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江苏省南京市四校2012-2013学年高二上学期期中联考数学试题.


期中考试试卷
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1.命题“ 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 2 ”的逆否命题为 2.命题“ ? x ? R , x 2 ? x ? 3 ? 0 ”的否定是 3.方程 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 5m ? 0 表示圆的充要条件是 4. x ? 1”是“ x ? a ”的充分不必要条件,则实数 a 的取

值范围是 “ 5.直线 ax ? y ? a ? 0 与圆 x +y =4 的位置关系是
2 2

. . . .



6. 以抛物线 y ? 4 x 的焦点为圆心, 且过坐标原点的圆的方程为
2



7.若椭圆过两点 ?2,0 ? , 0,? 3 ,则椭圆的标准方程为 8. 已知双曲线
2

?

?

. .

x2 y 2 则该双曲线的渐近线方程为 ? ? 1 的右焦点为 ( 13, 0) , 9 a
2 2 2

9.两圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 和 x ? y ? 4 x ? 10 y ? 13 ? 0 的公切线有 10. 若双曲线

条 .

x2 y 2 则 ? ? 1 左支上一点 P 到右焦点的距离为 8, P 到左准线的距离为___ 4 5
y B A F O

11.如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,左焦 a 2 b2 0 点为 F ,上顶点为 B ,若 ?BAO ? ?BFO ? 90 ,则椭圆的离 心率是 .

x

12. 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 , 抛物线 y 2 ? 4 x 上 一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 .

第 11 题

13. (已知直线 l :y=-1 及圆 C:x +(y-2) =1,若动圆 M 与 l 相切且与圆 C 外切,则动圆 圆心 M 的轨迹方程是 .

2

2

14. 已知 a ? (2,?3,0) , b ? (k ,0,3) ,且 a , b ?

?

?

?

2? ,则实数 k = 3



1

二、解答题(共 90 分) 15.(本小题 14 分)

x 已知 p: ? 3 ? 2, q:(x-m+1)(x-m-1) ? 0 ,若 ?p 是 ?q 充分而不必要条件,
求实数 m 的取值范围.

16.(本小题 14 分) 设命题 p :方程
2

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线, a?6 a?7
2 2 2

命题 q :圆 x ? ( y ? 1) ? 9 与圆 ( x ? a) ? ( y ? 1) ? 16 相交. 若“ ?p 且 q ”为真命题,求实数 a 的取值范围.

2

17.(本小题 14 分) 已知过点 A ? ?1, 4 ? 的圆的圆心为 C ? 3,1? . ⑴ 求圆 C 的方程; ⑵ 若过点 B ? 2, ?1? 的直线 l 被圆 C 截得的弦长为 4 5 ,求直线 l 的方程.

18.(本小题 16 分) 椭圆 点. ⑴ 求 ?ABF2 的周长; ? ⑵ 若 l 的倾斜角为 ,求 ?ABF2 的面积. 4

x2 y 2 ? ? 1的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,一条直线 l 经过点 F1 与椭圆交于 A, B 两 4 3

3

19.(本小题 16 分) 设 O 为 坐 标 原 点 , 圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 上 存 在 两 点 P, Q 关 于 直 线
2 2

x ? my ? 4 ? 0
对称,且满足 OP ? OQ ? 0 (1)求 m 的值; (2)求直线 PQ 的方程.

20.(本小题 16 分) 已知椭圆 C 的焦点为 F1(-5,0),F2 (5,0),焦点到短轴端点的距离为 2 10. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设点 P 是椭圆 C 上的一点,且在第一象限.若△PF1F2 为直角三角形, 5 试判断直线 PF1 与圆 O:x2+y2= 的位置关系. 2

4

2012-2013 学年度第一学期期中考试试卷

高 二 数 学
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分)

参考答案

1.命题“ 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 2 ”的逆否命题为 若a ? 1 ? b ? 2, 则a ? b 2.命题“ ? x ? R , x 2 ? x ? 3 ? 0 ”的否定是 ?x ? R, x ? x ? 3 ? 0
2

3.方程 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 5m ? 0 表示圆的充要条件是 m ? 1 4. x ? 1”是“ x ? a ”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 a<1 “ 5.直线 ax ? y ? a ? 0 与圆 x +y =4 的位置关系是 相交
2 2

6.以抛物线 y ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 1 2 2 7.若椭圆过两点 ?2,0 ? , 0,? 3 ,则椭圆的标准方程为 x ? y ? 1 4 3
2

2

2

?

?

8.已知双曲线
2

2 x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 ( 13, 0) ,则该双曲线的渐近线方程为 y ? ? x 3 9 a
2 2 2

9.两圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 和 x ? y ? 4 x ? 10 y ? 13 ? 0 的公切线有 3 条 10.若双曲线

x2 y 2 8 ? ? 1 左支上一点 P 到右焦点的距离为 8,则 P 到左准线的距离为 4 5 3

11.如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,左焦 a 2 b2 0 点为 F ,上顶点为 B ,若 ?BAO ? ?BFO ? 90 ,则椭圆的离 心率是 5 ? 1
2

y B A F O x

12. 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 , 抛物线 y ? 4 x 上
2

第 13 题 一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是
2

2

13. (文科、艺体学生做)曲线 y ? x 的一条切线的斜率是 ? 4 ,则切点坐标是 (?2,4) (理科学生做)已知直线 l :y=-1 及圆 C:x +(y-2) =1,若动圆 M 与 l 相切且与圆 C 外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程是 x ? 8 y
2
2 2

14. (文科、 艺体学生做) 一质点的运动方程为 S ? 2t 2 ? 3 (位移单位: 米, 时间单位: 秒), 则该质点在 t ? 2 秒时的瞬时速度为 8 米/秒.

? ? ? 2? (理科学生做)已知 a ? (2,?3,0) , b ? (k ,0,3) ,且 a , b ? ,则实数 k = ? 39 3
5

二、解答题(共 90 分) 15.(本小题 14 分)

x 已知 p: ? 3 ? 2, q:(x-m+1)(x-m-1) ? 0 ,若 ?p 是 ?q 充分而不必要条件,
求实数 m 的取值范围. 解:由题意 p: ? 2 ? x ? 3 ? 2 ∴ 1? x ? 5

??????????????????3分 5分

∴ ?p : x ? 1或x ? 5 ????????????? q: m ? 1 ? x ? m ? 1 ∴ ?q : x ? m ? 1或x ? m ? 1 又∵ ?p 是 ?q 充分而不必要条件 ∴?

????????????? 8分 ????????????? 10分

?m ? 1 ? 1 ?m ? 1 ? 5

∴2 ? m ? 4

???????????????? 14 分

16.(本小题 14 分)

x2 y2 设命题 p :方程 ? ? 1 表示双曲线, a?6 a?7
命题 q :圆 x ? ( y ? 1) ? 9 与圆 ( x ? a) ? ( y ? 1) ? 16 相交.
2 2 2 2

若“ ?p 且 q ”为真命题,求实数 a 的取值范围. 解:若 p 真,即方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线, a?6 a?7
???????????????5 分
2 2

则 ? a ? 6 ?? a ? 7 ? ? 0 ,??6 ? a ? 7 .
2

若 q 真,即圆 x 2 ? ? y ? 1? ? 9 与圆 ? x ? a ? ? ? y ? 1? ? 16 相交, 则 1 ? a 2 ? 4 ? 7,??3 5 ? a ? 3 5 . 若“ ? p 且 q ”为真命题,则 p 假 q 真,
?a ? ?6或a ? 7 ? ?? ,即 ?3 5 ? a ? ?6 , ??3 5 ? a ? 3 5 ?

????????????????10 分

? 符合条件的实数 a 的取值范围是 ?3 5 ? a ? ?6 . ????????????14 分
6

17.(本小题 14 分) 已知过点 A ? ?1, 4 ? 的圆的圆心为 C ? 3,1? . ⑴ 求圆 C 的方程; ⑵ 若过点 B ? 2, ?1? 的直线 l 被圆 C 截得的弦长为 4 5 ,求直线 l 的方程. 解:⑴圆 C 半径 r 即为 AC ,所以 r ? AC ?
2 2

? ?1 ? 3?

2

+ ? 4 ? 1? ? 5 ,?????2 分
2

所以圆 C 的方程为 ? x ? 3? + ? y ? 1? ? 25 .??????????????6 分

18.(本小题 16 分) 椭圆 点. ⑴ 求 ?ABF2 的周长; ⑵ 若 l 的倾斜角为

x2 y 2 ? ? 1的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,一条直线 l 经过点 F1 与椭圆交于 A, B 两 4 3

? ,求 ?ABF2 的面积. 4

解:⑴由椭圆的定义,得 AF1 ? AF2 ? 2a, BF1 ? BF2 ? 2a ,又 AF1 ? BF1 ? AB , 所以, ?ABF2 的周长 ? AB ? AF2 ? BF2 ? 4a . 又因为 a ? 4 ,所以 a ? 2 ,故 ?ABF 2 点周长为 8 .????????????6 分
2

⑵由条件,得 F1 (?1 , 0) ,因为 AB 的倾斜角为

? ,所以 AB 斜率为 1 , 4

故直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 .?????????????????????8 分 由?
? y ? x ? 1, ? x2 y2 ? ? 1, ? 3 ? 4

消去 x ,得 7 y ? 6 y ? 9 ? 0 ,??????????????10 分
2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,解得 y1 ?

3? 6 2 3?6 2 , , y2 ? 7 7
7

所以, S?ABF2 ?

1 1 12 2 12 2 .??????????16 分 F1 F2 ? y1 ? y2 ? ? 2 ? ? 2 2 7 7
2 2

19.(本小题 16 分) 设 O 为坐标原点,圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 上存在两点 P, Q 关于直线
(1)求 m 的值; (2)求直线 PQ 的方程. x ? my ? 4 ? 0 对称,且满足 OP ? OQ ? 0 . 2 2 解: (1)圆 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 9 ,圆心 C(-1,3) ,半径 r=3 ??????2 分

∴由题意知,直线 x ? my ? 4 ? 0 必过圆心,∴ ? 1 ? 3m ? 4 ? 0 , m ? ?1 ?6 分 (2)设直线 PQ 的方程为 y ? ? x ? b ,
2 2

????????????8 分

与圆的方程联立,消去 y 得 2 x ? (8 ? 2b) x ? b ? 6b ? 1 ? 0
2 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,得 x1 ? x2 ? b ? 4 , x1 ? x 2 ? b ? 6b ? 1 ,????10 分

2

从而,得 y1 ? y 2 ? (? x1 ? b)( ? x 2 ? b) ? ? ? 而由 OP ? OQ ? 0 得, x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , ∴

b ? 2b ? 1 ????? ???12 分 2
2

???????????14 分

b 2 ? 6b ? 1 b 2 ? 2b ? 1 + =0,解得 b ? 1 ,直线 PQ 的方程为 y ? ? x ? 1 ?16 分 2 2

20.(本小题 16 分) 已知椭圆 C 的焦点为 F1(-5,0),F2 (5,0),焦点到短轴端点的距离为 2 10.
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设点 P 是椭圆 C 上的一点,且在第一象限.若△PF1F2 为直角三角 5 形,试判断直线 PF1 与圆 O:x2+y2= 的位置关系. 2

解: (1)由题意可得 a=2 10,c=5, ???????????????????4 分 x2 y2 ∴b2=15. 所以椭圆 C 的方程为 + =1. ?????????????6 分 40 15 5 10 (2)圆 O:x2+y2= 的圆心为原点,半径 r= . 2 2 ①当∠PF2F1 为直角时,点 P 的坐标为(5, 3 10 ). 4 ???? ????????8 分

3 15 10 直线 PF1 的方程为 y= (x+5).此时圆心到直线 PF1 的距离为 < . 13 2 4 10 5 所以直线 PF1 与圆 O:x2+y2= 相交. ?????????????????11 分 2

?40+15=1, ?x=4, ②当∠F PF 为直角时,设点 P 的坐标为(x,y).解? 得? 5 ?y=3. x2+y2= . ? 2
x2 y2
1 2

所以点 P 的坐标为(4,3).

?????????? ?????????13 分 10 . 2

则点 P 到椭圆右焦点(5,0)的距离为 10. 此时圆心 O 到直线 PF1 的距离为
8

5 所以直线 PF1 与圆 O:x2+y2= 相切. 2

????????????????16 分

9


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