当前位置:首页 >> 数学 >>

第5章 第3节 等比数列及其前n项和


2009~2013 年高考真题备选题库 第 5 章 数列 第 3 节 等比数列及其前 n 项和 考点一 等比数列的通项公式
1. (2013 新课标全国Ⅱ,5 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3 = a2 +10a1 , a5=9,则 a1=( 1 A. 3 1 C. 9 ) 1 B.- 3 1 D.- 9

解析:本题考查等比数

列的基本知识,包括等比数列的前 n 项和及通项公式,属于基础 a1?1-q3? 题,考查考生的基本运算能力.由题知 q≠1,则 S3= =a1q+10a1,得 q2=9,又 a5 1-q 1 =a1q4=9,则 a1= ,故选 C. 9 答案:C 2. (2013 北京, 5 分) 若等比数列{an}满足 a2+a4=20, a3+a5=40, 则公比 q=________; 前 n 项和 Sn=________. 解析:本题考查等比数列的通项公式和求和公式,考查方程思想以及考生的运算求解能 力. a3+a5 + q= =2,又 a2+a4=20,故 a1q+a1q3=20,解得 a1=2,所以 Sn=2n 1-2. a2+a4 答案:2 2n 1-2


3.(2013 湖北,12 分)已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)是否存在正整数 m,使得 + +…+ ≥1?若存在,求 m 的最小值;若不存在, a1 a2 am 说明理由. 解:本题考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式、不等式等基础知识和基本方法,考 查方程思想、分类与整合思想,考查运算求解能力、逻辑思维能力,考查综合运用知识分析 问题和解决问题的能力.
3 3 ? ? ?a1=3, ?a1q =125, (1) 设等比数列 {an} 的公比为 q ,则由已知可得 ? 解得 ? 2 ?|a1q-a1q |=10, ? ?

5



?q=3,

? ?a1=-5, ? ?q=-1. ?

5 n-1 - 故 an= · 3 ,或 an=-5· (-1)n 1. 3 5 n-1 1 3 ?1?n-1 ?1? 3 1 (2)若 an= · 3 ,则 = · ,故?a ?是首项为 ,公比为 的等比数列, 3 an 5 ?3? 5 3 ? n? 3 ? ?1?m? ·1- 1 5 ? ?3? ? 9 ? ?1?m? 9 从而 ? = = · 1- < <1. a 1 10 ? ?3? ? 10 n=1 n 1- 3
m

1 1 ?1? 1 - - 若 an=-5· (-1)n 1,则 =- (-1)n 1,故?a ?是首项为- ,公比为-1 的等比数列, an 5 5 ? n?

? 1 1 ?-5,m=2k-1?k∈N+?, 从而 ? =? n=1 an ?0,m=2k?k∈N+?, ?
m

故?

m

n=1

1 <1. an

综上,对任何正整数 m,总有 ?

m

n=1

1 <1. an

1 1 1 故不存在正整数 m,使得 + +…+ ≥1 成立. a1 a2 am 4. (2012 辽宁,5 分)已知等比数列{an}为递增数列,且 a2 5=a10,2(an+an+2)=5an+1,则 数列{an}的通项公式 an=________. 1 9 解析:由 2(an+an+2)=5an+1?2q2-5q+2=0?q=2 或 ,由 a2 5=a10=a1q >0?a1>0,又 2
4 2 9 数列{an}递增,所以 q=2.a2 5=a10>0?(a1q ) =a1q ?a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为

an=2n. 答案:2n 5. (2010 福建,4 分)在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数 列的通项公式 an=________. 解析:∵在等比数列{an}中,前 3 项之和等于 21, ∴ a1?1-43? =21, 1-4


∴a1=1,∴an=4n 1. 答案:4n
-1

6.(2011 新课标全国,12 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a2 3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前 n 项和. bn

2 2 2 1 解:(1)设数列{an}的公比为 q.由 a2 3=9a2a6 得 a3=9a4,所以 q = .由条件可知 q>0,故 9

1 q= . 3 1 由 2a1+3a2=1,得 2a1+3a1q=1,得 a1= . 3 1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3 (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an= n?n+1? -(1+2+…+n)=- . 2 1 2 1 1 故 =- =-2( - ). bn n n?n+1? n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n + +…+ =-2[(1- )+( - )+…+( - )]=- . b1 b2 bn 2 2 3 n n+1 n+1 1 2n 所以数列{ }的前 n 项和为- . bn n+1

考点二 等比数列的前 n 项和
1. (2013 辽宁,5 分)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x2-5x+4=0 的两个根,则 S6=________. 解析:本题主要考查等比数列的性质、通项公式、求和公式,意在考查考生对等比数列 公式的运用,以及等比数列性质的应用情况.由题意得,a1+a3=5,a1a3=4,由数列是递增 数列得,a1=1,a3=4,所以 q=2,代入等比数列的求和公式得 S6=63. 答案:63 2. (2013 湖北,13 分)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4,S2,S3 成等差数列,且 a2+a3+a4=-18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 n,使得 Sn≥2013?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若不存 在,说明理由. 解:本题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、等比数列的通项公式及前 n 项和 公式,也考查了分类讨论思想. (1)设数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0.由题意得
?S2-S4=S3-S2, ?-a1q2-a1q3=a1q2, ? ? ? 即? 2 ?a2+a3+a4=-18, ? ? ?a1q?1+q+q ?=-18, ?a1=3, ? - 解得? 故数列{an}的通项公式为 an=3(-2)n 1. ? q =- 2. ?

3[1-?-2?n] (2)由(1)有 Sn= =1-(-2)n. 1-?-2? 若存在 n,使得 Sn≥2 013,则 1-(-2)n≥2 013,即(-2)n≤-2 012. 当 n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立; 当 n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,即 2n≥2 012,则 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}. 3. (2013 陕西,12 分)设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; (2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. 解:本题考查等比数列前 n 项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题,深 度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法. (1)设{an}的前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=a1+a1+…+a1=na1; 当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn 1,①


qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,② ①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn, na ,q=1, ? ? 1 a1?1-qn? ∴Sn= ,∴Sn=?a1?1-qn? 1-q ,q≠1. ? ? 1-q (2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N+, (ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), a2 k+1+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
2k k k 1 a2 · a1qk 1+a1qk 1+a1qk 1, 1q +2a1q =a1q
- + - +

∵a1≠0,∴2qk=qk 1+qk 1.
- +

∵q≠0,∴q2-2q+1=0, ∴q=1,这与已知矛盾. ∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列. 4. (2010 广东,5 分)已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2· a3=2a1,且 5 a4 与 2a7 的等差中项为 ,则 S5=( 4 A.35 C.31 ) B.33 D.29

解析:设数列{an}的公比为 q,a2· a3=a2 q3=a1· a4=2a1?a4=2,a4+2a7=a4+2a4q3=2 1· 5 1 +4q3=2× ?q= , 4 2

a1?1-q5? a4 故 a1= 3=16,S5= =31. q 1-q 答案:C 5. (2010 安徽,5 分)设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和 分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是( A.X+Z=2Y C.Y2=XZ ) B.Y(Y-X)=Z(Z-X) D.Y(Y-X)=X(Z-X)

解析:根据等比数列的性质:若{an}是等比数列, 则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等比数列,即 X,Y-X,Z-Y 成等比数列, 故(Y-X)2=X(Z-Y),整理得 Y(Y-X)=X(Z-X),故选 D. 答案:D 6. (2010 辽宁,5 分)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1, S3=7,则 S5=( 15 A. 2 33 C. 4 ) 31 B. 4 17 D. 2
3

a q· a q =1 ? ? 1 1 3 解析:显然公比 q≠1,由题意得,?a1?1-q ? , ? 1-q =7 ? a =4 ? ? 1 解得? 1 , ? ?q=2 1 4?1- 5? 2 a1?1-q5? 31 ∴S5= = = . 1 4 1-q 1- 2 答案:B 7. (2010 天津,5 分)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3 1 =S6,则数列{ }的前 5 项和为( an 15 A. 或 5 8 31 C. 16 ) 31 B. 或 5 16 15 D. 8

9?1-q3? 1-q6 解析:由题意可知 = ,解得 q=2, 1-q 1-q 1 1 数列{ }是以 1 为首项,以 为公比的等比数列, an 2

31 由求和公式可得 S5= . 16 答案:C S6 S9 8.(2009· 辽宁,5 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 =( S3 S6 A.2 8 C. 3 解析:由等比数列的性质: S3,S6-S3,S9-S6 仍成等比数列,于是,由 S6=3S3,可推出 S9-S6=4S3,S9=7S3,∴ S9 7 = . S6 3 答案:B 7 B. 3 D.3 )

考点三 等比数列的性质及应用
1. (2013 江西,5 分)等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( A.-24 C.12 B.0 D.24 )

解析:选 A 本题考查等比数列的通项以及等比数列的性质,意在考查考生的运算能力 及对基础知识的掌握情况.由等比数列的前三项为 x,3x+3,6x+6,可得(3x+3)2=x(6x+6), 解得 x=-3 或 x=-1(此时 3x+3=0,不合题意,舍去),故该等比数列的首项 x=-3,公 3x+3 比 q= =2,所以第四项为(6x+6)×q=-24. x 1 2. (2013 江苏,5 分)在正项等比数列{an}中,a5= ,a6+a7=3.则满足 a1+a2+…+ 2 an>a1a2…an 的最大正整数 n 的值为________. 解析:本题主要考查等比数列的基本性质,意在考查学生的运算能力. 1 1 设等比数列{an}的公比为 q(q>0).由 a5= ,a6+a7=3,可得 (q+q2)=3,即 q2+q-6 2 2 n - - - =0,所以 q=2,所以 an=2n 6,数列{an}的前 n 项和 Sn=2n 5-2 5,所以 a1a2…an=(a1an) 2 n?n-11? n?n-11? n?n-11? - - - =2 ,由 a1+a2+…+an>a1a2…an 可得 2n 5-2 5>2 ,由 2n 5>2 ,可 2 2 2 求得 n 的最大值为 12,而当 n=13 时,28-2 5>213 不成立,所以 n 的最大值为 12.


答案:12 3. (2012 新课标全国,5 分)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10 =( ) A.7 B.5

C.-5

D.-7

? ?a4+a7=2, 解析:设数列{an}的公比为 q,由? ?a5· a6=a4· a7=-8, ?

? ? ? ? 1 ?a4=4, ?a4=-2, 得? 或? 所以? 3 1 ?a7=-2, ? ? ?a7=4, ?q =- ,
a =-8, 2

?

? ?a1=1, 或? 3 ?q =-2, ?

? ? ?a1=-8, ?a1=1, 所以? 或? 所以 a1+a10=-7. ?a10=1, ? ? ?a10=-8,

答案:D 4. (2010 北京,5 分)在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m= ( ) A.9 C.11


B.10 D.12

解析:由题知 am=|q|m 1=a1a2a3a4a5=|q|10,所以 m=11. 答案:C 5. (2012 浙江,4 分)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3a2+2, S4=3a4+2,则 q=____________. 解析:∵S4-S2=a3+a4=3(a4-a2),∴a2(q+q2)=3a2(q2-1), 3 解得 q=-1(舍去)或 q= . 2 3 答案: 2 6.(2011 江西,12 分)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0), b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值. 解:(1)设数列{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2, 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q)2=2(3+q2). 即 q2-4q+2=0,解得 q1=2+ 2,q2=2- 2. 所以数列{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n
-1

或 an=(2- 2)n 1.


(2)设数列{an}的公比为 q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得 aq2-4aq+3a-1=0(*), 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根. 由数列{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0,代入(*)得 1 a= . 3


相关文章:
第五章 第三节 等比数列及其前n项和
5页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 第五章 第三节 等比数列及其前n项和 2013届人教A版一轮复习...
第五章 第3节 等比数列及其前n项和
第五章 第3节 等比数列及其前n项和。(创新方案)2011年高考数学(课标人教A版,理)一轮复习同步课时作业及单元检测今日推荐 180份文档 CET...
第五章 第三节 等比数列及其 前n项目和
等比数列的前n项和》教学... 暂无评价 2页 1.00元 第五章 第三节 等比数列... 56页 2财富值 第五章 第3节 等比数列及... 5页 2财富值 第五章...
...第五章 第3节 等比数列及其前n项和 理(含解析)
【三维设计】(新课标)2016届高考数学5年真题备考题库 第五章 第3节 等比数列及其前n项和 理(含解析)_数学_高中教育_教育专区。第5章 第3节 a6 的值是__...
第五章第3讲等比数列及其前n项和
第五章第3等比数列及其前n项和_数学_高中教育_教育专区。第 3等比数列及其前 n 项和 ,[学生用书 P99]) 1.等比数列的有关概念 (1)定义 如果一个...
第五章第3讲等比数列及其前n项和
第五章第3等比数列及其前n项和_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 3等比数列及其前 n 项和 1.等比数列的有关概念 (1)定义: 如果一个数列从第 ...
...总复习课时精练:第5章 第3节 等比数列及其前n项和]
2015届高考数学(理)基础知识总复习课时精练:第5章 第3节 等比数列及其前n项和]_高中教育_教育专区。2015届高考数学(理)基础知识总复习课时精练:第5章 第3节 ...
...能检测:第5章 第3节 等比数列及其前n项和]
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第5章 第3节 等比数列及其前n项和]_数学_高中教育_教育专区。【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第5章...
...轮复习课时作业:第5章 第3节 等比数列及其前n项和
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第5章 第3节 等比数列及其前n项和_高中教育_教育专区。2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课...
...第5章 第3节《等比数列及其前n项和》名师首选练习题...
2014届高考数学一轮复习 第5章 第3节等比数列及其前n项和》名师首选练习题 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。第五章一、选择题 第三节 等比数列 及其前...
更多相关标签:
等比数列前n项和公式 | 等比数列前n项和 | 等比数列通项公式 | 等比数列的前n项和 | 等比数列前n项和性质 | 等比数列的前n项和ppt | 等比数列前n项和ppt | 等比数列前n项和教案 |