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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修2-2【备课资源】1.3.3习题课


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【学习要求】 1.理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想. 2.会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不 超过三次).

试一试·双基题目、基础更牢固

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1.如图是 y=f(x)导函数的图象,对于

下列四个判断:
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①f(x)在[-2,-1]上是增函数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数; ④x=3 是 f(x)的极小值点. 其中正确的判断是________.(填序号)

试一试·双基题目、基础更牢固

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解析
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①∵在区间[-2,-1]上,f′(x)≤0,

∴f(x)在[-2,-1]上是减函数; ②∵f′(-1)=0 且在 x=0 两侧的导数值为左负右正, ∴x=-1 是 f(x)的极小值点;③对, ④不对,由于 f′(3)≠0.
答案 ②③

试一试·双基题目、基础更牢固

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2.设函数 g(x)=x(x2-1),则 g(x)在区间[0,1]上的最小值为 2 -9 3 ________.
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3 解析 g(x)=x -x,由 g′(x)=3x -1=0,解得 x1= ,x2 3 ? 3? -2 3 3 =- (舍去).又 g? ?= ,g(0)=0,g(1)=0. ? 3 ? 3 9 ? ?
3 2

? 3? 3 2 3 ? ? 所以当 x= 3 时,g(x)有最小值 g? ?=- 9 . ? 3 ?

试一试·双基题目、基础更牢固
3.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象 如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象可能 ④ 为________.(填序号)
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解析

应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导

函数的图象.

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4.若 f(x)在(a,b)内存在导数,则“f′(x)<0”是“f(x)在(a,b) 充分不必要 内单调递减”的________________条件.
解析 对于导数存在的函数 f(x),

若 f′(x)<0,则 f(x)在区间(a,b)内单调递减,反过来,函数 f(x)在(a,b)内单调递减,不一定恒有 f′(x)<0,如 f(x)= -x3 在 R 上是单调递减的,但 f′(x)≤0.

研一研·题型解法、解题更高效

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题型一
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函数与其导函数之间的关系

例 1 已知函数 y=xf′(x)的图象如图所示(其 中 f′(x)是函数 f(x)的导函数),则 y=f(x) 的图象大致是________.(填序号)

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解析 当 0<x<1 时,xf′(x)<0,

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∴f′(x)<0,故 y=f(x)在(0,1)上为减函数, 排除①②图象.
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当 1<x<2 时,xf′(x)>0,
∴f′(x)>0,故 y=f(x)在(1,2)上为增函数,因此排除④图象.
答案 ③

小结 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时, 注 意抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点考查其图象在哪 个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数, 则应考查其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于 零,并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致.

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跟踪训练 1 已知 R 上可导函数 y=f(x)的图象如图所示,则 不等式(x2-2x-3)f′(x)>0 的解集为________.
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答案

(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)

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题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值

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例 2 设函数 f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数 f′(x) 1 = ,g(x)=f(x)+f′(x). x
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(1)求 g(x)的单调区间和最小值. 1 (2)讨论 g(x)与 g( )的大小关系. x
1 解 (1)由题设易知 f(x)=ln x,g(x)=ln x+ , x

∴g(x)的定义域为(0,+∞),
x-1 ∴g′(x)= 2 .令 g′(x)=0,得 x=1. x 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是 g(x)的单调减区间,

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当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是 g(x)的单调增区 间,∴x=1 是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而也是 最小值点,∴最小值为 g(1)=1.
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?1? (2)g?x ?=-ln x+x, ? ?



?1? 1 h(x)=g(x)-g?x?=2ln x-x+ , x ? ?

?x-1?2 则 h′(x)=- . x2 当 x=1 时,h(1)=0,即
?1? g(x)=g?x?, ? ?

当 x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′(1)=0,

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∴h(x)在(0,+∞)内单调递减,
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∴当 0<x<1 时,h(x)>h(1)=0,即 1 当 x=1 时,g(x)=g( ); x 当 x>1 时,h(x)<h(1)=0,即

?1? g(x)>g?x?; ? ?

?1? g(x)<g?x?. ? ?

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小结
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(1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域.

(2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是 极小值可不再作判断, 只需要直接与端点的函数值比较即可获 得. (3)当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数 的最值点. (4)利用函数单调性可以判定函数值的大小关系.

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跟踪训练 2 设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当 a>ln 2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1.
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(1)解 由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R 知 f′(x)=ex-2,x∈R.

令 f′(x)=0,得 x=ln 2.于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变 化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,ln 2) - ln 2 0 (ln 2,+∞) +

单调递减↘ 2(1-ln 2+a) 单调递增↗

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故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2, +∞),f(x)在 x=ln 2 处取得极小值,极小值为 f(ln 2)=eln 2- 2ln 2+2a=2(1-ln 2+a).
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(2)证明 设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,
于是 g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(1)知当 a>ln 2-1 时, g′(x)取最小值为 g′(ln 2)=2(1-ln 2 +a)>0.
于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0,所以 g(x)在 R 内单调递增.
于是当 a>ln 2-1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>g(0).

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而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>0.

即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1.

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题型三 导数的综合应用

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例 3 已知函数 f(x)=x3-ax-1. (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求 a 的取值范围;
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(2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减,若存在, 求出 a 的取值范围,若不存在,请说明理由.
解 (1)f′(x)=3x2-a,

因为 f(x)在 R 上是增函数,所以 f′(x)≥0 在 R 上恒成立. 即 3x2-a≥0 在 R 上恒成立. 即 a≤3x2,而 3x2≥0,所以 a≤0.
当 a=0 时,f(x)=x3-1 在 R 上单调递增,符合题意.

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所以 a 的取值范围是(-∞,0]. (2)假设存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减,
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则 f′(x)≤0 在(-1,1)上恒成立. 即 3x2-a≤0 在(-1,1)上恒成立,即 a≥3x2, 又因为在(-1,1)上,0<3x2<3,所以 a≥3. 当 a=3 时,f′(x)=3x2-3,在(-1,1)上,f′(x)<0, 所以 f(x)在(-1,1)上单调递减,即 a=3 符合题意,
所以存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减,且 a 的取值范 围是[3,+∞).

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小结
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在已知函数 f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围

时,应令 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立,解出参数的取值范 围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能 否使 f′(x)恒等于 0,若能恒等于 0,则参数的这个值应舍去; 若 f′(x)不能恒等于 0,则由 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立解 出的参数的取值范围来确定.

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跟踪训练 3 (1)若函数 f(x)=4x3-ax+3 的单调递减区间是 ? 1 1? ?- , ? ,则实数 a 的值是多少? ? 2 2? ? 1 1? 3 (2)若函数 f(x)=4x -ax+3 在?- , ?上是单调函数,则实 ? 2 2? 数 a 的取值范围为多少?
解 (1)f′(x)=12x2-a,
? 1 1? ∵f(x)的单调递减区间为?-2,2?, ? ?

1 ∴x=± 为 f′(x)=0 的两个根, 2 ∴a=3.

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? 1 1? f(x)在?- , ?上为单调增函数,则 ? 2 2?

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f′(x)≥0
? 1 1? 在?- , ? ? 2 2?

(2)若

上恒成立,
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即 12x -a≥0

2

? 1 1? 在?-2,2?上恒成立, ? ?

∴a≤12x

2

? 1 1? 在?- , ?上恒成立, ? 2 2?

∴a≤(12x2)min=0. 当 a=0 时,f′(x)=12x2≥0 恒成立(只有 x=0 时 f′(x)=0). ∴a=0 符合题意.

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? 1 1? f(x)在?- , ?上为单调减函数, ? 2 2?

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则 f′(x)≤0
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2

? 1 1? 在?-2,2?上恒成立, ? ? ? 1 1? 在?-2,2?上恒成立, ? ?

即 12x -a≤0 ∴a≥12x
2

? 1 1? 在?-2,2?上恒成立, ? ?

∴a≥(12x2)max=3.
当 a=3 时, f′(x)=12x2-3=3(4x2-1)≤0 恒成立(且只有 x= 1 ± 时 f′(x)=0). 2

因此,a 的取值范围为 a≤0 或 a≥3.

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1.若函数 y=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的 ?1 ? ? ,+∞? ?3 ? 取值范围是________.
若函数 y=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数,只需 1 2 y′=3x +2x+m≥0 恒成立,即 Δ=4-12m≤0,∴m≥3. 解析

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2.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图象 ④ 画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是________.

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解析 若函数在给定区间上是增函数, y=f′(x)>0, 则 若函 数在给定区间上是减函数,则 y=f′(x)<0.
因此④不正确.

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3.设 f(x)、g(x)是定义在 R 上的恒大于 0 的可导函数,且 f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时,下列关系正确的

③ 是________.(填序号)
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①f(x)g(x)>f(b)g(b); ③f(x)g(b)>f(b)g(x);

②f(x)g(a)>f(a)g(x); ④f(x)g(x)>f(a)g(a).

解析

? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? ? 由条件,得? ′= <0. g?x?? [g?x?]2 ? ?

f?x? ∴ 在(a,b)上是减函数. g?x? f?b? f?x? f?a? ∴ < < ,∴f(x)g(b)>f(b)g(x). g?b? g?x? g?a?

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1 2 4.函数 f(x)=x - x -2x+5,若对于任意 x∈[-1,2],都有 2 (7,+∞) f(x)<m,则实数 m 的取值范围是__________.
3

解析 f′(x)=3x2-x-2,令 f′(x)=0,
2 得 x=- 或 x=1.可判断求得 f(x)max=f(2)=7. 3

∴f(x)<m 恒成立时,m>7.

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导数作为一种重要的工具, 在研究函数中具有重要的作用, 例 如函数的单调性、 极值与最值等问题, 都可以通过导数得以解 决.不但如此,利用导数研究得到函数的性质后,还可以进一 步研究方程、 不等式等诸多代数问题, 所以一定要熟练掌握利 用导数来研究函数的各种方法.


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