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安徽省省级示范高中名校2014届高三数学大联考试题 理


安徽省省级示范高中名校 2014 届高三数学大联考试题 理(扫描版) 新人教 A 版

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4

2014 安徽省省级示范高中名校高三联考 数学(理科)试题参考答案

(1)A 解析:

2?a 2?a 2 ? ai (

2 ? a) ? (2 ? a)i ,由题意得 ? 2(? ), 解得 a ? ?6. ? 2 2 1? i 2

(2)C 解析:由线面、面面间的位置关系可知选 C. (3)B 解析:由图知 PM2.5 值小于或等于 75 微克/立方米的频率为 1 ? (0.0004 ?

0.0008 ? 0.0016 ? 0.0024 ? 0.0048) ? 75 ? 0.25 , 所以 100 天中空气质量达标的天数是
100 ? 0.25 ? 25 .
(4)D 解析: k ? 1, b ? 0, a ?

2 b 2 8 b 3 8 ? ? 0 ? k ? 2, b ? , a ? ? ? ? k ? 3, b ? , 3 a 3 9 a 4 9 8 b 8 a ? ? ? 1, 循环结束,输出结果为 . 9 a 9

(5)A 解析: ? 是第一象限角 ? sin ? ? 1 ? cos2 ? , 反之不一定成立,故选 A.
2 (6)D 解析:画出可行域可知,当抛物线 y ? zx 过点 (1,3) 时, zmax ?

32 ? 9. 1

?? ? 2 π π? ? π? ? 得 ? =2, ? ? ? , 故圆 C1 , C2 交点坐标为 ? 2, ? , ? 2,? ? . 3 3? ? 3? ? ? ? ? 4cos? π π π (8)B 解析:选项 A、C 中 位于递增区间内, f ?( ) ? 0 ,选项 B、D 中 位于递减区 6 6 6 π 间内, f ?( ) ? 0, 结合图像可知选 B. 6 x 1 1 (9)C 解析:因为曲线 C : y ? ,相当于将函数 f ( x) ? 的图像向右平移 ? 1? x ?1 x ?1 x
(7) D 解析: 由? 一个单位,再向上平移一个单位,即曲线 C 的图像关于点 Q ?1,1? 成中心对称,所以 Q 是线 段 MN 的中点,故 ON ? OQ ? MO ? OQ ? OQ ? ON ? OM ? 2 OQ ? 4 . (10)C 解析:在正方体一个面的四个顶点中任取三个点,在与这个面平行 A 1 的面中只有一个顶点与刚才的三个顶点能构成符合条件的三棱锥(如图中三 棱锥 D1 ? ABC ) ,所以这一对平行平面的顶点共构成 2 ? C4 ? 8 个符合条件
3

???? ???? ???? ? ????

???? ???? ???? ?

?

?

???? 2

D1

C1

B1

的三棱锥,正方体中共有三对平行平面,所以可构成符合条件的三棱锥

D

C

3 ? 8 ? 24个.另外正四面体 A1C1 BD 和正四面体 ACB1 D1 也符合条件,故符 A
合条件的三棱锥共有 24 ? 2 ? 26 个. (11) 15 解析: Tr ?1 ? C6 x
r 6? r

B

(?1) r x

?

r 2

? (?1) r C6r x

6? r ?

r 2

,令 6 ? r ?

r ? 3 ,得 r ? 2 , 2
5

所以 x 3 的系数为 (?1) C6 ? 15.
2 2

(12) 3 可得

? 解析:画出简图,由三角形中位线定理可知 ?PF2 F 1 ? 90 ,根据双曲线的定义

4c 2c ? ? 2a, c ? 3a ,所以离心率 e ? 3 . 3 3

( 13 )

π 2

解析:由已知及正、余弦定理可得

a 2 ? b2 ? c 2 a b ,化简得 ? ? 4? 2ab b a

2c 2 ? a 2 ? b 2 ,将 c ? 2a 代入得 b ? 3a ,所以 cos B ?
(14) an ? 2n ? 1 是前面的

a 2 ? c 2 ? b2 π ? 0, B ? . 2ac 2

解析:第 n 个文件刚下载完时,第 n ? 1个文件刚好下完

1 (速度始终 3

1 2 ,又是同时下载的) ,此时它上升为第一位,因此剩下的 还需耗时 2 分钟,所 3 3

以 an?1 ? an ? 2, an ? 2n ? 1. (15)①②③⑤ 解析:①由题意设 ? 时,满足条件;
3 ? ? ? ?a ? ? 2 ? ?a ? 0 ?a ? ? 2 ? a ? 2a ,解得当 ? 或? 或? 3 ? ? ? ?b ? 0 ?b ? 2 ? ?b ? 2b ?b ? 2

?1 ? 2b ? ?a ② f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,取区间 [a, b] ? (0, ??) ,由题意设 ? ,所以只需 ? 1 ? 2a ? ?b
ab ? 1 即可,满足条件; 2

? 4a ? 2a ? ? a2 ? 1 ③ f ( x) 在 ? ?1,1? 上单调递增,取区间 [a ,b ] ? [? 1,1] ,由题意设 ? ,解得当 ? 4b ? 2b ? ? b2 ? 1
?a ? ?1 ?a ? 0 ?a ? ?1 或? 或? 时,满足条件; ? ?b ? 0 ?b ? 1 ?b ? 1
④由题意设 ?
a ? ? y ? ex ?e ? 2a x e ? 2 x ,即 是方程 的两个根,由于两函数 没有交点,故 a , b ? b y ? 2 x e ? 2 b ? ? ?

对应方程无解,所以不满足条件; ⑤ f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,取区间 [a, b] ? (0, ??) ,由题意设 ?

?lg a ? 2 ? 2a ,即 a, b ?lg b ? 2 ? 2b
6

是方程 lgx ? 2 ? 2 x 的两个根,由于两函数 ? 即存在 a, b 满足条件. 所以存在“和谐区间”的是①②③⑤.

? y ? lgx ? 2 有两个交点,故对应方程有两个根, ? y ? 2x

(16)解析: (Ⅰ)由题意得函数 f ( x )=2sin(? x ? 所以

π ) ? 1 ,其最小正周期为 π , 6



?

? π , ? ? 2 .???????????????????????5 分

π ) ?1, 6 π 5π π 1 π π ,k ?Z . 令 f ( x) ? 0 得 sin(2 x ? ) ? ,所以 2 x ? ? 2kπ ? 或 2 x ? ? 2kπ ? 6 2 6 6 6 6 π 解得 x ? kπ 或 x ? kπ ? , k ? Z .???????????????????9 分 3 2π , x3 ? 0 . 因为 x ? [? π, 0] ,所以零点有 x1 ? ? π, x2 ? ? 3 5π 所以 f ( x) 在区间 [? π, 0] 上的所有零点之和为 ? .??????????????12 分 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f ( x )= ? 2sin(2 x ? (17)解析: (Ⅰ)函数 f ( x ) 定义域为 (??,1) ? (1, ?? ) , f ?( x) ? 分 由 f ?( x) ?

e2 x (2 x ? 3) ,???2 ( x ? 1)2

3 3 e2 x (2 x ? 3) ? 0 解得 x ? ,由 f ' ( x) ? 0 解得 x ? 且 x ? 1 , 2 2 2 ( x ? 1)

故函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( , ??) ,单调递减区间是 (??,1),(1, ) .????6 分

3 2

3 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

2x ? 3 e2 x (2 x ? 3) e2 x 恒成立,即 a ? ,???????8 分 ? a ? 2 ( x ? 1) x ?1 x ?1

令 g ( x) ?

1 2x ? 3 ' ? 0, ,则 g ( x ) ? ( x ? 1) 2 x ?1

因此 g ( x) 在 [2, ??) 上单调递增,于是 g ( x) ? g (2) ? 1 , 故实数 a 的取值范围是 (??,1] .??????????????????????12 分 (18) 解析: (Ⅰ) ∵ PA ? AB, AB ? AD, PA ? AD ? A, ∴ AB ? 平面 PAD , ∴ AB ? PD, 又 PD ? AD, AB ? AD ? A, ∴ PD ? 平面 ABCD .???????4 分 (Ⅱ)以 D 为原点, DA, DC, DP 分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 D ? xyz, 则
7

??? ? ???? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), P(0,0,2), CB ? (2,0,0), BP ? (?2, ?2,2), CA ? (2, ?2,0),
∴ CE ? CB ? BE ? CB ? ? BP ? (2 ? 2?, ?2?, 2?) .

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

?? ??? ? ?? ? 2? ) x2 ? ?y 2 ? ? z0 ,? ?(2 ? ? n1 ? CE 设 n1 ? ( x, y, z) 是平面 EAC 的一个法向量, 则 ? ?? ??? 即? ?, 2 x ?2 y ? 0 . ? ? ? n1 ? CA ?? ? 令 x ? ? , 则 y ? ? , z ? 2? ? 1, ∴ n1 ? (?, ?, 2? ? 1) .
又 n2 ? (1,0,0) 是平面 PDC 的一个法向量,

?? ?

?? ? ?? ? n1 ? n2 2 π ? ∴ cos ?| ?? ? ?? ? |, 即 2 4 | n1 | ? | n2 |
∴存在 ? ?

1 , 解得 ? ? , 2 2? ? (2? ? 1)
2 2

?

1 π 使得平面 EAC 与平面 PDC 所成的锐角的大小是 . ???????12 分 2 4
n?1

(19)解析: (Ⅰ)由已知可设 an ? 2q

(q ? 0), 则

an ? 2 an ?1an ? 2 ? ? q 2 ? 4, ∴ q ? 2, an an an ?1

? an ? 2n ,?an an?1 ? m ? 4n ? 22n?1 ? 2 ? 4n , ∴ m ? 2 . ????????????5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 an an ? 2 2n ? 2 2 , ∴ a1 a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ?an an ? 2 2
n n

n

1

?

2 22

?????

n 2n

.?7 分

1 2 n 1 1 2 n ? 2 ? ??? ? n , 则 Sn ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2?n 1 1 1 1 1 n 2?n 两式相减得 S n ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 , ∴ S n ? 2 ? n ? 2, 2 2 2 2 2 2 2 2
令 Sn ? ∴ a1 a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ????? an an ? 4. ????????????????13 分

?a ? 5 ?b ? 1 ? ? 2 2 2 , 解得 ?b ? 1 . (20)解析: (Ⅰ)由题意得 ? a ? c ? b ? ?c ? 2 ? 2 a ? 2c ? 2 5 ? 4 ?
? 椭圆 C 的方程是

x2 ? y 2 ? 1 .?????????????????????4 分 5

(Ⅱ)假设存在等腰直角三角形 MAB ,由题知直角边 MA , MB 不可能平行或垂直 x 轴. 故设 MA 所在直线的方程是 y ? kx ? 1 ( k ? 0 ) ,则 MB 所在直线的方程是 y ? ? 由?

1 x ?1, k

? y ? kx ? 1
2 2 ?x ? 5 y ? 5

,得 A(?

10k 10k 2 , ? ? 1) , 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

? MA ? (?

10k 2 10k 2 2 10k 1 ? k 2 . ) ? ( ? ) ? 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2
8

10 1 ? k 2 1 用 ? 替换上式中的 k 再取绝对值,得 MB ? , k 5 ? k2
由 MA ? MB 得 k (5 ? k ) ? 1 ? 5k ,解得 k ? 1 或 k ? 2 ? 3 .
2 2

故存在三个内接等腰直角三角形 MAB .直角边所在直线的方程是 y ? x ? 1 、 y ? ? x ? 1 或

y ? (2 ? 3) x ? 1 、 y ? (?2 ? 3) x ? 1 或 y ? (2 ? 3) x ? 1 、 y ? ?(2 ? 3) x ? 1 .
????????????????????????????????13 分 (21)解析: (Ⅰ)由题意可知第二场比赛后 C 为优胜者的情况为

1 1 1 (C ? A) ? (C ? B) ? C, 故其概率为 ? ? ; ??????????????2 分 2 3 6 由题意可知第三场比赛后 C 不可能为优胜者,故其概率为 0;???????4 分 由题意可知第四场比赛后 C 为优胜者的情况为 1 1 1 1 1 (C ? A) ? ( A ? B) ? ( B ? C ) ? (C ? A) ? C, 故其概率为 ? ? ? ? . ???6 分 2 3 3 2 36 (Ⅱ)第一场 A 与 C 的比赛结果分两种情况: ① A 与 C 的比赛中 C 胜出, C 如果要成为优胜者,接下来的比赛按如下进行: (C ? A) ? (C ? B) ? ( B ? A) ? ( A ? C ) ? (C ? B) ? C , ? n ? N*, 共3n ? 1场? , ????? ? ?????? ?
n ?1回

( ? ? ) 对 n ? N*, 以上比赛进行的概率为:

2 2 1 3 3 2

n ?1

1 1 2 ? ? ? ( ) n ?1 , 此时 C 在第 3n ?1 场比赛 6 6 9

后成为优胜者;??????????????????9 分 ② A 与 C 的比赛中 A 胜出, C 如果要成为优胜者,接下来的比赛按如下进行:

(C ? A) ? ( A ? B ) ? ( B ? C ) ? (C ? A) ? ( A ? B ) ? ( B ? C ) ? (C ? A) ? C , ????? ? ?????? ?
n ?1回

? n ? N*, 共3n ?1场? , 对 n ? N*, 以上比赛进行的概率为: ( 3 ? 2 ? 3 )
为优胜者,所以 pn ?

1 1 1

n ?1

?

1 1 1 n ? ?( ) , 36 2 18

此时 C 在第 3n ?1 场比赛后成为优胜者.??????????????????12 分 综上所述, C 在第 3n ?1 场或者第 3n ?1 场比赛后能成为优胜者,在第 3n 场比赛后不能成

1 2 n ?1 1 1 ? ( ) , qn ? 0, rn ? ? ( ) n ,n ? N *. ?????13 分 6 9 2 18

9


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