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3.4-函数的奇偶性和单调性综合训练(2011)


二期课改----(高一数学)

陆伟忠
2011.12.1.

任意一个 x
f( x)

f(-x)=

任意一个 x - f( x)

f(-x)=

一.增函数,减函数的定义:

如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个变量
x1,x2,当 x1< x2时若都有
f ( x1 ) ? f ( x 2 )

,则称f(x)在这个区

间上是增函数;若都有
上是减函数.
二.单调区间的意义:

f ( x1 ) ? f ( x 2 )

,则称f(x)在这个区间

如果函数y=f(x)在某个区间上是 增函数 或 减函数 ,

则称于y=f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性,这一区
间就叫做y=f(x)的单调区增区间或单调减区间.

三.函数单调性的判定方法:

函数单调性的判定方法有: 定义法 或 图像法 .

四.奇偶函数的单调性的规律:

奇函数在两个对称的区间上具有 相同 的单调性; 偶函数在两个对称的区间上具有 相反 的单调性;

三.判定函数单调性的具体方法:

1.利用定义:即“取值—作差—化积—定号—判断”.
2.利用已学函数的单调性将所求函数转化为已知函数的单调性问题 进行判断. 3.利用函数的图像:图像从左到右逐渐上升,则函数在其区间上位增 函数;反之则为减函数.但此法只适用于图像比较简单易作的函数. 4.利用函数的性质: (1)若f(x),g(x)都为增(或减)函数,则f(x)+g(x)在其公共定义域内

为增(或减)函数; (2)若f(x)为增函数,g(x)都为减函数,则f(x)-g(x)在其公共定义域 内为增函数; (3)若f(x)为减函数,g(x)都为增函数,则f(x)-g(x)在其公共定义域 内为减函数;

1.判断下列函数的奇偶性.

1? x (1)f (x) ? (x - 1) 1- x
2

(非奇非偶)
2

?x(1 ? x) (x ? 0) (2)f (x) ? ? ?x(1 ? x) (x ? 0)
(奇函数)

(3)f (x) ? 1 ? x ? x ? 1

(既奇又偶)

(4) y ? f (x), x ? 0),对于任意的x1,x2.恒有 f (x 1x 2 ) ? ( f (x 1 ) ? f (x 2 )
(偶函数)

解析1: 对抽象函数问题,一般可以利用赋值法进行计算求解.
? x1 ? x 2 ? 1 ? f (1) ? f (1) ? f (1) ? f (1) ? 0 ? f (-1) ? 0;
? x1 ? x,x 2 ? ?1 ? f (-x) ? f (x) ? f (-1) ? f (?x) ? f (x).

? y = f (x)是偶函数.

*变式:判断下列函数的奇偶性.

(1)f (x) ? x ? 2 ? x - 2
(偶函数)

(2)f (x) ?

x x

( x ? 1)0
(奇函数)

? x 2 ? x (x ? 0) (3)f (x) ? ? 2 ?- x ? x (x ? 0)
(非奇非偶)

2.若函数y=f(x)在R上单调递增,且f(m2)>f(-m),则实数m的
取值范围是------------------------( )

A. (-?,-1) B. (0, ) C.(?1, ) D. (-?,-1) ? (0, ). ?? 0 ??

3.下列函数中在上(-∞,0)为增函数的是------(
A. y ? 1 ? x 2 1 C. y ? 1? x B. y ? x 2 ? 2x x D. y ? x ?1

)

k 4.反比例函数 y ? 中,若k>0,则函数的递减区间是 x 若k<0,则函数的递增区间是 .

;

5.若函数 f (x) ? ?x 2 ? 2ax 与 g(x) ?
则a的取值范围是 .

a 在区间上都是减函数, x ?1

例题1:试判断函数 f( x) ? x 2 以证明. *证明如下:

1 在(0,+∞)上的单调性,并加 x

任取:0 < x1 < x2.
2 2

1 1 则有: f( x1 )- f(x2)= (x1 ? x 2 ) ? ( ? ) x1 x 2

1 x 2 - x1 ) ? (x1 - x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ( ) ? (x1 - x 2 )( x1 ? x 2 ? x1 x 2 x1 x 2
1 ? 0 ? x1 ? x 2 ? x1 - x 2 ? 0 , x1 ? x 2 ? ? 0. x1 x 2

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x 2 )

故有: f( x )在(0,+∞)上单调递增.

例题2:试说出函数 y ? -( x - 3)x 的递增区间是
*解析: y ? -( x - 3)x

.

? x 2 ? 3x (x ? 0) ?? 2 ?? x ? 3x (x ? 0)
y

分段作出上述函数的图像, 可直接观察图像知道递增 区间为:

2 1

-2 -1 0 -1

1

2
3 2

3

x

x?

*变式:试说出函数 y ? x 2 - 3 x ? 2 的单调区间.
y

*解析: y ? x 2 - 3 x ? 2
2

?x 2 ? 3x ? 2 (x ? 0) ?? 2 ?x ? 3x ? 2 ( x ? 0)
*作图可得递减区间:

1
-2 -1 0 -1
3 2

1

2

3

x

3? ? 3? ? ? ? ?,? ?,?0, ? 2? ? 2? ? ? *递增区间: ? 3 ? ? 3 ? ,0 ?,? ,?? ? ? 2 ? ? ?2 ?

x??

x?

3 2

例题3:若f(x)是定义在[-1,1]上增函数,且f(x-1)<f(x2-1).求
x的取值范围.

*解析: *理解题意就可把问题转化为不等式组求解:

? ?1 ? x ?1 ? 1 ? ? ?? 1 ? x 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1, 2 ? x ? 1 ? x2 ? 1 ?

?

?

*变式:若f(x)是定义在[0,+∞)上增函数,求解不等式: f(x)-f(-x+2).

例题4:已知奇函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),当x>0上时, f(x)=x|x-2|.求f(x)的解析式.

*解析:

当x<0时: ? ?x ? 0
? f ( ? x) ? - x - x - 2 ? - x x ? 2

又因f(x)是奇函数: ? f (?x) ? ? f (x)
? ? f ( x) ? ? x x ? 2 ? f ( x) ? x x ? 2

?x x ? 2 ? ? f (x) ? ? 0 ?x x ? 2 ?

(x ? 0) (x ? 0) (x ? 0)

*变式:已知函数f(x)是奇函数,当1≤x≤4时,f(x)=x2-4x+5, 则当-4≤x≤-1时,函数 f(x)= .

例题5:已知函数f(x)是定义在(-1,+1)上的奇函数,且在定义

域内递减,求解不等式:f(1-a)+f(1-a2)<0.

解析6: f (1 - a) ? f (1 - a 2 ) ? 0 ? f (1 - a) ? f (a 2 ? x).
? ?1 ? a ?1 ? 1 ? ? ?? 1 ? a 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? a ? a2 ? 1 ? ? 0?a?2 ? ? ?? 1 ? a ? 1,a ? 0 ? ?1 ? a ? 1 ?

? a ?(0, ). 1

*变式:已知定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在[0,2]上递减,
若f(1-m)<f(m),求m的取值范围. 解析: 由于f(x)是偶函数: ? f ( - x) ? f (x) ? f ( x ).
? f (1 - m) ? f (m) ? f ( 1 ? m ) ? f ( m ).

又因f(x)在[0,2]上递减:
? 1?m ? m ? ? ?? 2 ? m ? 1 ? 2 ? ?2?m ? 2 ?

1 ? ?1 ? m ? . 2

*变式:已知定义域为R的函数f(x)在区间(8,+∞)上为减函
数,且函数y = f(x+8)为偶函数,则有( D ).

A. f( 6) ? f( 7) B. f( 6) ? f( 9) C. f( 7) ? f( 9) D. f( 7) ? f(10).

例题6:已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-5,-1)上 是增函数,求证:f(x)在(1,5)上是减函数.

*变式:已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在(-5,-1)上 是增函数,求证:f(x)在(1,5)上是增函数.

*练习1:若函数f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f (x) ? f ( ?x) f(2)=0,则 ). ? 0 的解集为( x A.(-2, )?( 0, ) 0 2 B. (-?,-2)?( 0, ) 2

C.(-?, 2)?( 2, ) ? ??

D. (-2, )?( 2, ). 0 ??

f (x) ? f ( ?x) ?0y 解析: 由题意可知不等式: x 2f (x) f (x) ? ?0? ?0 x x 2 由题意可作出函数示意图,数形 1 结合分析可知不等式解集:
-2 -1 0 -1 1 2 3 x

*练习2:如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减
函数,则实数a的取值范围是--------------( )

A. ?- 3, ? B. ?- ?,-3? ??

C. ?- ?, ? 5

D. ?3, ?. ??

*练习3:定义在R上的函数f(x)满足 f(x)= -f(x),当 m>0 时,
f(x+m)<f(x),则不等式f(x)+f(x2)<0的解集是-( )

A. (-?,-1) ? (0, ) B. (-1, ) C.(0, ) D. (-1, ). ?? 0 1 1

*练习4:若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减 函数,且f(2)= 0,则使 f(x)<0的x的取值范围是--( )

A. (-?, ) B. (2, ) C.(??,-2) ? (2, ) D. (-2, ). 2 ?? ?? 2

*练习5:已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,其定义域[a-1,2b], 1 则 f( )= . 2

*练习6:若已知函数f(x)=ax3+bx-8,且f(-2)=0,试求f(2)的值.

*练习7:已知函数f(x)在R上是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-x,

求当x≤0时,f(x)的解析式.

*练习8:已知函数 f (x) ? 并加以证明.

x ( x ? R) ,试求出f(x)的单调区间, 2 x ?1

1 1 *练习9:已知函数 f (x) ? ? ,(a ? 0, x ? 0 ). a x

(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; 1 1 (2)若f(x)在[ , ]的值域是[ , ],求a得值. 2 2 2 2


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