当前位置:首页 >> 高中教育 >>

2015年高考数学复习学案:课堂实录:圆锥曲线中的最值问题


美国心理学家布鲁纳指出: “探索是数学教学的生命线” 。探索得来的知识最 难忘、最深刻,比教师直接给出的更有效,学生能体会到 “发现”的真正乐趣。 而探索并不神秘,又非不可高攀。教学中,可以从最基本的问题开始,这也许就 是数学探索课的可行之路。 下面是笔者粉笔生涯中的一堂数学探索课。 问题 1 如图 1,如何在直线 L 上求一点 P,使 PA ? PB 最小。

/>A B P
A?
图1 L

A

B P
图2

L

问题 2 目如图 2,如何在直线 L 上求一点 P,使 PA ? PB 最大。 学生 1:对于问题 1,只要过 A 作关于 L 的对称点 A? ,再连结 BA? 交直 线 L 于 P 点,即所求。因为两点之间线段最短。 对于问题 2,只要连结 AB 并延长交直线 L 于 P 点,即所求。因为三角形任意 两边之差小于第三边。 教师: 看来在一条直线上找一点到两个定点的距离之和最小、 距离之差最大 对我们来说很容易,现在看下面的问题。
D Y P A

L

O

F

X

1

图3

问题 3 若 A(3, 2) ,F 为抛物线 y 2 ? 2x 的焦点,在抛物线上找一点 P,使

PA ? PF 最小及取得最小值时 P 点的坐标。
学生 2:过 A 点作抛物线 y 2 ? 2x 的准线 L 的垂线 AD 交抛物线于 P 点,此时

PA ? PF ? PA ? PD ,就是最小的。因为点到直线的所有线中,只有点到直线
的距离最短。 教师:与问题 1 比较,你发现了什么? 学生 3: (3 分钟后)我认为问题 3 与问题 1 的本质是一样的,都是在线(直 线和曲线)找一点到两个定点的距离之和最小。并且解决的方法也一样,问题 3 中的 D 点就“好比”是 F 点关于抛物线(曲线)的“对称”点。如果我们把问题 1 中的直线想象成是拉直的曲线,那问题 1 不就是问题 3 的特殊情况吗?问题 3 不就是问题 1 的推广吗?(全班给予热烈的掌声)
1 变式问题:已知 A(3,2) ,F(2,0) ,在双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上求一点 P,使 3 1 其 PA ? PF 的值最小。 2

学生 4:与问题 3 的解题思路完全一样,只不过,此处要利用双曲线的定义 来作“对称” 。 (后略)
1 问题 4:已知双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 , F1 是左焦点,A(-3,-1) ,在双曲线上求 4

一点 P 使 PA ? PF1 的值最小。

Y
F1 F2

O A P

X
图4

(2 分钟后)学生 5:此题应作出双曲线的右焦点 F2 ,连结 AF2 交双曲线于 P
2

点,即为所求。因为由双曲线定义知, PF2 ? PF1 ? 2 ? 2 ,即 PF1 ? PF2 ? 4 ,

PA ? PF1 ? PA ? PF2 ? 4 ? AF2 ? 4 ,此题是利用双曲线定义作的 F1 关于双曲线
的“对称点” F2 ,转化成问题 1 的形式来求解的。 教师:你分析得很好!请大家课后去解答完。下面谁来谈谈解决这类问题的 收获? 学生 6:老师,我觉得还有一点没有考虑到,对于问题 1,如果 A、B 两点在 直线 L 的两侧,就用不着作对称,而直接连接 AB 交直线 L 于 P 就行了。同样对 于问题 3 中的 A、F 和问题 4 中的 A、 F1 也是一样的,如果它们在曲线的同侧, 就用不着那么做了。 学生 7: (连忙站起来)看来我们首先应判断这两点是否在曲线的两侧,而其 中有一个点必是焦点,也就是说要判断另外那个点是否在曲线内就行了。 教师:刚才两位同学都说得很好,对我们讨论的问题进行了补充,希望同学 们也要有这种严谨的学习态度。谁再来谈收获。 学生 8:我认为在曲线(包括直线)上找一点到两个定点(这两个定点在曲 线的同侧)的距离之和最大的问题,一般说来可以作出其中一点关于曲线的“对 称点” ,对于曲线来说,是广义上的对称,是利用曲线的定义(第一和第二定义) 来作对称的。 教师:非常好!我已无话可说了。请大家给予热烈的掌声。
x2 y 2 ? 1 上找一点 P,使它到 F2 (4,0)和A(2,2)的距离之和 问题 5:在椭圆 ? 25 9
Y

最大。

A

F1

O

F2

X

P
3

图5

(5 分钟后)学生 9:此题应属于问题 2 的类型,因为是求曲线上一点到两 个定点的距离之和最大,故应连结 AF1 交椭圆于点 P,即为所求。这样就把和最 大的问题转化为差最大的问题了。即 PA ? PF2 ? PA ? 2a ? PF1 而只有当 P 、A、

F1 三点在同一直线上时, PA ? PF1 才最大。
教师:好!把未知的问题转化为我们熟知的问题来解决,这是我们解决数学 问题常用的思想方法。 哪位同学来把把这类问题小结一下?(下面有很多同学都 跃跃欲试,我抽了一位平时数学成绩一般的学生) 学生 10:我认为在曲线(包括直线)上找一点到两个定点(这两点在曲线的 同侧)的距离之差最大的问题,就是连结这两点并延长和曲线的交点,如果不是 差最大,而是和最大,就应转化为差最大来解,其转化就要用到圆锥曲线的相关 定义。 教师:同学 10 的小结很好,看来只要抓住了“本质” ,就能以不变应万变! 这节课的收获不小,为我们的成功而鼓掌! (全班掌声一片)

4

5


相关文章:
2015年高三第一轮复习圆锥曲线中的定值与最值问题
2015年高三第一轮复习圆锥曲线中的定值与最值问题_数学_高中教育_教育专区。圆锥...圆锥曲线中的定值与最值问题 一.圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 是高考...
2015年高考数学复习学案:解几最值学案
2015年高考数学复习学案:解几最值学案_高中教育_教育专区。一、学习要求: 1.掌握直线、圆、圆锥曲线的几何性质; 2.运用数形结合思想、函数思想等解决解析几何中的...
圆锥曲线最值问题常见类型及解法的教学设计
圆锥曲线最值问题常见类型及解法的教学设计_数学_...过程依次为认识圆锥曲线最值问题在高考中的地位 —...3.1.4 重、难点分析 重点是求圆锥曲线的最值问题...
2015高考数学专题复习教案:直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)
2015高考数学专题复习教案:直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)_高三数学_数学_高中...弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题 等 突出考查了数形结合、分类讨论、...
圆锥曲线解题研究——最值问题(学案)
圆锥曲线解题研究——最值问题(学案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线解题研究——最值问题 圆锥曲线解题研究——最值问题例 1、已知抛物线 y 2 ? ...
考前归纳总结:圆锥曲线中的最值问题
圆锥曲线中的最值问题一、常见基本题型: (1)利用基本不等式求最值, 例 1、已知椭圆两焦点 F1 、 F 2 在 y 轴上,短轴长为 2 2 ,离心率为 ??? ???...
2015最新高考数学解题技巧解题方法专题09 巧求圆锥曲线中的最值和范围问题
2015最新高考数学解题技巧解题方法专题09 巧求圆锥曲线中的最值和范围问题_高考_高中教育_教育专区。专题 09 巧求圆锥曲线中的最值和范围问题 【高考地位】 最值...
圆锥曲线中的最值问题(学生版)
圆锥曲线中的最值问题(学生版)_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线中的最值问题问题1. 求点 A(0,4) 到椭圆 x2 ? y 2 ? 1 上点 Q 的最大距离 9 2、...
高考数学二轮专题复习教案——圆锥曲线中的最值和范围问题
如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 高考数学二轮专题复习教案——圆锥曲线中的最值和范围问题 圆锥曲线中的...
更多相关标签: