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2014-2015学年度下学期第二次质量检测卷 高二数学(理)


2014-2015 学年度下学期第二次质量检测卷

高二数学(理)
注意事项: 1.本试题共分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,全卷共 150 分,时间 120 分 钟。 2.第 I 卷必须使用 2B 铅笔填涂答题卡相应题目的答案标号,修改时,要用橡皮擦干净。 3.第 II 卷必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指

定位置,在草稿纸和本 卷上答题无效。

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. z 是 z 的共轭复数,若 z ? z ? 2, ( z ? z)i ? 2 ( i 为虚数单位),则复数 z 的虚 部是( A. ? i 2.已知 f ( x) ? ) B. i C. 1 D. ?1

1 f (2 ? ?x) ? f (2) 的值是( ) , 则 lim ?x ?0 x ?x 1 1 A. B. ? C. 2 D. ln 2 4 4 3.下面使用类比推理正确的是( ). A. “若 a ? 3 ? b ? 3 ,则 a ? b ”类推出“若 a ? 0 ? b ? 0 ,则 a ? b ”

B. “若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“ (a ? b)c ? ac ? bc ”
a?b a b ? ? (c≠0) ” c c c n n (ab) ? a nb n ” 类推出“ (a ? b) ? a n ? bn ” D. “ a 1 4.若二项式 ( 2 x ? ) 7 的展开式中 3 的系数是 84,则实数 a = ( x x

C. “若 (a ? b)c ? ac ? bc ” 类推出“

) D.
2 4

A.2

B. 5 4

C.1 )

5.若离散型随机变量 X 的分布列如图,则常数 c 的值为(

X
P

0

1

9c 2 ? c

3 ? 8c

1

2 1 A. 或 3 3

B.

2 3

C.

1 3

D.1

6.用反证法证明命题“设 a , b 为实数,则方程 x 3 ? ax ? b ? 0 ,至少有一个实根” 时要做的假设是( )

A.方程 x 3 ? ax ? b ? 0 没有实根 B.方程 x 3 ? ax ? b ? 0 至多有一个实根 C.方程 x 3 ? ax ? b ? 0 至多有两个实根 D.方程 x 3 ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根 7.用数学归纳法证明“ (n ? 1)(n ? 2) ? ? ? (n ? n) ? 2n ?1? 3? 5 ? ? ? ? ? (2n ?1)(n ? N * ) ” 时,从 n ? k到n ? k ? 1 ,等式左边需要增乘的代数式是( A. 2 k ? 1
2 8.若 f ( x) ? x ? 2

) D.

B.

2k ? 1 k ?1
1 0

C.

( 2k ? 1)( 2k ? 2) k ?1

2k ? 3 k ?1

?

1

0

f ( x)dx ,则 ? f ( x)dx =(
B. ?

)

A. ?1

1 3

C.

1 3

D.

1

9.某校计划组织高二年级四个班级开展研学旅行活动,初选了甲、乙、丙、丁 四条不同的研学线路,每个班级只能在这四条线路中选择其中的一条,且同一条 线路最多只能有两个班级选择,则不同的方案有( A.240 种 B.204 种 C.188 种 ) D.96 种

10 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 : f ( x)? f' ( x) 则不等式 ? 1, f ( ? 0 ), 5

e x f ( x) ? 4 ? e x 的解集为 (
A. (??,0)

) C. (??,0) ? (3,??) D. (0,??)

B. (??,0) ? (0,??)

第 II 卷

非选择题

(共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的
相应位置) 11.把 5 件不同的产品摆成一排,若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻,则不同的摆法有____________种(用数字作答).
2

12.设
(3x ? 2)6 ? a0 ? a1 (2x ?1) ? a2 (2x ?1)2 ? a3 (2x ?1)3 ? a4 (2x ?1)4 ? a5 (2x ?1)5 ? a6 (2x ?1)6

则 a1 ? a3 ? a5 ? ________________. 13.计算 ?
1 0

4 ? x 2 dx =______________.

14.关于 xi (i ? 1,2,3,4,5) 的方程 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 10 ( xi ? N * ) 的所有解的组数 是__________.(用数字作答) 15.已知函数 f ( x) 的导函数 f ?( x ) 的图象如图, 下列说法正确的是 (只填序号)
1 2

①函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 ?1 ; ②函数 f ( x) 在 x ? 0 和 x ? 1 处取得极值;

③函数 f ( x) 在 (??,1) 上是单调递减函数,在 (1, ??) 上是单调递增函数; ④函数 f ( x) 在 (??, 0) 和 (2, ??) 上是单调递增函数,在 (0, 2) 上是单调递减函 数; ⑤函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值,在 x ? 2 处取得极大值.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程
和演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知复数 z ?
(?1 ? 3i)(1 ? i) ? (1 ? 3i) 错误! 未找到引用源。 , i

? ? z ? ai (a ? R) ,当 |

?
z

|? 2 时,求 a 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ?

2 ? 3 ln x, 其中 a 为常数. x

2 2 (Ⅰ)若函数 f ( x) 的图像在点 ( , f ( )) 处的切线与直线 x ? y ? 2 ? 0 垂直, 3 3

3 求函数 f ( x) 在区间 [ ,3] 上的值域; 2
3

(Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 [1,??) 上单调递减,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)已知 10 件不同产品中有 4 件是次品,现对它们进行一 一测试,直至找出所有 4 件次品为止. (Ⅰ) 若恰在第 5 次测试才测试到第一件次品, 第 10 次才找到最后一件次品, 则这样的不同测试方法数是多少? (Ⅱ)若恰在第 5 次测试后,就找出了所有 4 件次品,则这样的不同测试方 法数是多少?

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 满足 Sn ? an ? 2n ? 1 (n ? N * ) , 其中 S n 表示 数列 {a n } 的前 n 项和. (Ⅰ)求出 a1 , a2 , a3 ,并推测数列 {a n } 的表达式; (Ⅱ)用数学归纳法证明所得的结论.

20. (本小题满分 13 分)一个盒子里装有 7 个大小形状相同的球,其中有红色球 4 个,编号分别为 1,2,3,4;白色球 3 个,编号分别为 2,3,4.从盒子中任 取 3 个球(假设取到任何一个球的可能性相同). (Ⅰ)求取出的 3 个球中,含有编号为 2 的球的概率; (Ⅱ)求取出的 3 个球中,最大编号为 3 的概率; (Ⅲ)在取出的 3 个球中,红色球的个数设为 X ,求随机变量 X 的分布列.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? ln x , a ? R . (Ⅰ) 当 a ? 1时,求 f ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅱ) 若关于 x 的方程 f ( x) ? 2ax2 ? 2(a ? 1) x 恰有两个不等的 实根, 求实数 a 的 取值范围; (Ⅲ)设 g ( x) ? e x ? x ? 1 , 当 a ? 0 时, 若对于任意的 x1 ? (0, ??) , x2 ? R , 不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

4

数学试题(理)答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符
合要求的. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 C 5 C 6 A 7 C 8 B 9 B 10 D

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 36 12. ?

63 2

13.

3 ? ? 2 3

14. 126

15. ④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. 解: z ?

(?1 ? 3i )(1 ? i ) ? (1 ? 3i ) (2 ? 4i ) ? (1 ? 3i ) 1 ? i ? ? ? 1? i i i i

??4 分

因为 ? ? z ? ai ? 1 ? i ? ai ? 1 ? (a ? 1)i , 所以

?
Z

?

1 ? (a ? 1)i [1 ? (a ? 1)i ](1 ? i ) 2 ? a ? ai ? ? . 1? i 2 2

所以错误!未找到引用源。 |

?
z

|?

(2 ? a) 2 ? a 2 ? 2 , 所以 a 2 ? 2a ? 2 ? 0 , 2
??12 分

所以 1 ? 3 ? a ? 1 ? 3 .故 a 的取值范围是[ 1 ? 3,1 ? 3 ].
2 3 ? x2 x

17 解: (Ⅰ) f ' ( x) ? a ? 由 题







2 f ' ( ) ? 1 解得 a ? 1 3



2 3 ( x ? 1)( x ? 2) ? f ( x) ? x ? ? 3 ln x ( x ? [ ,3]), ? f ' ( x) ? x 2 x2

由 f ' ( x) ? 0, 得x ? 2. 于是可得下表:

x
f ' ( x)

3 2

3 ( ,2) 2
?
5

2 0

(2,3)

3

?





f ( x)

1 3 ? 3ln 6 2

1 ? 3 ln 2

7 ? 3 ln 3 3

1 3 3 所以函数 f ( x) 在区间 [ ,3] 上的值域为[ 1 ? 3 ln 2 , ? 3ln ] 6 2 2
'

??6 分

2 3 ax 2 ? 3x ? 2 (Ⅱ)f ( x) ? a ? 2 ? ? 由题意得 ax2 ? 3x ? 2 ? 0 在 [1,??) 上恒成立 2 x x x
①a ? 0 时, ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ?
2

2 显然成立; 3

②a ? 0 时,由 a ?1 ? 3 ?1 ? 2 ? 0 得 a ? 1 ,所以此时 a ? 0 ; ③a ? 0 时,显然不成立.

综上得实数 a 的取值范围是 (??,0] .

??12 分

4 18. 解: (Ⅰ)分三步,先排前 4 次测试,只能取正品,有 A6 种不同测试方法;

2 再从 4 件次品中选 2 件排在第 5 和第 10 的位置上测试,则有 A4 种测试方法;最 4 后排余下 4 件的测试位置有 A4 种测试方法.

4 2 4 所以共有不同的测试方法 A6 ? A4 ? A4 ? 103680 (种)

??6 分

(Ⅱ)第 5 次测试恰为最后一件次品,另 3 件在前 4 次测试中出现,从而前 4 次 有一件正品出现.
1 1 3 4 所以共有不同的测试方法 A4 ? (C6 ? C3 ) A4 ? 576(种)

??12 分

3 7 15 1 , a2 ? , a3 ? , 猜测 an ? 2 ? n ??6 分 2 4 8 2 (Ⅱ) ①由( 1 )知当 n ? 1 时,命题成立; ②假设 n ? k 时 , 命题成立,即 1 ak ? 2 ? k , 2

19.解:(Ⅰ) a1 ?



n ? k ?1



,

a1 ? a2 ?

? ak ? ak ?1 ? ak ?1 ? 2(k? 1) ? 1

,



a1 ? a2 ?

? ak ? 2k? 1 ? ak ∴2k+1 2k ? 1 ? ak ? 2ak ?1 ? 2(k? 1) ? 1 ? 2k? 3 ,

6

1 1 , ak ?1 ? 2 ? k ?1 , k 2 2 即当 n ? k ? 1 时,命题成立. 1 根据①②得 n ? N * , an ? 2 ? n 都成立 2

∴ 2ak ?1 ? 2 ? 2 ?

??12 分

20.解 ( Ⅰ ) 设 “ 取 出 的 3 个 球 中 , 含 有 编 号 为 2 的 球 ” 为 事 件 A , 则

P( A) ?

1 2 2 1 C2 C5 ? C2 C5 5 ? 3 C7 7

所以取出的 3 个球中,含有编号为 2 的球的概率为 5 7

??4 分
1 2 2 1 C2 C3 ? C2 C3 9 ? 3 C7 35

(Ⅱ) 设 “取出的 3 个球中, 最大编号为 3” 为事件 B , 则 P( A) ? 所以取出的 3 个球中,最大编号为 3 的概率为 9 35 (Ⅲ)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.

??8 分

P( X ? 0) ? P( X ? 3) ?

3 C3 1 ? 3 C7 35 3 C4 4 ? 3 C7 35



P( X ? 1) ?

1 2 C4 C3 12 ? 3 C7 35



P( X ? 2) ?

2 1 C4 C3 18 ? 3 C7 35



所以随机变量 X 的分布列是:

?? 13 分 21.解:(Ⅰ)当 a ? 1时,函数 f ( x) ? x2 ? 3x ? ln x , 则 f ' ( x) ?
2 x 2 ? 3x ? 1 ( 2 x ? 1)( x ? 1) ? . x x

令 f ' ( x ) ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? 1 ,

1 2

当 x 变化时, f ' ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:
x

(0,

1 ) 2

1 2

1 ( , 1) 2

1

(1, ??)

f ' ( x)

+

0

-

0

+

7

f ( x)



极大值



极小值



∴ f ( x ) 的增区间是 (0,
1 2

1 1 ) 和 (1, ??) ,减区间是 ( , 1) . 2 2

??(2 分)

当 x ? 时, f ( x)极大值 ? f ( ) ? ? ? ln 2 ,当 x ? 1 时, f ( x)极小值 ? f (1) ? ?2 . ? ? 4 分 (Ⅱ)依题意 ax2 ? (2a ? 1) x ? ln x ? 2ax2 ? 2(a ? 1) x , 即 ax2 ? x ? ln x ? 0 . 则 a ?
ln x ? x . x2

1 2

5 4

1 ( ? 1) x 2 ? 2 x (ln x ? x ) 1 ? x ? 2 ln x ln x ? x ? 令 r( x) ? ,则 r ' ( x ) ? x . 4 2 x x3 x

??6 分

1 当 0 ? x ? 1时, r' ( x ) ? 0 ,故 r ( x ) 单调递增, 且 r( ) ? e

?1? 1 e2

1 e ? ?e 2 ? e ? 0 ;

当 x ? 1 时 , r' ( x ) ? 0 , 故 r ( x ) 单调递减 , 且 大值 r( x)max ? r(1) ? 1 . 故要使 y ?

ln x ? x ? 0 . ∴函数 r ( x ) 在 x ? 1 处取得最 x2

ln x ? x 与 y ? a 恰 有两个不同的交点,只需 0 ? a ? 1. x2

∴实数 a 的取值范围是 (0, 1) .

??9 分

(Ⅲ)由 g ( x) ? e x ? x ? 1 ,得 g ' ( x) ? e x ? 1 ,由 g ' ( x ) ? 0 ,得 x ? 0 ;由 g ' ( x ) ? 0 ,得 x ? 0 , ∴ g ( x ) 在 ( ??, 0) 上是减函数,在 (0, ??) 上是增函数.故 g ( x ) min ? g (0) ? 0 . 对 于 任 意 的 x1 ? (0, ??) , x 2 ? R, 不 等 式 f ( x1 ) ≤ g ( x2 ) 恒 成 立 , 则 有 f ( x1 ) ≤
g (0) ? 0 恒成立.

即不等式 f ( x ) ≤ 0 对于任意的 x ? (0, ??) 恒成立.
2ax2 ? ( 2a ? 1) x ? 1 ( 2ax ? 1)( x ? 1) ? , x x 1? x ⑴ 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? ,由 f ' ( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 1;由 f ' ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 , x ∴ f ( x ) 在 (0, 1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是 减函数.∵ f ( x )max ? f (1) ? ?1 ? 0 , f ' ( x) ?

∴ a ? 0 符合题意.

??(10 分)

(2ax ? 1)( x ? 1) ⑵ 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? , x 由 f ' ( x ) ? 0 , 得 0 ? x ? 1 ;由 f ' ( x ) ? 0 , 得 x ? 1 , ∴ f ( x ) 在 (0, 1) 上是增函数 , 在
(1, ??) 上是减函数.

由 f ( x )max ? f (1) ? ?a ? 1 ≤ 0 ,解得 ?1 ≤ a ? 0 ,∴ ?1 ≤ a ? 0 符合题意. 分
8

??12

1 (2ax ? 1)( x ? 1) ,由 f ' ( x ) ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? 1 , 2a x 1 1 1 ① 当 0 ? a ? 时, x1 ? 1 ,由 f ' ( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 1或 x ? ; 由 f ' ( x ) ? 0 ,得 1 ? x ? , 2a 2 2a 1 ∴ f ( x ) 在 ( , ??) 上是增函数,与 f ( x ) ≤ 0 对于任意 x ? (0, ??) 恒成立矛盾. 2a 1 ( x ? 1)2 ②当 a ? 时, f ' ( x) ? ≥ 0 , f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数 ,与 f ( x ) ≤ 0 对于 2 x 任意的 x ? (0, ??) 恒成立矛盾.

⑶ 当 a ? 0 时, f ' ( x) ?

1 1 1 或 x ?1 ; 由 f ' ( x ) ? 0 ,得 ? x ? 1 , 2 2a 2a ∴ f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数,与 f ( x ) ≤ 0 对于任意 x ? (0, ??) 恒成立矛盾.

③ 当 a ? 时, 0 ? x1 ? 1 ,由 f ' ( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 综上所述,实数 a 的取值范围是 [?1, 0] .

??14 分

9


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