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二次函数与幂函数典型例题


二次函数与幂函数
【2015 年高考会这样考】 1.求二次函数的解析式. 2.求二次函数的值域与最值. 3.利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题. 【复习指导】 本节复习时, 应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性 质, 重点解决二次函数在闭区间上的最值问题,此类问题经常与其它知识结合命 题,应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用.


基础梳理 1.二次函数的基本知识 (1)函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它的定义域是 R. b (2)二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线, 对称轴方程为 x=-2a, ? b 4ac-b ? ?. 顶点坐标是?- , 4a ? ? 2a b? ? ? b ? ①当 a>0 时,抛物线开口向上,函数在?-∞,-2a?上递减,在?-2a,+∞?上 ? ? ? ? 4ac-b2 b 递增,当 x=-2a时,f(x)min= 4a ; b? ? ? b ? ②当 a<0 时,抛物线开口向下,函数在?-∞,-2a?上递增,在?-2a,+∞?上 ? ? ? ? 4ac-b b 递减,当 x=-2a时,f(x)max= 4a . ③二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当 Δ=b2-4ac>0 时,图象与 x 轴有两个交点 Δ M1(x1,0)、M2(x2,0),|M1M2|=|x1-x2|= |a| . (3)二次函数的解析式的三种形式: ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); ②顶点式:f(x)=a(x-m)2+h(a≠0); ③两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
2 2

2.幂函数 (1)幂函数的定义 形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数. (2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质

y=x

y=x2

y=x3

1 y=x2

y=x-1

定义域

R

R

R

[0,+∞)

{x|x∈R 且 x≠0}

续表 值域 奇偶性 R 奇 [0,+∞) 偶 x∈[0,+∞) 单调性 增 时, 增, x∈(- ∞,0]时,减 定点 (0,0),(1,1) 增 增 R 奇 [0,+∞) 非奇非偶 {y|y∈R 且 y≠0} 奇 x∈(0,+∞) 时, 减, x∈(- ∞,0)时,减 (1,1)

一条主线 二次函数、 一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,要深刻理解它们 之间的相互关系,能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二 次”有关的问题, 高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中,并 且大都出现在解答题中.

两种方法 二次函数 y=f(x)对称轴的判断方法: (1)对于二次函数 y=f(x)对定义域内 x1,x2,都有 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x) 图象的对称轴方程为 x= x1+x2 2 ;

(2)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(a+x)=f(a-x)成立,那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=a(a 为常数). 两种问题 与二次函数有关的不等式恒成立问题: ?a>0, (1)ax2+bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0; ?a<0, (2)ax2+bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是( A.y=2x2 C.y=x2+x 解析 A,C,D 均不符合幂函数的定义. 答案 B 2.(2011· 九江模拟)已知函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞)上是增函数, 则 f(1)的范围是( A.f(1)≥25 C.f(1)≤25 m 解析 对称轴 x= 8 ≤-2,∴m≤-16, ∴f(1)=9-m≥25. 答案 A 3.(2011· 福建)若关于 x 的方程 x2+mx+1=0,有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是( ). ). B.f(1)=25 D.f(1)>25 1 B.y=x2 1 D.y=- x ).

A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

B.(-2,2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析 依题意判别式 Δ=m2-4>0,解得 m>2 或 m<-2. 答案 C 4.(2011· 陕西)函数 的图象是( ).

解析 由幂函数的性质知:①图象过(1,1)点,可排除 A,D;②当指数 0<α<1 时为增速较缓的增函数,故可排除 C. 答案 B 5.二次函数 y=f(x)满足 f(3+x)=f(3-x)(x∈R)且 f(x)=0 有两个实根 x1,x2,则 x1+x2=________. 解析 由 f(3+x)=f(3-x), 知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=3 对称, 应有 =3?x1+x2=6. 答案 6 x1+x2 2

考向一

求二次函数的解析式

【例 1】?已知函数 f(x)=x2+mx+n 的图象过点(1,3),且 f(-1+x)=f(-1-x)对 任意实数都成立,函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于原点对称.求 f(x)与 g(x)的解 析式. [审题视点] 采用待定系数法求 f(x), 再由 f(x)与 g(x)的图象关于原点对称, 求 g(x). 1+m+n=3, ? ? 解 依题意得? m - =-1, ? ? 2 ?m=2, 解得:? ∴f(x)=x2+2x. ?n=0, 设函数 y=f(x)图象上的任意一点 A(x0,y0),该点关于原点的对称点为 B(x,y), 则 x0=-x,y0=-y. ∵点 A(x0,y0)在函数 y=f(x)的图象上,

2 2 ∴y0=x2 0+2x0,∴-y=x -2x,∴y=-x +2x,

即 g(x)=-x2+2x. 二次函数解析式的确定,应视具体问题,灵活地选用其形式,再根据 题设条件列方程组,即运用待定系数法来求解.在具体问题中,常常会与图象的 平移、对称,函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起. 【训练 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8. 试确定此二次函数的解析式. 解 法一 利用二次函数的一般式.

设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 由题意得? 4ac-b2 ? ? 4a =8,

?a=-4, 解之得?b=4, ?c=7.

∴所求二次函数的解析式为 y=-4x2+4x+7. 法二 利用二次函数的顶点式. 设 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0), ∵f(2)=f(-1). ∴此二次函数的对称轴为 x= 2+?-1? 1 =2. 2

1 ∴m=2,又根据题意,函数有最大值 8,即 n=8. ? 1? ∴y=f(x)=a?x-2?2+8, ? ? 1? ? ∵f(2)=-1,∴a?2-2?2+8=-1, ? ? 解之得 a=-4. ? 1? ∴f(x)=-4?x-2?2+8=-4x2+4x+7. ? ? 考向二 幂函数的图象和性质

【例 2】?幂函数 y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象关于 y 轴对称,且当 x>0 时,函 数是减函数,则 m 的值为( A.-1<m<3 ). B.0

C.1

D.2

[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数 m2-2m-3<0,再结合 m 是整数,及 幂函数是偶函数可得 m 的值. 解析 由 m2-2m-3<0,得-1<m<3, 又 m∈Z,∴m=0,1,2. ∵m2-2m-3 为偶数, 经验证 m=1 符合题意. 答案 C 根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围, 当 α>0 时, 幂函数在(0, +∞)上为增函数,当 α<0 时,幂函数在(0,+∞)上为减函数,然后验证函数的 奇偶性. 1? ? 【训练 2】 已知点( 2,2)在幂函数 y=f(x)的图象上,点?- 2,2?在幂函数 y ? ? =g(x)的图象上,若 f(x)=g(x),则 x=________. 1 解析 由题意,设 y=f(x)=xα, ,则 2=( 2)α,得 α=2,设 y=g(x)=xβ,则2=(- 2)β,得 β=-2,由 f(x)=g(x),即 x2=x-2,解得 x=± 1. 答案 ± 1 考向三 二次函数的图象与性质

【例 3】?已知函数 f(x)=x2-2ax+1,求 f(x)在区间[0,2]上的最值. [审题视点] 先确定对称轴,再将对称轴分四种情况讨论. 解 函数 f(x)=x2-2ax+1=(x-a)2+1-a2 的对称轴是直线 x=a, (1)若 a<0,f(x)在区间[0,2]上单调递增, 当 x=0 时,f(x)min=f(0)=1; 当 x=2 时,f(x)max=f(2)=5-4a; (2)若 0≤a<1,则 当 x=a 时,f(x)min=f(a)=1-a2; 当 x=2 时,f(x)max=f(2)=5-4a; (3)若 1≤a<2,则 当 x=a 时,f(x)min=f(a)=1-a2; 当 x=0 时,f(x)max=f(0)=1;

(4)若 a≥2,则 f(x)在区间[0,2]上单调递减, 当 x=0 时,f(x)max=f(0)=1; 当 x=2 时,f(x)min=f(2)=5-4a. 解二次函数求最值问题,首先采用配方法,将二次函数化为 y=a(x- m)2+n(a≠0)的形式,得顶点(m,n)或对称轴方程 x=m,分三个类型: ①顶点固定,区间固定; ②顶点含参数,区间固定; ③顶点固定,区间变动. 【训练 3】 已知 f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b),m,n 是 f(x)的零点,且 m<n,则 a,b,m,n 从小到大的顺序是________. 解析 由于 f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b)的图象是开口向下的抛物线,因为 f(a)= f(b)=1>0,f(m)=f(n)=0,可得 a∈(m,n),b∈(m,n),所以 m<a<b<n. 答案 m<a<b<n 考向四 有关二次函数的综合问题

【例 4】?设函数 f(x)=ax2-2x+2,对于满足 1<x<4 的一切 x 值都有 f(x)>0, 求实数 a 的取值范围. [审题视点] 通过讨论开口方向和对称轴位置求解. 1 ? 1? 解 当 a>0 时,f(x)=a?x-a?+2-a. ? ? 1 ? ? ≤1, ∴?a ? ?f?1?=a-2+2≥0 1 1 < ? ? a<4, 或? 1 ?1? ?=2- >0 ? ?f? a ?a?

1 ? ? ≥4, 或?a ? ?f?4?=16a-8+2≥0, 1 ? ?4<a<1, ?a≥1, ∴? 或? 1 ?a≥0 ? ?a>2 1 ? ?a≤4, 或? 3 ? ?a≥8.

1 1 ∴a≥1 或2<a<1 或?,即 a>2;

?f?1?=a-2+2≥0, 当 a<0 时,? 解得 a∈?; ?f?4?=16a-8+2≥0, 当 a=0 时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6, ∴不合题意. 1 综上可得,实数 a 的取值范围是 a>2. 含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点,通过围绕二 次函数的开口方向、对称轴,不等式的恒成立等基本问题展开,重点考查学生分 类讨论的思想、函数与方程的思想,以及分析、解决问题的能力. ?f?x?,x>0, 【训练 4】 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=? 若 f(- ?-f?x?,x<0. 1)=0,且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立. (1)求 F(x)的表达式; (2)当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求 k 的取值范围. 解 (1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,∴b=a+1, ∴f(x)=ax2+(a+1)x+1.∵f(x)≥0 恒成立, ?a>0, ∴? 2 ?Δ=?a+1? -4a≤0, ?a>0, ∴? 2 ??a-1? ≤0. ∴a=1,从而 b=2,∴f(x)=x2+2x+1,
2 ?x +2x+1,x>0, ∴F(x)=? 2 ?-x -2x-1,x<0.

(2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1. ∵g(x)在[-2,2]上是单调函数, k-2 k-2 ∴ 2 ≤-2,或 2 ≥2,解得 k≤-2,或 k≥6. 所以 k 的取值范围为 k≤-2,或 k≥6.

规范解答 3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值 【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题,一定要根据对称轴与区间的相

对位置关系确定最值, 当函数解析式中含有参数时,要根据参数的取值情况进行 分类讨论,避免漏解. 【解决方案】 对于二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)而言,首先确定对称轴,然 后与所给区间的位置关系分三类进行讨论. 【示例】 ?(本题满分 12 分)(2011· 济南模拟)已知 f(x)=-4x2+4ax-4a-a2 在区间 [0,1]内有最大值-5,求 a 的值及函数表达式 f(x). 求二次函数 f(x)的对称轴, 分对称轴在区间的左侧、 中间、 右侧讨论. ? a? [解答示范] ∵f(x)=-4?x-2?2-4a, ? ? ?a ? ∴抛物线顶点坐标为?2,-4a?.(1 分) ? ? a ①当2≥1,即 a≥2 时,f(x)取最大值-4-a2. 令-4-a2=-5,得 a2=1,a=± 1<2(舍去);(4 分) a a ②当 0<2<1,即 0<a<2 时,x=2时, f(x)取最大值为-4a. 5 令-4a=-5,得 a=4∈(0,2);(7 分) a ③当2≤0,即 a≤0 时,f(x)在[0,1]内递减, ∴x=0 时,f(x)取最大值为-4a-a2, 令-4a-a2=-5,得 a2+4a-5=0, 解得 a=-5 或 a=1,其中-5∈(-∞,0].(10 分) 5 综上所述,a=4或 a=-5 时,f(x)在[0,1]内有最大值-5. 105 ∴f(x)=-4x2+5x- 16 或 f(x)=-4x2-20x-5.(12 分) 求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质 ——最值在对称 轴处取得,忽视对称轴与闭区间的位置关系,不进行分类讨论. 【试一试】 设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值 g(a). [尝试解答] ∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1,

∴对称轴为直线 x=1,

而 x=1 不一定在区间[-2,a]内,应进行讨论. 当-2<a<1 时, 函数在[-2, a]上单调递减, 则当 x=a 时, ymin=a2-2a; 当 a≥1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时,ymin=-1.
2 ?a -2a,-2<a<1, 综上,g(a)=? ?-1,a≥1.


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