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1.2.2 绝对值不等式的解法


2

绝对值不等式的解法

我们知道, 对于不等式| x |? 1,由绝对值的 几何意义, 它的解集是数轴上到原 点距离 小于 1 的点的集合 即 ?? 1,1 ? ; 对于不等式 , | x |? 1 ,由绝对值的几何意义 它的解集是 , 数轴上到原点距离大于 的点的集合, 即 1

?? ?,1? ? ?1,? ?? .

一般地 , 如果 a ? 0 , 那么从绝对值的几何意 | x |? a 表 示 数 轴 上 到 原 点 距 离 | x |? a 表 示 到 原 点 距 离 大 于 | x |? a ? ? a ? x ? a ; | x |? a ? x ? ? a 或 x ? a .

义看 , ,

小于 a 的点的集合 a 的点的集合 ,因而

?? ?

因此 , 不等式 ? a 的解集是

| x |? a 的解集是

??

? ,? a ? ?

? ? a , a ? ; 不等式 | x | ? a , ? ? ?.在数轴上表示如

下 ?图 1 . 2 ? 8 ? :

?a

O

a

x

?a

O

a

x

| x |? a
图 1 .2 ? 8

| x |? a

? 上述绝对值不等式 ? ?, 是解其他绝对值不等式 的基础 ,
即其他绝对值不等式的 解一般可以通过转化为 上述不 等式而得到.例如, a 是一个正实数, 对于绝对值不等式 | x ? x1 |? a ( 或 | x ? x1 |? a ) , 我们有

| x ? x1 |? a ? ? a ? x ? x1 ? a ? x1 ? a ? x ? x1 ? a ;

| x ? x1 |? a ? x ? x1 ? ? a, 或x ? x1 ? a ?

x ? x1 ? a, 或x ? x1 ? a .
由于绝对值| x ? x1 | 的几何意义是数轴上坐 标为x 的点与坐标为 1的点的距离所以 以上不等式的解 x , , 可以在数轴上表示出来如图1.2 ? 9 所示 . ,
x1 ? a
x1

x1 ? a

x

x1 ? a

x1

x1 ? a

x

| x ? x 1 |? a

图 1 .2 ? 9

| x ? x 1 |? a

利用上述???式及绝对值的几何意义 , 可以解一些含有绝对值 的不等式 .

?1 ? | ax

? b |? c 和 | ax ? b |? c

型不等式的解法

例3

解不等式| 3 x ? 1 |? 2 .


1

由| 3 x ? 1 |? 2 , 得 ? 2 ? 3 x ? 1 ? 2, 解得

? ? 1 ? ? x ? 1 , 因此 , 原不等式的解集为 ? x ? ? x ? 1 ? . 3 3 ? ?
从几何上看, 如果将 | 3 x ? 1 |? 2两边除以3, 得 x? 1 3 ? 2 , 它的解集是数轴上到坐标为 的点的距 3 3 2 3 合, 如图1.2 ? 10所示.
? 1 3
O
1 3
x

1

离不大于

的点的集
1

图 1 . 2 ? 10

例4


解不式| 2 ? 3 x |? 7 .
由| 2 ? 3 x |? 7 得| 3 x ? 2 |? 7,

所以3 x ? 2 ? ?7, 或3 x ? 2 ? 7,
从而 x ? ? 5 或 x? 3,

3 所以原不等式的解集为
? ? 5 ?x x ? ? 或 x ? 3 ?. 3 ? ?

探究

你能给出上述绝对值不 等式的

解的几何解释吗 ?

?2 ? | x ?
例5
分析

a | ? | x ? b |? c 和 | x ? a | ? | x ? b |? c 型 不

等式的解法

解不等式| x ? 1 | ? | x ? 2 |? 5 .
这个绝对值不等式
A1 A

比较复杂 我们从它的几何 , 意义来分析如图 .2 ? 11, 设 . 1 数轴上与? 2 ,1 对应的点分

B B1

-3 -2 -1 O 1 2

x

图 1 . 2 ? 11

别是A, B, 那么不等式的解就是数 轴上到A, B两 点的距离之和不小于的点所对应的实数 5 .所以, 我们只要在数轴上确定 出具有上述特点的点的 位置, 就可以得出不等式的解 .

解法一 轴上与

如图 1 . 2 ? 11 , 设数 ? 2 ,1 对应的点分别

A1 A

B B1

-3 -2 -1 O 1 2

x

为 A , B 那么 A , B 两点的距离 是 3 , 因此区间

图 1 . 2 ? 11

??

2 ,1 ? 上的数都不是原不等式

的解 .

为了求出不等式的解 A , B 的距离之和为 位到点 A 1 , 这时有

, 关键要在数轴上找出与 5 的点 .将点 A 向左移动 | A1 A | ? | A1 B |? 5 ;
1 个单位到点

点 1 个单

同理 , 将点 B 向右移动 | B 1 A | ? | B 1 B |? 5 ;

B 1 , 这时也有

从数轴上可以看到

, 点 A 1 与点 B 1 之间的任何点到 5 ; 点 A 1 的左边或点 B 1的

点 A , B 的距离之和都小于

右边的任何点到 离之和都大于 5.

A , B 的距

A1 A

B B1

-3 -2 -1 O 1 2

x

所以 , 原不等式的解集是

图 1 . 2 ? 11

??

? , ? 3 ? ? ? 2 , ??

?.

分析 上 述 解法, 可以发现 , 解 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ? 5 时, 数轴上与? 2 ,1 对应的点A , B 把 实数 集分成

? 了三个区间 ? ?,?2? , ?? 2,1 ? , ?1,??? , 先 分别在这
三个区间上讨论不等式 解 的情 况 , 然 后 把 它 的 们综合在一起就得到不 等式的解集.

事实上, 以点A, B为分界点 将数轴分为三个区间 , , 在这三个区间上 绝对值不等式可以转化 , 为不含 绝对值的不等式 . 因此我们有如下解法 .

解法二

当 x ? ? 2 时 , 原不等式可以化为

? ? x ? 1 ? ? ? x ? 2 ? ? 5 , 解得 x ? ? 3 ,

x ? ?2 ,
即不等式组
的解集是

| x ? 1 | ? | x ? 2 |? 5

??

? ,? 3 ?.

当 ? 2 ? x ? 1 时 , 原不等式可以化为 ? ? x ? 1 ? ? ? x ? 2 ? ? 5 , 即 3 ? 5 , 矛盾 .

所以不等式组
的解集为 ? .

? 2 ? x ? 1, | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 5

当 x ? 1 时 , 原不等式可以化为

?x

? 1 ? ? ? x ? 2 ? ? 5 , 解得 x ? 2 ,

x ? 1,

即不等式组
的解集是
综上所述

| x ? 1 | ? | x ? 2 |? 5

? 2 ,?? ? .
, 原不等到的解集是

??

? , ? 3 ? ? ? 2 , ?? ? .

在学习函数知识 时我们知道,由函数 y ? f ? x ?的 零点与方程 f ? x ? ? 0 的根 的关系, 可以利用函数

? 图象求方程的近似?根.类似地, 我们也可以从函
数的观点 利用函数图象求不等式 , 的解集.

y

解法三

将原不等式转化
3

为 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?5 ? 0. 构造函数 y ? | x ? 1 | ? | x ? 2 | ? 5 .即
?3

2
1

?2

?1

O
-1

1

2

x

? 2x ? 6 , x ? ?2 ;
y ?

-2

? 2, 2x ? 4 ,

? 2 ? x ? 1; x ? 1.

图 1 . 2 ? 12

作出函数的图象 函数的零点是 ?

?图 1 . 2 ? 12 ? , 它是分段线性函数 , 3 , 2 .从图象可知 , 当 x ? ? ? ? , ? 3 ? ? ??
? , ? 3 ? ? ?2 , ? ? ? ? .

?2 , ? ? ? 时 , 有 y
不等式的解集是

? 0 , 即 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ? 5 ? 0 .所以原

思考

例5 中给出了三种解绝对值 不等式的方法 ,

你能概括一下它们各自 的特点吗?

从例5 的解题过程可以看到 上述三种方法各 , 有特点.
解法一利用了绝对值不 等式的几何意义 体现 , 了数形结合思想从中可以发现 理解绝对值的 . , 几何意义, 给予绝对值不等式以准 确的几何解 释是解题关键 .

解法二利用 x ? 1 |? 0, | x ? 2 |? 0 的解, 将数轴分 | 成三个区间然后在这三个区间上将 , 原不等式 转化为不含绝对值的不 等式而解之 体现了分 ,

类讨论思想从中可以发现 以绝对值的 零点 . , " " 为分界点 将数轴分为几个区间的 , 目的是为了 确定各个绝对值中的多 项式的符号 进而去掉 , 绝对值符号 .
解 法 三 通过 构 造函数, 利用函数图象 体现了 , 函数和方程的思想 .从中可以发现 正确求出函 , 数的零点并画出函数图 ( 有时需要考察函数 象 的增减性) 是解题的关键 .
探究 | x ? a | ? | x ? b |? c 型不等式的解法与 x ? a | ? |

| x ? b |? c型不等式的解法完全类 , 你能用一个具体 似 例子说明吗 ?


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