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上海市闵行区2016届高三上学期质量调研考试理科数学试题


学校_______________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ ??????????密○???????????????封○???????????????○线??????????

闵行区 2015 学年第一学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷(理科)
(满分 150 分,

时间 120 分钟) 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚. 2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、 试题卷上答题无效. 3.本试卷共有 23 道试题. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若复数 z 满足 i z ? 3 ? i ( i 为虚数单位) ,则 | z |? 2.若全集 U ? R ,函数 y ? x 的值域为集合 A ,则 ? U A ? 3.方程 4 ? 2 ? 6 ? 0 的解为
x x

.2 . (??,0)

1 2

. x ? log2 3 .?

4.函数 f ? x ? ? 5.不等式

cos(? ? x) sin x 的最小正周期 T = sin(? ? x) cos x

4 . (0,2) ? x 的解集为 x 6.若一圆锥的底面半径为 3 ,体积是 12? ,则该圆锥的侧面积等于 .??? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? 7. 已知 △ ABC 中,AB ? 4 i ? 3 j , AC ? ?3i ? 4 j , 其中 i、j 是基本单位向量, 则 △ ABC
的面积为 .

25 2

8.在 2017 年的上海高考改革方案中,要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、 地理 6 门学科中选择 3 门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多 选择一门,那么小明同学的选科方案有 9.若 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 10. 若函数 f ( x) ? 2
x ?a

种.10

S8 S 6 S ? ? 10 ,则 lim n ? n ?? n 2 8 6

.5

(a ? R) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) , 且 f ( x ) 在 [m, ??) 上单调递增,
.1

则实数 m 的最小值等于 11. 若点 P 、Q 均在椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1 (a ? 1) 上运动,F1、F2 是椭圆 ? 的左、右焦点, a2 a2 ?1 ???? ???? ? ??? ? 则 PF1 ? PF2 ? 2 PQ 的最大值为 . 2a

? ? ?x 0? 4 ?c o s2 x, 12 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? , 若 实 数 a、b、c 互 不 相 等 , 且 满 足 ?log 1 ( x ? 3) ? 1, x ? 4 ? 4 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 a ? b ? c 的取值范围是 23) . (8,
13.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,

其理论依据是:设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为

b?d 是 x 的 更 为 精 确 的 不 足 近 似 值 或 过 剩 近 似 值 . 我 们 知 道 ? ? 3.14159 ??? , 若 令 a?c 31 49 16 31 16 ??? , ??? , 则第一次用 “调日法” 后得 是 ? 的更为精确的过剩近似值, 即 10 15 5 10 5 22 若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得 ? 的近似分数为 . 7 1 n 14 . 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 对 任 意 n ? N* , S n ? ( ?1) an ? n ? n ? 3 且 2 ? 3 11 ? (an?1 ? p)(an ? p) ? 0 恒成立,则实数 p 的取值范围是 .?? , ? ? 4 4?
二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则“ a ? b ”是“ (A) 充要条件 (C) 必要不充分条件

b d 和 ( a, b, c, d ? N* ),则 c a

b a ? ? 2 等号成立”的( A a b
(B) 充分不必要条件 (D) 既非充分又非必要条件

).

16.设 f ( x) ? 2 ? 5x ? 10 x2 ? 10 x3 ? 5x4 ? x5 ,则其反函数的解析式为( C (A) y ? 1 ? 5 x ?1 (C) y ? ?1 ? 5 x ?1 (B) y ? 1 ? 5 x ?1 (D) y ? ?1 ? 5 x ?1

).

17. △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,满足 围是( B (A) ? 0, ). (B) ? 0,

a ?b?c c ? ,则角 A 的范 b a?b?c

? ?

?? ? ??

? ?

?? ? ??

(C) ? , ? ? ?? ?

??

?

(D) ? , ? ? ?? ?

??

?

18.函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? ,图像如图 1 所示;函数 g ( x ) 的定义域为 ? ?1, 2? ,图像如 图 2 所示. A ? x f ( g ( x)) ? 0 , B ? x g ( f ( x)) ? 0 ,则 A ? B 中元素的个数为( C ). (A) 1 y 1 (B) 2 (C) 3 y 1 1 x -1 O 1 2 x (D) 4

?

?

?

?

-1

O

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 -1 规定区域内写出必要的步骤. 图2 19.(本题满分 12 分) 图 1 C1 如图, 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧棱 AA1 ? 底面 ABC , A1 B1

AA1 ? AB ? 2 , BC ? 1 , ?BAC ?

? , D 为棱 AA1 中点, ?

D C A B

证明异面直线 B1C1 与 CD 所成角为

? ,并求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积. ?

[证明]? 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC , BC // B1C1 ,??BCD 或它 的补角即为异面直线 B1C1 与 CD 所成角,??????????2 分 由 AB ? 2 , BC ? 1 , ?BAC ?

? ? 以 及 正 弦 定 理 得 sin ?ACB ? ? , ??ACB ? 即 ? ?

BC ? AC ,????4 分
又? BC ? AA1 ,? BC ? 面ACC1 A 1 ,????6 分

? BC ? CD ??????8 分

? .???????? 10 分 2 1 三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为 V ? S△ ABC ? AA1 ? ? 3 ?1 ? 2 ? 3 . ????12 分 2
所以异面直线 B1C1 与 CD 所成角的为 20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 8 分,第(2)小题满分 6 分. 如图,点 A 、 B 分别是角 ? 、 ? 的终边与单位圆的交点, 0 ? ? ? (1)若 ? =

? ? ? ? ?. 2
y B O x

2 3 ? , cos ?? ? ? ? ? ,求 sin 2? 的值; 3 4

(2)证明: cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? .

A

2 [解](1)方法一:? cos ?? ? ? ? ? , 3

?cos(2? ? 2? ) ? 2 cos2 (? ? ? ) ?1 = ?
3? 1 3 ? 2? ) ? ? , ? ? = ? ,即 cos( 4 2 9 1 ? sin 2 ? ? . 9
方法二:? cos ?? ? ? ? ?

1 ?3 分 9
????????????6 分 ????????????8 分

2 3 2 2 2 , ? = ? ,即 ? cos ? ? sin ? ? , ????3 分 4 3 2 2 3
???????????6 分

? sin ? ? cos ? ?
1 ? sin 2 ? ? . 9

8 2 2 ,两边平方得, 1 ? sin 2 ? ? 9 3

?????????????8 分

(2)[证明]由题意得, OA ? (cos? , sin ? ) , OB ? (cos? , sin ? )

?OA? OB = cos? cos ? ? sin ? sin ?
又因为 OA 与 OB 夹角为 ? ? ? , OA ? OB ? 1

??????10 分

?OA? OB = OA ? OB cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )

?????????12 分

综上 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 成立. ???????????14 分 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路 l1 、l2 ,海岸边界 MPN 近似地看成一 条曲线段.为开发旅游资源, 需修建一条连接两条公路的直线型观光大道 AB , 且直线 AB 与 曲线 MPN 有且仅有一个公共点 P (即直线与曲线相切) ,如图所示.若曲线段 MPN 是函 数y?

a 图像的一段, 点 M 到 l1 、l2 的距离分别为 8 千米和 1 千米, 点 N 到 l2 的距离为 10 千 x

米,以 l1 、 l2 分别为 x、 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系 xOy ,设点 P 的横坐标为 p . (1)求曲线段 MPN 的函数关系式,并指出其定义域; (2)若某人从点 O 沿公路至点 P 观景,要使得沿折线 y A M

OAP 比沿折线 OBP 的路程更近,求 p 的取值范围.
[解] (1) 由题意得 M (1,8) , 则a ? 8, 故曲线段 MPN 的

l2

大海 P N x

8 O B l1 ,4 分 x 4 又得 N (10, ) ,所以定义域为 ?1,10? . ???????????6 分 5 8 ? y ? ? k ( x ? p) ? 8 8 p ? (2) P ( p, ) ,设 AB : y ? ? k ( x ? p ) 由 ? 得 p p ?y ? 8 ? x ?
函数关系式为 y ?

kpx2 ? (8 ? kp2 ) x ? 8 p ? 0 , ? ? (8 ? kp2 )2 ? 32kp2 ? (kp2 ? 8)2 ? 0 , ????8 分
? kp 2 ? 8 ? 0,? k ? ?
得 A(0,

8 8 8 ,得直线 AB 方程为 y ? ? ? 2 ( x ? p) , 2 p p p

???10 分

16 )、B(2 p, 0) ,故点 P 为 AB 线段的中点, p

由2p ?

16 p2 ? 8 ? 2? ? 0 即 p2 ? 8 ? 0 p p

??????????12 分

得 p ? 2 2 时, OA ? OB ,所以,当 2 2 ? p ? 10 时,经点 A 至 P 路程最近. 14 分

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2) (3)小题满分各 6 分.
2 已知椭圆 ? 的中心在坐标原点,且经过点 (1, ) ,它的一个焦点与抛物线 ? : y ? 4 x 的

3 2

焦点重合.

(1)求椭圆 ? 的方程;

△ PAB (2) 斜率为 k 的直线 l 过点 F ?1, 0? , 且与抛物线 ? 交于 A、B 两点, 设点 P(?1, k ) ,
的面积为 4 3 ,求 k 的值; (3)若直线 l 过点 M ? 0, m? ( m ? 0 ) ,且与椭圆 ? 交于 C、D 两点,点 C 关于 y 轴的对 称点为 Q ,直线 QD 的纵截距为 n ,证明: mn 为定值.

9 ?1 x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 [解](1)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,由题设得 ? a ,?2 分 4b a b 2 2 ?a ? b ? 1 ?
?a 2 ? 4 x2 y 2 ?? 2 ? ?1 ,? 椭圆 ? 的方程是 4 3 ?b ? 3
(2)设直线 l : y ? k ( x ? 1) ,由 ? ??????????4 分

? y ? k ( x ? 1), 得 k 2 x2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 2 ? y ? 4 x,

l 与抛物线 ? 有两个交点, k ? 0 , ? ? 16(k 2 ? 1) ? 0 ,
则 AB ?

4(k 4 ? 4k 2 ? 4) ? 4k 4 4(k 2 ? 1) 2 ? 1 ? k ? k2 k2 3k k 2 ?1
,又 S△PAB ? 4 3 ,? ?

??????????6 分

P(?1, k ) 到 l 的距离 d ?

1 4(k 2 ? 1) 3 k ? ?4 3 2 k2 k 2 ?1
?????????10 分

4k 2 ? 3k 2 ? 3 ,故 k ? ? 3 .

(3)? C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,点 C 关于 y 轴的对称点为 Q(? x1 , y1 ) , 则直线 CD : y ? y1 ? 直线 QD : y ? y1 ?

y2 ? y1 x (y ? y ) x y ? x y ( x ? x1 ) ,设 x ? 0 得 m ? y1 ? 1 2 1 ? 2 1 1 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

y2 ? y1 x (y ? y ) x y ? x y ( x ? x1 ) ,设 x ? 0 得 n ? y1 ? 1 2 1 ? 2 1 1 2 14 分 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

? mn ?

2 2 2 2 2 3 3 x12 y12 x2 y2 x2 y1 ? x12 y2 2 2 ? (4 ? x2 ) ? ? 1 ? ? 1 ? y12 ? (4 ? x12 ) , y2 ,又 , 2 2 4 4 4 3 4 3 x2 ? x1

x2 y 2 ? x2 y 2 ? mn ? 2 12 12 2 ? x2 ? x1

3 2 3 2 x2 ? (4 ? x12 ) ? x12 ? (4 ? x2 ) 4 4 ? 3 .?????????16 分 2 x2 ? x12

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 的各项均为整数,其前 n 项和为 Sn .规定:若数列 ?an ? 满足前 r 项依次 成公差为 1 的等差数列,从第 r ? 1 项起往后依次成公比为 2 的等比数列,则称数列 ?an ? 为

“ r 关联数列”. (1)若数列 ?an ? 为“ 6 关联数列”,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)在(1)的条件下,求出 Sn ,并证明:对任意 n ? N , an Sn ? a6 S6 ;
*

(3)已知数列 ?an ? 为“ r 关联数列”,且 a1 ? ?10 ,是否存在正整数 k , m(m ? k ) ,使得

a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 ? ak ? a1 ? a2 ? ? ? am?1 ? am ? 若存在,求出所有的 k , m 值;若不存在,
请说明理由. [解](1)? ?an ? 为“6 关联数列”,? ?an ? 前 6 项为等差数列,从第 5 项起为等比数列

?a6 ? a1 ? 5, a5 ? a1 ? 4, 且

a6 ?2, a5



a1 ? 5 ? 2 ,解得 a1 ? ?3 ????2 分 a1 ? 4

?n ? 4, n ? 5 ?n ? 4, n ? 6 ?n ? 4, n ? 4 (或 an ? ? n ?5 ) . ????????4 分 ? an ? ? n?5 ? ? n ?5 ? 2 ,n ? 5 ? 2 ,n ? 6 ? 2 ,n ? 7
?1 2 7 ?1 2 7 ?1 2 7 ? n ? n, n ? 4 ? n ? n, n ? 5 ? n ? n, n ? 6 (2)由(1)得 Sn ? ? 2 (或 Sn ? ? 2 ) ? ?2 2 2 2 n ? 4 n ? 4 n ? 4 ? ? 2 ? 7, n ? 6 ? ? 2 ? 7, n ? 7 ? 2 ? 7, n ? 5 ?
?????????????6 分

?an? : ?3, ?2, ?1,0,1,2,22 ,23,24 ,25 ,?, ?Sn? : ?3, ?5, ?6, ?6, ?5, ?3,1,9,25,? ?an Sn ? : 9,10,6,0, ?5, ?6,4,72,400,?,可见数列 ?an Sn ? 的最小项为 a6 S6 ? ?6 ,
?1 ? n(n ? 4)(n ? 7), n ? 5 证明: an Sn ? ? 2 , n ? 5 n ? 4 ? ? 2 (2 ? 7), n ? 6
列举法知当 n ? 5 时, (an Sn )min ? a5 S5 ? ?5 ; ???????????????8 分 当 n ? 6 时 , an Sn ? 2 ? (2n?5 )2 ? 7 ? 2n?5 (n ? 6) , 设 2
n ?5
m ? ,2 ? , ?, ? t , 则 t ? ?2, 22 ,

7 49 an Sn ? 2t 2 ? 7t ? 2(t ? ) 2 ? ? 2 ? 22 ? 7 ? 2 ? ?6 . 4 8
(3)? {an } 为“ r 关联数列”,且 a1 ? ?10, d ? 1, q ? 2

????????10 分

?ar ?1 ? a1 ? (r ? 2)d ? r ?12, ar ? r ?11,?

ar ? 2 ? r ? 13 ar ?1

? ? 1 2 21 ?n ? 11, n ? 12 ? n ? n, n ? 12 ? an ? ? n?12 , Sn ? ? 2 2 n ?11 ? 2 , n ? 13 ? ? 2 ? 56, n ? 13 ?
①当 k ? m ? 12 时,由

??????????12 分

1 2 21 1 21 k ? k ? m 2 ? m 得 (k ? m)(k ? m) ? 21(k ? m) 2 2 2 2

?m ? 12 ?m ? 11 或? . k ? m ? 21, k , m ? 12, m ? k ,? ? ? k ? 9 ? k ? 10
k ?11 ? 56 ? 2m?11 ? 56 得 m ? k ,不存在 ??????14 分 ②当 m ? k ? 12 时,由 2

③当 k ? 12, m ? 12 时,由

1 2 21 k ? k ? 2m ?11 ? 56 , 2m?10 ? k 2 ? 21k ? 112 2 2

当 k ? 1 时, 2m?10 ? 92, m ? N * ;当 k ? 2 时, 2m?10 ? 74, m ? N * ; 当 k ? 3 时, 2m?10 ? 58, m ? N * ;当 k ? 4 时, 2m?10 ? 44, m ? N * ; 当 k ? 5 时, 2m?10 ? 25 , m ? 15 ? N * ;当 k ? 6 时, 2m?10 ? 22, m ? N * ; 当 k ? 7 时, 2m?10 ? 14, m ? N * ;当 k ? 8 时, 2m?10 ? 23 , m ? 13 ? N * ; 当 k ? 9 时, 2m?10 ? 22 , m ? 12 舍去;当 k ? 10 时, 2m?10 ? 2, m ? 11舍去
m?10 当 k ? 11 时, 2 ? 2, m ? 11舍去;当 k ? 12 时, 2m?10 ? 22 , m ? 12 舍去??16 分

综上所述,? 存在 ?

?m ? 15 ?m ? 13 ?m ? 12 ?m ? 11 或? 或? 或? . ???????18 分 ? k ? 5 ? k ? 8 ? k ? 9 ? k ? 10


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