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第三届中国东南地区数学奥林匹克试题


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第三届中国东南地区数学 奥林匹克(含解答及英文版)
希望联盟 2006 年度赛
第一天(2006 年 7 月 27 日, 8:00-12:00, 南昌)
2(a ? b) x ? 2ab 4x ? a ? b

一、设 a ? b ? 0,

f ( x ) ?
1 1

.证明:存在唯一的正数 x ,使得

f ( x) ? (

a3 ? b3 2

) .
1 3 1

3

解法一:令 t ? ( 由t ? 得

a ? b3 2

) ,

3

2(a ? b) x ? 2ab 4x ? a ? b

, ??○ 1

[2( a ? b ) ? 4 t ] x ? t ( a ? b ) ? 2 ab ,

为证○有唯一的正数解 x ,只要证, 2( a ? b ) ? 4 t ? 0 及 t ( a ? b ) ? 2 a b ? 0 , 即 1
1 1

2ab a?b
1

? (

a ? b3
3

) ?
3

a?b 2

.

2
1

??○ 2

记 a 3 ? u , b 3 ? v , u ? v , ,即要证
u ?v ?u?v? ?? , ? ? 3 3 u ?v 2 ? 2 ? 2u v
3 3 3 3 3

??○ 3

?u?v? 3 3 由于 ? u ? v ? ? ? ? 2 u v ? 2 ?
3 3 3 3 3

3

?

uv

?

3

? 2 u v ,即○左端成立. 3
3 3

为证 ?

1 u ? uv ? v u ?v 2 ?u?v? , ,即 ? u ? v ? ? ? ? 8 2 2 ? 2 ?
2 2
2

?u ? v ?

2

? 4 ( u ? u v ? v ) ,即
2 2

3 ? u ? v ? ? 0 ,此为显然.故○成立, 3

从而 x ?

t (a ? b) ? 2ab 2(a ? b ) ? 4t

即为所求.

解法二: f ( x ) ?
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2(a ? b) x ? 2ab 4x ? a ? b

?

1 2

(a ? b) ?

(a ? b)

2

2(4 x ? a ? b)

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在 (0, ? ? ) 上为严格单调增加的连续函 数,而且 f (0 ) ?
2ab a?b
2ab a?b

, lim f ( x ) ?
x ? ??

a?b 2



1

1

据解法一○式知, 2

? (

a3 ? b3 2

) ?
3

a?b 2
1 1



故存在唯一的正数 x ,使得 f ( x ) ? (

a3 ? b3 2

) .
A

3

二、如图所示,在△ABC 中, ? A B C ? 90 ? , D , G 是边 CA 上的两点,

连接 BD,BG . 过点 A,G 分别作 BD 的垂线,垂足分别为 E, F, 连接 CF. 若 BE=EF,求证: ? A B G ? ? D F C . 证:作 R t ? A B C 的外接圆 w,延长 BD、AE 分别交 w 于 K、J. 连接 BJ、CJ、KJ、FJ. 易知 ? BAJ ? ? K BC ,故 BJ=KC. 于是四边形 BJCK 是等腰梯形,又 AJ 垂直平分 BF,故 BJ=FJ, B 故四边形 FJCK 是平行四边形. 设 AE 与 BG 的交点为 M,FC 与 JK 的交点为 N, 则 M、N 分别是 BG 和 FC 的中点, 于是
AB AG ? sin ? M A G sin ? B A M ? sin ? JK C sin ? B K J ? FK CK ,

G

D E F C

C 又 ?B A G ? ? F K , 于是 ? B A G ∽ ? F K C , 所以 ? A B G ? ? D F C .

三、一副纸牌共 5 2 张,其中“方块”“梅花”“红心”“黑桃”每种花色的牌各 13 张,标 、 、 、 号依次是 2, 3, ? ,1 0, J , Q , K , A ,其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌” , 并且 A 与 2 也算是顺牌(即 A 可以当成 1 使用). 试确定,从这副牌中取出 13 张牌,使 每种标号的牌都出现,并且不含“同花顺牌”的取牌方法数. 解:先一般化为下述问题:设 n ? 3, 从 A ? ? a1 , a 2 , ? , a n ? , B ? ? b1 , b 2 , ? , b n ? ,
C ? ? c1 , c 2 , ? , c n ? , D ? ? d 1 , d 2 , ? , d n ? 这四个数列中选取 n 个项,
? ?? 且满足: ? 1 ? 1, 2, ? , n 每个下标都出现; ? 1 1 ?

下标相邻的任两项不在同一个数列中(下标 n 与 1 视 为相邻) ,其选取方法数记为 x n ,今确定 x n 的表达式:

n 1 2 n-1 3

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将一个圆盘分成 n 个扇形格,顺次编号为 1, 2, ? , n , 并将数列 A , B , C , D 各染一种颜色,对于任一个选项方案, 如果下标为 i 的项取自某颜色 数列,则将第 i 号扇形格染上该颜色. 于是 x n 就成为将圆盘的 n 个扇形格染四色,使相邻格不同色的染色方 法数,易知, x1 ? 4, x 2 ? 1 2,
x n ? x n ?1 ? 4 ? 3
n ?1

? n ? 3? ,
? ? 1? ? ? 1?
n

1 ○
xn ? ? ? 1?
n ?1

将○写作 1 因此

x n ?1 ? ? 4 ? ? ? 3 ?
n?2

n ?1

.
n?2

n ?1

x n ?1 ? ? ? 1 ?

xn? 2 ? ? 4 ? ? ? 3 ?

;

??

??
2 2

? ? 1? ? ? 1?
n n

3

x3 ? ? ? 1? x 2 ? ? 4 ? ? ? 3 ? ; x2 ? ? 4 ? ? ? 3 ? .
n n

2

相加得, ? ? 1 ? x n ? ? ? 3 ? ? 3 ,于是 x n ? 3 ? 3 ? ? ? 1 ? ( n ? 2 ) . 因此 x1 3 ? 3 ? 3 . 这就是所求的取牌方法数.
13

四、对任意正整数 n ,设 a n 是方程 x ?
3

x n

? 1 的实数根,求证:

(1) a n ? 1 ? a n ;

(2)

?

n

1 ( i ? 1) a i
2
3

? an .

i ?1

证:由 a n ? (1)

an n

? 1 ,得 0 ? a n ? 1 .

0 ? a n ?1 ? a n ?
3 3

a n ?1 n ?1

?

an n

? a n ?1 ? a n ?
3 3

a n ?1 n

?

an n

? ( a n ? 1 ? a n )( a n ? 1 ? a n ? 1 a n ? a n ?
2 2

1 n

)

. 因为 a n ? 1 ? a n ? 1 a n ? a n ?
2 2

1 n

? 0 ,故 a n ? 1 ? a n ? 0 ,即 a n ? 1 ? a n .

? 2 ? 因为

? 2 1? a n ? a n ? ? ? 1 ,所以 n? ?

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an ?
2

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1 an ? 1 n

?

1 1? 1 n

?

n n ?1



从而

1

? n ? 1?
1 ? ai 1

2

? an
1

1 n ? n ? 1?



?

n

i ?1

? i ? 1?

2

?

n

1 i ? i ? 1?

?

i ?1

? ( i ? i ? 1) ? 1 ? n ? 1 ?
i ?1

n

1

1

n n ?1

? an .



?

n

i ?1

? i ? 1?

2

? an . ai

第三届中国东南地区数学奥林匹克解答
希望联盟 2006 年度赛
第二天(2006 年 7 月 28 日, 8:00-12:00, 南昌) 五、如图,在 ? A B C 中, ? A ? 6 0 ? , ? A B C 的内切圆 I 分别切边
A B , A C 于点 D , E ,直线 D E 分别与直线 B I , C I 相交于点
G

A

D F E I

F , G , 证明: F G ?

1 2

BC .

证法一:分别连接 C F , B G , ID, IE , A I , 则 A、 D 、 I 、 E 四点共圆. 所以 ? ID E ?
1 2 ?A , 1 2 ?A , 1 2 ?A ,

B

C

A

从而 ? B D F ? 9 0 ? ?
1

G

D F E I

又 ? B IC ? 1 8 0 ? ? ( ? B ? ? C ) = 9 0 ? ?
2

所以 ? B D F ? ? B IC . 又 ? D B F ? ? C B I ,得 ? F D B ∽ ? C IB .所以
FB CB
第 4 页 共 10 页

?

DB IB

B

C

.

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又由 ? D B I ? ? F B C , 得 ? ID B ∽ ? C F B ,所以 C F ? B F , 从而 ? F C G ?
1 2 ? A ? 30? .

同理 B G ? G C ,所以 B、 C 、 F 、 G 四点共圆, 由此
FG sin ? F C G 1 所以 F G ? B C . 2 ? BC ,

证法二: 因为 ? B IG ?
1 2 (? B ? ? C ) , 180? ? ? A 2 ? 1 2 (? B ? ? C ) ,

又因为 ? B D G ? ? A D E ?

所以 B、 D、 I 、 G 四点共圆, 因此 ? B G C ? ? B D I ? 90 ? . 同理 ? C F B ? 9 0 ? ,所以 B、 C 、 F 、 G 四点共圆. 又 ? FC G ? 90? ? ? FBC ? ? BC I ? 90? ? 所以 F G ? B C sin ? F C G ?
1 2 BC . 1 2 (? B ? ? C ) ? 3 0? ,

六、求最小的实数 m,使得对于满足 a+b+c=1 的任意正实数 a,b,c,
6 ? 都有 m ( a ? b ? c )? ( a ? b ? c ) 1 .
3 3 3 2 2 2

解法一:当 a=b=c ?
3

1 3

时,有 m ? 2 7 .
3 3 2 2 2

( ? 下证不等式 27( a ? b ? c )? 6 a ? b ? c ) 1

对于满足 a+b+c=1 的任意正实数 a,b,c 都成立. 因为对于 0 ? x ? 1 , 有 27 x ? 6 x ? 5 x ?
3 2

4 3

? 81 x ? 18 x ? 15 x ? 4 ? 0 ?( 3 x ? 1) 9 x ? 4)? 0 , (
3 2 2

故 所以

27 x ? 6 x ? 5 x ?
3 2 3 2

4 3

,0 ? x ? 1.
4 3 4 3 4 3

27 a ? 6a ? 5a ? 2 7 b ? 6b ? 5b ?
3 2

, , ,

27 c ? 6c ? 5c ?
3 2

把上面三个不等式相加,
6 ? 得 27 ( a ? b ? c )? ( a ? b ? c ) 1 .
3 3 3 2 2 2

所以,m 的最小值为 27.
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解法二:当 a=b=c ?
3

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1 3

时,有 m ? 2 7 .
3 3 2 2 2

( ? 下证不等式 27 ( a ? b ? c )? 6 a ? b ? c ) 1

对于满足 a+b+c=1 的任意正实数 a,b,c 都成立. 因为 ( a ? b ) ( a ? b ) ? 0 ,所以 a ? b ? a b ? ab ,
2
3 3 2 2

同理, b ? c ? b c ? bc , c ? a ? c a ? ca ,
3 3 2 2 3 3 2 2

于是
3

2 (a ? b ? c ) ? a b ? b c ?
3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 2 2

c a ?
2 2

ab ?
2 2

b?, c a c
2 2 2 2

3( a ? b ? c ) ? a ? b ? c ? a b ? b c ? c a ? ab ? bc ? ca ? ( a ? b ? c) ( a ? b ? c ) ? a ? b ? c ,
2 2 2 2 2 2

( ? ( 所以 6 a ? b ? c ) 1 ? 6 a ? b ? c )? ( a ? b ? c )
2 2 2 2 2 2

2

? 6 (a ? 9 (a

2

?b ?b

2

? c ) ? 3 (a
2 2

2

?b
3

2

?c )
2 3

2

2

? c ) ? (7 a 2

?b

?c ) .
3

所以,m 的最小值为 27. 七、 (1)求不定方程 m n ? nr ? m r ? 2( m ? n ? r ) 的正整数解 ( m , n , r ) 的组数. (2)对于给定的整数 k ? 1 ,证明:不定方程 m n ? nr ? m r ? k ( m ? n ? r ) 至少有 3 k ? 1 组正整数解 ( m , n , r ) . 解: (1)若 m , n , r ? 2 ,由 m n ? 2 m , nr ? 2 n , m r ? 2 r 得
m n ? nr ? m r ? 2( m ? n ? r ) ,

所以以上不等式均取等号,故 m ? n ? r ? 2 . 若 1 ? { m , n , r } ,不妨设 m ? 1 , 则 nr ? n ? r ? 2(1 ? n ? r ) ,于是 ( n ? 1)( r ? 1) ? 3 , 所以 { n ? 1, r ? 1} ? {1, 3} ,故 { n , r } ? {2, 4} , { m , n , r } ? {1, 2, 4} , 这样的解有 3! ? 6 组. 所以,不定方程 m n ? nr ? m r ? 2( m ? n ? r ) 共有 7 组正整数解. (2)将 m n ? nr ? m r ? k ( m ? n ? r ) 化为 [ n ? ( k ? m )][ r ? ( k ? m )] ? k ? km ? m .
2 2

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2 2

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n ? k ? m ? 1, r ? k ? km ? m ? k ? m 满足上式.

且 m ? 1, 2, ? , [ ] 时, 0 ? m ? n ? r .
2
k 为偶数时, { m , n , r } ? {l , k ? l ? 1, k ? kl ? l ? k ? l } ,
2 2

k

其中 l ? 1, 2, ? ,

k 2

给出了不定方程的 3 k 组正整数解.
2 2

k 为奇数时, { m , n , r } ? {l , k ? l ? 1, k ? kl ? l ? k ? l } ,

其中 l ? 1, 2 , ? ,

k ?1

给出了不定方程的 3 ( k ? 1) 组正整数解, ,另一个为 k ? k
2

m , n , r 中有两个

2 k ?1 2

k ?1 2

?(

k ?1 2

) ?k?
2

k ?1 2

?

( k ? 1)(3 k ? 1) 4

的情况给出了不定方程的 3 组正整数解.

而 m ? n ? r ? k 亦为不定方程的正整数解. 故不定方程 m n ? nr ? m r ? k ( m ? n ? r ) 至少有 3 k ? 1 组正整数解. 八、对于周长为 n ( n ? N ) 的圆,称满足如下条件的最小的正整数 Pn 为“圆剖分数” :如
*

果在圆周上有 Pn 个点 A1 , A2 , ? , A p ,对于 1, 2, ? , n ? 1 中的每一个整数 m ,
n

都存在两个点
Ai , A j (1 ? i , j ? Pn ) ,以 Ai 和 A j 为端点的一条弧长等于 m ;圆周上每相邻两点间的弧

长顺次构成的序列 T n ? ( a1 , a 2 , ? , a P ) 称为“圆剖分序列” .例如:当 n ? 1 3 时,圆剖
n

分数为 P13 ? 4 ,如图所示,图中所标数字为相邻两点之间的弧长,圆剖分序列为
T1 3 ? (1, 3, 2, 7 ) 或 (1, 2 , 6 , 4 ) .

1
3

1 4

2

求 P2 1和 P3 1 ,并各给出一个相应的圆剖分序列.
7

2
6

解:由于 k 个点中,每两个点间可得一段优弧和一段 劣弧,故至多可得 k ( k ? 1) 个弧长值. 当 k ( k ? 1) ? 20 时,则 k ? 5 ;
2 1
5 3

而当 k ( k ? 1) ? 30 时,则 k ? 6 .
第 7 页 共 10 页

10

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另一方面,在 k ? 5 时,可以给出剖分图 所以, P21 ? 5 , T 2 1 ? (1, 3,1 0, 2, 5) . 对于 n=31,在 k ? 6 时,类似可给出剖分图
1 5
1
1 10

2 7
13

2 5 4

3 2

1 3 14 6
7

1 14 7

3 5 2 4 2

12

4

6

8

所以, P31 ? 6 , T31 ? (1, 2, 7, 4,12, 5) , (1, 2, 5, 4, 6,13) , (1, 3, 2, 7, 8,10) , (1, 3, 6, 2, 5,14) 或
(1, 7, 3, 2, 4,14) 等.

The Third Chinese Southeast Mathematical Olympiad
Day 1(8:00-12:00,July 27,2006, Nanchang)
2(a ? b) x ? 2ab 4x ? a ? b
1 1

1.Suppose a ? b ? 0, f ( x ) ?

.Show that there exists
A

unique x ? 0 ,such that f ( x ) ? (

a3 ? b3 2

) .
?

3

G

2.As shown in the graph, in △ABC, ? A B C ? 90 , and D , G are
E F

D

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C

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two points on CA. Let E,F be the projection of A,G on BD respectively. Suppose BE=EF,Show that ? A B G ? ? D F C . 3.A set of poker has 52 cards with 13 cards in each suite (diamonds ?, clubs ?, hearts ?, and spades ?). Each suite of cards are marked 2, 3, ? ,1 0, J , Q , K , A . Calculate the number of subsets with 13 cards of the poker,where 2, 3, ? ,1 0, J , Q , K , A all appear and no two consecutive cards(A and 2, 2 and 3, …,K and A) of the same suit both appear. 4.For any positive integer n,let a n be the real number solution of x ?
3

x n

? 1 . Show that

(1) a n ? 1 ? a n ; (2) ?
n

1 ( i ? 1) a i
2

? an .

i ?1

The Third Chinese Southeast Mathematical Olympiad
A

Day 2(8:00-12:00,July 28,2006, Nanchang) 5.As shown in the graph, ? A ? 6 0 ? . The inscribed circle ? I of
? A B C meet A B , A C at D 、 E respectively. Line D E meets line B I

G

D F

E
I

and line C I at F , G respectively. Show that F G ?

1 2

BC .

B

C

6.Find out the smallest real number m,such that for all positive real numbers a,b,c with
6 ? a+b+c=1, m ( a ? b ? c )? ( a ? b ? c ) 1 .
3 3 3 2 2 2

7. (1)Find out the number of positive integer solutions in m , n and r of the Diophantine equation m n ? nr ? m r ? 2( m ? n ? r ) . ( 2 ) Fix an integer
k ?1

.

Show

that

the

Diophantine

equation

m n ? nr ? m r ? k ( m ? n ? r ) has at least 3 k ? 1 positive integer solutions in m , n

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and r .

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8.Given a positive integer n ,let Pn be the smallest positive integer such that there are Pn points A1 , A 2 , ? , A P on a circle of perimeter n satisfying the following condition: for any
n

integer m in 1, 2, ? , n ? 1 ,there are two points Ai , A j (1 ? i , j ? Pn ) ,and one arc of the circle with endpoints Ai and A j has length m . In this case, we call the sequence of the lengths a1 , a 2 , ? , a P of the arcs of adjacent points a splitting sequence of
n

n , written as

T n ? ( a1 , a 2 , ? , a P ) .For example, we have
n

1
3

1 4

2

P13 ? 4 as shown in the graph where the

corresponding splitting sequences of 13 are
T1 3 ? (1, 3, 2, 7 )

7

2
6

or (1, 2, 6, 4) . Find P2 1 and P3 1 ,and give a splitting sequence of 21 and a splitting sequence of 31.

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