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对数知识点和经典例题


2.7.1 对数的概念优秀教案
教学目的: 1.理解对数的概念,能够进行对数式与指数式的互化; 2.渗透应用意识,培养归纳思维能力和逻辑推理能力,提高数学发现能力
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教学重点:对数的概念 教学难点:对数概念的理解. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪

教材分析

:对数产生于 17 世纪初叶,为了适应航海事业的发展,需要确定航
程和船舶的位置,为了适应天文事业的发展,需要处理观测行星运动的数据, 就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数 恩格斯曾把对数的发 明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为 17 世纪数学的三大成就,给予 很高的评价 今天随着计算器的普及和电子计算机的广泛使用以及航天航海技 术的不断进步,利用对数进行大数的计算功能的历史使命已基本完成,已被新 的运算工具所取代,因此中学对于传统的对数内容进行了大量的删减 但对数函 数应用还是广泛的,后续的教学内容也经常用到 本节讲对数的定义和运算性质的目的主要是为了学习对数函数 对数 概 念 与 指 数 概 念有 关 ,是 在 指 数 概 念 的基 础 上定 义 的 , 在 一 般对 数 定义 logaN(a>0,a≠1)之后,给出两个特殊的对数:一个是当底数 a=10 时,称为常 用对数,简记作 lgN=b ;另一个是底数 a=e(一个无理数)时,称为自然对数, 简记作 lnN =b 这样既为学生以后学习或读有关的科技书给出了初步知识,也使 教材大大简化,只保留到学习对数函数知识够用即可 教学过程: 一、复习引入: 1 庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭 (1)取 4 次,还有多长?(2) 取多少次,还有 0.125 尺? 2 假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果每年平均增长 8%,那么经 过多少年国民生产总值是 2002 年的 2 倍?
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抽象出:1. ? ? =?, ? ? =0.125 ? x=?
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?1? ?2?

4

?1? ?2?

x

2. ?1 ? 8%? =2 ? x=?
x

也是已知底数和幂的值,求指数 你能看得出来吗?怎样求呢? 二、新授内容: 定义:一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1? 的 b 次幂等于 N, 就是 a ? N ,那
b

第 1 页(共 16 页)

么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对数,记作 loga N ? b ,a 叫做对数的底数,N 叫 做真数
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例如: 4 ? 16 ? log4 16 ? 2
2

;

102 ? 100 ? log10 100 ? 2
10?2 ? 0.01 ? log10 0.01 ? ?2

4 ? 2 ? log 4 2 ?

1 2

1 2

;

探究:⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 ) ⑵ loga 1 ? 0 , loga a ? 1 ∵对任意 a ? 0 且 a ? 1 , 同样易知: ⑶对数恒等式 如果把 a ? N 中的 b 写成 log a N , 则有 a
b loga N

都有 a ? 1
0

∴ loga 1 ? 0

loga a ? 1

?N

⑷常用对数: 我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数 为了简便,N 的常
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用对数 log10 N 简记作 lgN

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例如: log10 5 简记作 lg5 ; log10 3.5 简记作 lg3.5. ⑸自然对数:在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828??为底的对数, 以 e 为底的对数叫自然对数, 为了简便, N 的自然对数 loge N 简记作 lnN 例如: loge 3 简记作 ln3 ; loge 10 简记作 ln10 (6)底数的取值范围 (0,1) ? (1,??) ;真数的取值范围 (0,??) 三、讲解范例:咯 log 例 1 将下列指数式写成对数式: (课本第 87 页) (1) 5 =625
4
?6
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(2) 2 =

1 64

(3) 3 =27

a

(4)( ) =5.73

1 3

m

第 2 页(共 16 页)

解: (1) log5 625=4; (3) log3 27=a;

1 =-6; 64 (4) log1 5.73 ? m
(2) log2
3

例 2 将下列对数式写成指数式: (1) log 1 16 ? ?4 ;
2

(2) log2 128=7; (4)ln10=2.303 (2) 2 =128; (4) e
2.303
7

(3)lg0.01=-2; 解: (1) ( )

1 2

?4

? 16

(3) 10 =0.01;

?2

=10

例 3 计算: ⑴ log9 27 ,⑵ log4 3 81,⑶ log ?2? 3 ? 2 ? 3 ,⑷ log 3 4 625 5 解法一:⑴设 x ? log9 27 ⑵设 x ? log4 3
4

?

?

则 9 ? 27,
x
x

32 x ? 33 , ∴ x ?
4

3 2

⑶令 x ? log ?2? ∴ 2? 3

81 则 ? 3 ? ? 81 , 3 ? 3 , ∴ x ? 16 ? ?2 ? 3 ?= log? ? ?2 ? 3 ? ,
x 4

?1

3

2? 3

?

? ? ?2 ? 3 ?
x

?1

, ∴ x ? ?1

⑷令 x ? log3 解法二:

54

625, ∴ 5
3

? ? ? 625 ,
3 4 x

5

4 x 3

? 54 , ∴ x ? 3

⑴ log9 27 ? log9 3 ? log9 9 2 ?
3

3 ; 2

⑵ log 4 3 81 ? log 4 3 ( 4 3 )16 ? 16 ⑶ log ?2? 3 ? 2 ? 3 = log?2? 3 ? 2 ? 3 ⑷ log3
54

?

?

?

?

?1

? ?1

625 ? log3 4 (3 54 ) 3 ? 3
5

四、练习: 1.把下列指数式写成对数式 (1) 2 =8
3

? 1 1 (2) 2 =32 (3) 2 = (4) 27 3 ? 2 3
5 ?1

1

第 3 页(共 16 页)

解:(1) log2 8=3 (3) log2

(2) log2 32=5 (4) log27

1 =-1 2

1 1 =- 3 3

2.把下列对数式写成指数式 (1) log3 9=2 (3) log2
2

(2) log5 125=3 (4) log3 (2) 5 =125 (4) 3 =
?4
3

1 =-2 4

1 =-4 81

解:(1) 3 =9 (3) 2 =
?2

1 4

1 81
1 16

3.求下列各式的值 (1) log5 25 (3) lg 100 (5) lg 10000 (2) log2

(4) lg 0.01 (6) lg 0.0001
2

解:(1) log5 25= log5 5 =2 (3) lg 100=2 (5) lg 10000=4 4.求下列各式的值 (1) log15 15 (4) log 2.5 625

(2) log2

1 =-4 16

(4) lg 0.01=-2 (6) lg 0.0001=-4

(2) log0.4 1 (5) log7 343

(3) log9 81 (6) log3 243 (3) log9 81=2 (6) log3 243=5 ⑶求对数式的值

解:(1) log15 15=1 (4) log 2.5 625=2

(2) log0.4 1=0 (5) log7 343=3

五、小结 本节课学习了以下内容: ⑴对数的定义, ⑵指数式与对数式互换 六、课后作业:

第 4 页(共 16 页)

1.把下列各题的指数式写成对数式 (1) 4 =16
x
2

(2) 3 =1
x

0

(3) 4 =2
x

x

(4) 2 =0.5
x

x

(5) 3 =81

(6) 10 =25

(7) 5 =6 (8) 4 = (3)x= log4 2 (7)x= log5 6

1 6

解:(1)2= log4 16 (2)0= log3 1 (5)x= log3 81 (6)x= lg 25

(4)x= log2 0.5 (8)x= log4

1 6

2.把下列各题的对数式写成指数式 (1)x= log5 27 (4)x= log7
x

(2)x= log8 7 (5)x= lg 5 (2) 8 =7 (5) 10 =5
x
x

(3)x= log4 3 (6)x= lg 0.3 (3) 4 =3 (6) 10 =0.3
x
x

1 3

解:(1) 5 =27 (4) 7 =
x

1 3

七、板书设计(略) 八、课后记: 课 题:2.7.2

对数的运算性质

教学目的: 1.掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程; 2.能较熟练地运用法则解决问题; 教学重点:对数运算性质 教学难点:对数运算性质的证明方法. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:
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1.对数的定义

loga N ? b 其中 a ? (0,1) ? (1,??) 与 N? (0,??)
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2.指数式与对数式的互化

第 5 页(共 16 页)

3.重要公式: ⑴负数与零没有对数; ⑵ loga 1 ? 0 , loga a ? 1 ⑶对数恒等式 a
loga N
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?N

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a m ? a n ? a m ? n (m, n ? R )
3.指数运算法则 (a ) ? a
m n n mn

(m, n ? R)
n

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(ab) ? a ? b (n ? R)
n

二、新授内容: 积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N loga M n ? nloga M(n ? R) (3)
证明:①设 loga M=p, loga N=q
p
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由对数的定义可以得:M= a ,N= a ∴MN= a a = a
p q p?q

q
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∴ loga MN=p+q,
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即证得 loga MN= loga M + loga N ②设 loga M=p, loga N=q
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由对数的定义可以得 M= a ,N= a

p

q
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M ap ? q ? a p?q ∴ N a
即证得 log a

∴ log a

M ? p?q N
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M ? log a M ? log a N N

③设 loga M=P 由对数定义可以得 M= a , ∴M =a
n

p

np

∴ loga M =np, 即证得 loga M =n loga M

n

n

第 6 页(共 16 页)

说明:上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式, 并利用幂的运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成 对数式 ①简易语言表达: “积的对数 = 对数的和”??
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②有时逆向运用公式:如 log10 5 ? log10 2 ? log10 10 ? 1 ③真数的取值范围必须是 (0,??) :

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log2 (?3)(?5) ? log2 (?3) ? log2 (?5) 是不成立的

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log10 (?10) 2 ? 2 log10 (?10) 是不成立的
④对公式容易错误记忆,要特别注意:

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loga (MN ) ? loga M ? loga N
三、讲授范例: 例 1 计算

, loga (M ? N ) ? loga M ? loga N

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(1)log5 25, (2)log0.4 1, (3)log2 ( 4 × 2 ) , (4)lg 5 100 解: (1) log5 25= log5 5 =2 (2) log0.4 1=0
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7

5

2

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(3) log2 ( 4 ×25)= log2 4 + log2 2 = log2 2 (4)lg 5 100 =
2?7

7

7

5

+ log2 2

5

= 2×7+5=19

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1 2 2 log10 2 ? lg10 ? 5 5 5

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例 2 用 loga x , loga y , loga z 表示下列各式:

(1)loga

xy ; z

(2) loga

x2 y
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3

z

解: (1) log a (2) loga

xy = loga (xy)- loga z= loga x+ loga y- loga z z

x2 y
3

z

= loga ( x

2

y ) ? loga 3 z
第 7 页(共 16 页)

= loga x + loga 例 3 计算: (1)lg14-2lg

2

1 1 y ? loga 3 z =2 loga x+ log a y ? log a z 2 3

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7 +lg7-lg18 3

(2)

lg 243 lg 9

(3)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg1.2

说明:此例题可讲练结合. (1)解法一:lg14-2lg

7 +lg7-lg18 3
2

=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg( 3 ×2) =lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0 解法二: lg14-2lg
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7 7 2 +lg7-lg18=lg14-lg ( ) +lg7-lg18 3 3
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=lg

14 ? 7 ? lg 1 ? 0 7 2 ( ) ? 18 3

评述:此题体现了对数运算性质的灵活运用,运算性质的逆用常被学生所 忽视.

(2)

lg 243 lg 35 5 lg 3 5 ? ? ? lg 9 lg 32 2 lg 3 2

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1

1

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg(33 ) 2 ? lg 2 3 ? 3 lg(10) 2 (3) ? lg1.2 3 ? 22 lg 10
3 (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1) 3 2 ? ? lg 3 ? 2 lg 2 ? 1 2

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评述:此例题体现对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧,如(3) 题各部分变形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用 对数运算性质. 四、课堂练习: 1.求下列各式的值: (1) log2 6- log2 3
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(2)lg5+lg2
第 8 页(共 16 页)

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(3) log5 3+ log5

1 3

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(4) log3 5- log3 15

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解: (1) log2 6- log2 3= log2

6 ? log2 2=1 3
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(2)lg5+lg2=lg(5×2)=lg10=1 (3) log5 3+ log5

1 1 = log5 (3× )= log5 1=0 3 3 1 5 (4) log3 5- log3 15= log3 = log3 =- log3 3=-1. 3 15
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2. 用 lgx,lgy,lgz表示下列各式: (1) lg(xyz) ; (2)lg

xy 2 xy 3 x ; (3) lg ; (4) lg 2 z y z z

解:(1) lg(xyz)=lgx+lgy+lgz; (2) lg

xy 2 =lgx y 2 -lgz=lgx+lg y 2 -lgz z
=lgx+2lgy-lgz;

(3) lg

xy 3 z

=lgx y -lg

3

z =lgx+lg y 3 -
1 lgz; 2

1 lgz 2

=lgx+3lgy-

(4) lg

1 x ? lg x ? lg y 2 z ? lg x ? (lg y 2 ? lg z ) 2 y z
2

?
五、小结 1.计算:

1 lg x ? 2 lg y ? lg z 2
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本节课学习了以下内容:对数的运算法则,公式的逆向使用

六、课后作业:

(1) loga 2+ loga (3) lg

1 (a>0,a≠1) (2) log3 18- log3 2 2
(4)2 log5 10+ log5 0.25 (6) log2 ( log2 16)

1 -lg25 4

(5)2 log5 25+3 log2 64

第 9 页(共 16 页)

解:(1) loga 2+ loga

1 1 = loga (2× )= loga 1=0 2 2 18 (2) log3 18- log3 2= log3 = log3 9=2 2 1 1 1 ?2 (3)lg -lg25=lg( ÷25)=lg =lg 10 =-2 4 4 100
(4)2 log5 10+ log5 0.25= log5 10 + log5 0.25 = log5 (100×0.25)= log5 25=2
2 (5)2 log5 25+3 log2 64=2 log5 5 +3 log2 2
6

2

=2×2+3×6=22 (6) log2 ( log2 16)= log2 ( log2 2 )= log2 4= log2 2 =2 2.已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771,求下列各对数的值(精确到小数点 后第四位) (1) lg6 (2)lg4 (3)lg12 (4)lg
4 2

3 2

(5)lg

3

(6)lg32

解: (1)lg6=lg2+lg3=0.3010+0.4771=0.7781 (2) lg4=2lg2=2×0.3010=0.6020 (3) lg12=lg(3×4)=lg3+2lg2=0.4771+0.3010×2=1.0791

3 =lg3-lg2=0.4771-0.3010=0.1761 2 1 1 (5) lg 3 = lg3= ×0.4771=0.2386 2 2
(4) lg (6) lg32=5lg2=5×0.3010=1.5050 3. 3.用 loga x, loga y, loga z, loga (x+y) ,o g l 示下列各式: (1) loga
a

(x-y)表

x ; 2 y z
1 2 ? 2 3

3

(2) loga ( x 4

z3 ) ; y2

(3) loga ( xy z

) ;

(4) loga

xy ; x ? y2
2

第 10 页(共 16 页)

(5) loga (

x? y ; ?y) x? y

(6) loga [

y 3 ] . x( x ? y )

解:(1) loga =

x = loga y z
2

3

3

x - loga y 2 z

1 loga x-(2 loga y+ loga z) 3 1 = loga x-2 loga y- loga z; 3
(2) loga (x· 4 = loga x+

z3 )= loga x+ loga y2

4

z3 y2

1 3 2 ( loga z - loga y ) 4 2 3 = loga x- loga y+ loga z 4 4 3 = loga x- loga y+ loga z; 4
1

(3) loga (x y 2 z = loga x+ (4) loga

?

2 3

1

)= loga x+ loga y 2 + loga z

?

2 3

1 2 loga y- loga z; 2 3

xy 2 2 = loga xy- loga ( x - y ) 2 x ?y
2

= loga x+ loga y- loga (x+y) (x-y) = loga x+ loga y- loga (x+y)- loga (x-y) ; (5) loga (

x? y x? y ·y)= loga + loga y x? y x? y

= loga (x+y)- loga (x-y)+ loga y; (6) loga [

y 3 ] x( x ? y )

第 11 页(共 16 页)

=3[ loga y- loga x- loga (x-y) ] =3 loga y-3 loga x-3 loga (x-y) 七、板书设计(略) 八、课后记: 课 题:2.7.3

对数的换底公式及其推论
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教学目的: 1.掌握对数的换底公式,并能解决有关的化简、求值、证明问题 2.培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力; 教学重点:换底公式及推论 教学难点:换底公式的证明和灵活应用. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:对数的运算法则 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:
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loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N loga M n ? nloga M(n ? R) (3)
二、新授内容: 1.对数换底公式:

loga N ?

logm N logm a

( a > 0 ,a ? 1 ,m > 0 ,m ? 1,N>0)

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证明:设 loga N = x , 则 a

x

= N
x

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两边取以 m 为底的对数: logm a ? logm N ? x logm a ? logm N 从而得: x ?

logm N logm a

∴ loga N ?

logm N logm a

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2.两个常用的推论: ① loga b ? logb a ? 1 ,

loga b ? logb c ? logc a ? 1

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第 12 页(共 16 页)

② log a m b ?
n

n log a b ( a, b > 0 且均不为 1) m

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证:① loga b ? logb a ?

lg b lg a ? ?1 lg a lg b

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lg b n n lg b n ② loga m b ? ? ? loga b m m lg a m lg a
n

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三、讲解范例: 例 1 已知 log2 3 = a, log3 7 = b, 解:因为 log2 3 = a,则 ∴ log 42 56 ? 例 2 计算:① 5 用 a, b 表示 log42 56 , 又∵ log3 7 = b,

1 ? log 3 2 a

log3 56 log3 7 ? 3 ? log3 2 ab ? 3 ? ? log3 42 log3 7 ? log3 2 ? 1 ab ? b ? 1
② log 4 3 ? log 9 2 ? log 1
2 4

1?log0.2 3

32

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解:①原式 =

5 5
log0.2 3

? 5

5
1 log5 3

?

5 ? 15 1 3

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②原式 =

1 1 5 1 5 3 log 2 3 ? log 3 2 ? log 2 2 ? ? ? 2 2 4 4 4 2
x y z

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例 3 设 x, y, z ? (0,??) 且 3 ? 4 ? 6 1? 求证

1 1 1 ? ? x 2y z
x y z

; 2?

比较 3 x,4 y,6 z 的大小

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奎屯

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证明 1?:设 3 ? 4 ? 6 ? k 取对数得: x ?

∵ x, y, z ? (0,??)

∴k ?1

lg k lg k lg k , y? , z? lg 3 lg 4 lg 6



1 1 lg 3 lg 4 2 lg 3 ? lg 4 2 lg 3 ? 2 lg 2 lg 6 1 ? ? ? ? ? ? ? x 2 y lg k 2 lg k 2 lg k 2 lg k lg k z

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64 lg 64 ? lg 81 3 4 81 ? 0 lg k ? 2? 3x ? 4 y ? ( ? ) lg k ? lg 3 lg 4 lg 3 lg 4 lg 3 lg 4 lg k lg
∴ 3x ? 4 y

9 lg k ? lg lg 36 ? lg 64 4 6 16 ? 0 lg k ? 又: 4 y ? 6 z ? ( ? ) lg k ? lg 2 lg 6 lg 2 lg 6 lg 4 lg 6
∴ 4 y ? 6z ∴ 3x ? 4 y ? 6 z

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例 4 已知 loga x= loga c+b,求 x

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分析:由于 x 作为真数,故可直接利用对数定义求解;另外,由于等式右端为 两实数和的形式,b 的存在使变形产生困难,故可考虑将 loga c 移到等式左端, 或者将 b 变为对数形式 解法一: 由对数定义可知: x 解法二: 由已知移项可得 loga x ? loga c ? b 由对数定义知: 解法三: ,即 log a
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? a loga c ?b ? a log c ? a b ? c ? a b
a

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x ?b c

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x ? ab c

? x ? c ? ab

? b ? loga a b
四、课堂练习:

b b ?l o g a x ?lo g a c?lo g a a ?lo g a c?a

? x ? c ? ab

①已知 log18 9 = a , 18

b

= 5 , 用 a, b 表示 log36 45

解:∵ log18 9 = a ∴ log 18 ∵ 18
b

18 ? 1 ? log 18 2 ? a 2

∴ log18 2 = 1?a

= 5 ∴ log18 5 = b

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log36 45 ?

log18 45 log18 9 ? log18 5 a ? b ? ? log18 36 1 ? log18 2 2?a

②若 log8 3 = p , log3 5 = q , 求 lg 5 解:∵ log8 3 = p ∴ log23 3 =p

? log2 3 ? 3 p ? log3 2 ?

1 3p

又∵ log3 5 ? q

∴ lg 5 ?

log3 5 log3 5 3 pq ? ? 1 ? 3 pq log3 10 log3 2 ? log3 5

三、小结 本节课学习了以下内容:换底公式及其推论 四、课后作业: 1.证明:

loga x ? 1 ? loga b logab x

证法 1: 设 loga x ? p , logab x ? q , loga b ? r 则: x ? a
p
p

x ? (ab) q ? a q b q
q q (1? r )

b ? ar

∴ a ? (ab) ? a ∵ q?0 ∴

从而 p ? q(1 ? r ) 即:

p ? 1? r q

loga x ? 1 ? loga b (获证) logab x

证法 2: 由换底公式 左边=

loga x logx ab ? ? loga ab ? 1 ? loga b =右边 logab x logx a

2.已知 loga1 b1 ? loga2 b2 ? ?? ? logan bn ? ? 求证: loga1a2?an (b1b2 ?bn ) ? ? 证明:由换底公式

lg bn lg b1 lg b2 ? ? ?? ? ? ? 由等比定理得: lg a1 lg a2 lg an


lg b1 ? lg b2 ? ? ? lg bn ?? lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg an

lg(b1b2 ?bn ) ?? lg(a1a2 ?an )

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∴ loga1a2 ?an (b1b2 ?bn ) ? 五、板书设计(略) 六、课后记:

lg(b1b2 ?bn ) ?? lg(a1a2 ?an )

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