2 作倾斜角为 α 的直线与曲线 x + 2 y =1交于 , 0 ? 2 ?

点M、N,求|PM|· |PN|的最小值及相应的α的值.
10 ? ?x= +tcosα 2 解:设直线的参数方程为? (t是参数),代 ? ?y=tsinα 3 入曲线方程并整理得(1+sin α)t +( 10 cosα)t+ 2 =0,设M、
2 2

N对应的参数分别为t1、t2,而由参数t的几何意义得 |PM|=|t1|,|PN|=|t2|,
课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

3 2 则|PM|· |PN|=|t1t2|= , 1+sin2α π 3 所以,当sin α=1,即α= 2 时,|PM|· |PN|有最小值 4 ,此
2

π 时α=2.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线 等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解 决较麻烦时,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.转 化时要注意两坐标系的关系,注意ρ,θ的取值范围,取值范 围不同对应的曲线不同. 2.解答参数方程的有关问题时,首先要弄清参数是谁, 代表的几何意义是什么;其次要认真观察方程的表现形式, 以便于寻找最佳化简途径.
课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(2012年哈尔滨九中三模)如图,已知点A( 3,0),
? ?x=tcos φ, B(0,1),圆C是以AB为直径的圆,直线l:? ? ?y=-1+tsin

φ

(t为

参数).

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标 系,求圆C的极坐标方程; (2)过原点O作直线l的垂线,垂足为H,若动点M满足 → =3 OH → ,当φ变化时,求点M轨迹的参数方程,并指出它 2 OM 是什么曲线.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

【解】

? (1)圆C的普通方程为? ?x- ?

? 1?2 3? ?2 ? + y-2? =1, ? 2? ? ?

? ? π?? π?? 极坐标方程为ρ=2sin?θ+3??或ρ=2cos?θ-6??. ? ?? ? ??

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(2)直线l的普通方程为xsin φ-ycos φ-cos φ=0,
?1 点H?2sin ? ? 1 1 2φ,-2-2cos 2φ?. ?

?3 ? 3 3 → → 由于2OM=3OH,则M?4sin 2φ,-4-4cos 2φ?, ? ?

? 3 ?x=4sin 2φ, 点M轨迹的参数方程为? ?y=-3-3cos 2φ 4 4 ? 图形为圆.

(φ为参数),

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(2011年课标卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
? ?x=2cosα ? ? ?y=2+2sinα.

(α为参数)

→ =2OM → ,P点的轨迹为曲线C . M是C1上的动点,P点满足OP 2
(1)求C2的方程; (2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射 π 线θ= 与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为 3 B,求|AB|.
课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

解:(1)设P(x,y),则由条件知M ?x ?2=2cosα, 上,所以? ?y=2+2sinα. ?2 从而C2的参数方程为
? ?x=4cosα, ? ? ?y=4+4sinα.

?x y ? ? , ? ?2 2?

,由于M点在C1

? ?x=4cosα, 即? ? ?y=4+4sinα.

(α为参数)

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2的极坐标方 程为ρ=8sinθ. π π 射线θ= 与C1的交点A的极径为ρ1=4sin , 3 3 π π 射线θ= 与C2的交点B的极径为ρ2=8sin . 3 3 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

(对应学生用书P238) 易错点 忽视极坐标系下点的极坐标不惟一

? 2 ? 在极坐标系下,若点P(ρ,θ)的一个极坐标为 ?4,3π? ,求 ? ? ? ρ θ? 以?2,2?为坐标的不同的点的极坐标. ? ?

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

【错解】

? 2 ? ? 错解一: ?4,3π? 化为直角坐标为 ??-2,2 ? ?
? ? ? ? ? ?

3??? ,

故该点与原点的中点坐标为 -1,

? 2π? 3 ,化为极坐标为?2, ?. 3? ?

2π ρ θ π 错解二:∵ρ=4,θ= 3 ,故2=2,2 =3,因此所求极坐
? π? 标为?2,3?. ? ?

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

【错因分析】 错解一中将直角坐标系的中点坐标公式应 用于极坐标系中的中点,事实上(ρ,θ)与 点(ρ,θ)与极点的中点为
?ρ θ? ? , ? ? 2 2?

的关系并不是 应

?ρ θ? ?ρ θ? ? , ? ,从几何意义上讲点 ? , ? ? 2 2? ? 2 2?

? ρ θ? 1 1 满足该点的极角为θ的 2 ,极径为ρ的 2 .错解二中满足 ?2,2? 的 ? ?

几何意义,但由于极坐标系内点的极坐标的不惟一性,还应 就点(ρ,θ)的其他形式的极坐标进行讨论.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

【正确解答】

? 2π? ∵?4, 3 ?为点P(ρ,θ)的一个极坐标. ? ?

∴ρ=4或ρ=-4. 2 当ρ=4时,θ=2kπ+ π(k∈Z), 3 ρ θ π ∴2=2,2=kπ+3(k∈Z).

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

5π 当ρ=-4时,θ=2kπ+ (k∈Z), 3 ρ θ 5π ∴2=-2,2=kπ+ 6 (k∈Z).
? ρ θ? ∴?2,2?有四个不同的点: ? ? ? π? P1 ?2,2kπ+3? ? ? ? 4 ? ,P2 ?2,2kπ+3π? ? ? ? 5π? ,P3 ?-2,2kπ+ 6 ? ? ?



? 11 ? P4?-2,2kπ+ 6 π?(k∈Z). ? ?

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

在极坐标系中,有序实数对的集合{(ρ,θ)|ρ,θ∈R}与平 面点集不是一一对应的.给出一个有序数对(ρ,θ),在平面坐 标系中可以惟一确定一个点,但极坐标系中的一点,它的极 坐标不是惟一的,若点M不是极点,(ρ,θ)是它的一个极坐 标,那么M有无穷多个极坐标(ρ,θ+2kπ)与(-ρ,θ+(2k+ 1)π),k∈Z.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ= 4cosθ(ρ≥0),则曲线C1与C2交点的极坐标为________.
? ?ρcosθ=3 解析:由? ? ?ρ=4cosθ

3 得4cos θ=3,cosθ=± 2
2

3 ∵ρ≥0 ∴cosθ= 2 ∴ρ=4cosθ=2 3.
? 两曲线的交点为?2 ?

π? ? π? 3,2kπ+ ?或?2 3,2kπ- ?,k∈Z. 6? ? 6?
课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

? 答案:?2 ?

π? ? π? 3,2kπ+6?或?2 3,2kπ-6?,k∈Z ? ? ?

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

1.极坐标与直角坐标互化 (1)前提条件:①极点与原点重合;②极轴与x轴正向重 合;③取相同的单位长度. (2)若把直角坐标化为极坐标,求极角θ时,应注意判断点 P所在的象限,以便正确地求出角θ.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

2.求曲线的极坐标方程的步骤:①建立适当的极坐标 系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点;②由曲线上的点所适合的 条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式; ③将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线上的极坐标方 程. 3.参数方程化为普通方程的关键是消参数:一要熟练掌 握常用技巧(如整体代换),二要注意变量取值范围的一致性, 这一点最易忽视.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

4.根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义,有如 下常用结论: (1)直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t1,t2, 则弦长l=|t1-t2|; (2)定点M0是弦M1M2的中点?t1+t2=0; t1+t2 (3)设弦M1M2中点为M,则点M对应的参数值tM= (由 2 此可求|M2M|及中点坐标).

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

5.解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时, 要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解 决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等.

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业

与名师对话

高考总复习 ·课标版 ·A

数学(文)

课时作业(六十一)

课前自主回顾

课堂互动探究

课时作业


相关文章:
极坐标与参数方程知识点总结大全
极坐标与参数方程知识点总结大全_物理_自然科学_专业资料。1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 的作用下,点...
极坐标系与参数方程
极坐标与参数方程_高二数学_数学_高中教育_教育专区。数学极坐标与参数方程 极坐标与参数方程编稿:侯彬 审稿:安东明 责编:辛文升 一、基础知识回顾 1.极...
极坐标与参数方程知识点、题型总结
极坐标与参数方程知识点、题型总结_数学_高中教育_教育专区。极坐标与参数方程知识点、题型总结一、伸缩变换:点 P( x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点,在...
极坐标及参数方程知识点及高考题汇编
极坐标及参数方程知识点及高考题汇编_数学_高中教育_教育专区。极坐标及参数方程知识点及例题 一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O,从 O...
极坐标与参数方程专项训练及详细答案_图文
(选修 4﹣4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为 参数) ,在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O ...
高中数学讲义-极坐标与参数方程
中国知名教育品牌 考试辅导专业机构 极坐标与参数方程一、教学目标本次课是一堂新课, 通过本次课的学习, 让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知 识, 掌握极...
极坐标与参数方程基本知识点
极坐标与参数方程基本知识点_数学_高中教育_教育专区。极坐标与参数方程基本知识点一、极坐标知识点 1. 伸缩变换: 设点 P ( x, y ) 是平面直角坐标系中的...
极坐标系与参数方程整理
极坐标与参数方程整理_数学_高中教育_教育专区。极坐标与参数方程 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系 知识点整理 如图所示 ,在平面内取一个定点 O ,叫做极点...
参数方程与极坐标(精华版)
参数方程极坐标(精华版)_数学_高中教育_教育专区。参数方程极坐标参数方程知识回顾:一、定义:在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个...
极坐标与参数方程基础训练[1]
极坐标与参数方程基础训练[1]_数学_高中教育_教育专区。极坐标与参数方程基础训练知识点:圆的参数方程: ? ? x ? a ? r cos ? ( ? 为参数) ,其中圆心 ...
更多相关标签: