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2014高考数学(文)二轮专题突破课件(浙江专版)第2部分 专题2 第2讲 填空题解题4技法


第二讲

填空题解题 4 技法

1.数学填空题的特点 填空题缺少可选择的信息,故解答题的求解思路可以原 封不动地移植到填空题上.但填空题既不用说明理由,又无 需书写过程,因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于 填空题.

填空题大多能在课本中找到原型和背景, 故可以化归为熟知的 题目或基本题型.填空题不需过程,不

设中间分值,更易失分,因 而在解答过程中应力求准确无误. 填空题虽题小, 但跨度大, 覆盖面广, 形式灵活, 可以有目的、 和谐地结合一些问题,突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运 用知识的能力和基本运算能力,突出以图助算、列表分析、精算与 估算相结合等计算能力.要想又快又准地答好填空题,除直接推理 计算外,还要讲究一些解题策略,尽量避开常规解法.

2.数学填空题的类型 根据填空时所填写的内容形式,可以将填空题分成两种类型: 一是定量型,要求考生填写数值、数集或数量关系,如:方程 的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线 段长度和角度大小等. 由于填空题和选择题相比, 缺少可选择的信 息,所以高考题中多数是以定量型问题出现. 二是定性型, 要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定 的数学对象的某种性质,如:给定二次曲线的焦点坐标、离心率 等.近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.

3.解数学填空题的原则 解答填空题时,由于不反映过程,只要求结果,故对正确 性的要求比解答题更高、更严格. 《考试说明》中对解答填空 题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题 时要做到: 快——运算要快, 力戒小题大做; 稳——变形要稳, 不可操之过急;全——答案要全,力避残缺不齐;活——解题 要活,不要生搬硬套;细——审题要细,不能粗心大意.

直 接 法
此类填空题的特点是必须根据题目中给出的条件, 通过数 学计算找出正确答案.解决此类问题需要直接从题设条件出 发, 利用有关性质或结论等, 通过巧妙变化, 简化计算过程. 解 题过程要灵活地运用相关的运算规律和技巧, 合理转化、 巧妙 处理已知条件.

[例 1] 若△ABC 的三个内角满足 sin2A=sin2B+sin B· C+ sin sin2C,则∠A=________.

[思维流程]

[解析]

a b c 由正弦定理sin A=sin B=sin C,

sin2A=sin2B+sin Bsin C+sin2C 可化为 a2=b2+bc+c2,即 b2+c2-a2=-bc, b2+c2-a2 1 故 cos A= 2bc =-2, 2π 又因为∠A∈(0,π),所以∠A= 3 .
[答案] 2π 3

总结 ——————————规律· —————————————
直接法的运用技巧 直接法是解决计算型填空题最常用的方法, 在计算过程中我 们要根据题目的要求灵活处理, 并注意一些解题规律和解题技巧 的灵活应用,通过合理转化将计算过程简化,从而得到结果.

1.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x∈R 都有 f(x)= f(x+4),当 x∈(-2,0)时,f(x)=2x,则 f(2 013)=_________.

解析:由 f(x)是定义在 R 上的奇函数可知,f(1)=-f(-1)= 1 -2 =-2.由 f(x)=f(x+4)可知,函数 f(x)是周期为 4 的周期
-1

1 函数,所以 f(2 013)=f(503×4+1)=f(1)=-2. 1 答案:-2

特 殊 值 法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结 论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以 从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当的特殊值(特殊函 数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程和特殊 模型等)进行处理, 从而得出探求的结论. 为保证答案的正确性, 在运用此方法时,一般应多取几个特例.

[例 2]

如图,在△ABC 中,点 M 是

BC 的中点,过点 M 的直线与直线 AB、 ??? ? AC 分别交于不同的两点 P、Q,若 AP =

???? ???? ???? 1 1 λ AB , AQ =μ AC ,则 λ+μ=________.
[思维流程]

[解析]

1 1 由题意可知, λ+μ的值与点 P、Q 的位置无关,而当

1 1 直线 BC 与直线 PQ 重合时,有 λ=μ=1,所以 λ+μ=2.

[答案]

2

总结 ——————————规律· —————————————
应用特殊值法的注意事项 求值或比较大小关系等问题均可运用特殊值法求解, 但要 注意此种方法仅限于所求值只有一种的填空题, 对于开放性的 问题或者多种答案的填空题,则不能使用该种方法求解.

2.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,

??? ???? ??? ??? ? ? ? ???? ??? ??? ? ? ??? ???? ? 解析:法一:∵ AP · = AP ·AB + BC )= AP · + AP · = ( AC BC AB ? ? ??? ??? ??? ??? ???? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ( AP · + AP ·BD + BC )= AP · +2 AP · . AB BD AB ??? ??? ? ? 又 AP⊥BD,∴ AP · =0. BD ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? 2 ? 又∵ AP · =| AP || AB |cos∠BAP=| AP | , AB ??? ???? ? ??? 2 ? ∴ AP · =2| AP | =2×9=18. AC
法二:把平行四边形 ABCD 看成正方形,则点 P 为对角线的交点, ??? ???? ? AC=6,则 AP · =18. AC

??? ???? ? 垂足为 P,且 AP=3,则 AP · =________. AC

答案:18

图 解 法
对于一些含有几何背景的填空题,若能根据题目中的条件,作 出符合题意的图形,并通过对图形的直观分析、判断,即可快速得 出正确结果.这类问题的几何意义一般比较明显,如一次函数的斜 率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间的距离等,求解的关键 是明确几何含义,准确规范地作出相应的图形,虽然作图要花费一 些时间,但只要认真将图形作完,解答过程就会简便很多.

[例 3]

不等式 4-x2-kx+1≤0 的解集非空,则 k 的取

值范围为________.
[思维流程]

原不等 构造函数 作出函 利用k的几何 → → 式变形 f?x?,g?x? 数图像 → 意义求范围

[解析]

由 4-x2 - kx+ 1≤0 , 得 4-x2 ≤kx - 1 , 设 f(x) =

4-x2,g(x)=kx-1,显然函数 f(x)和 g(x)的定义域都为[-2,2].令 y= 4-x2,两边平方得 x2+y2=4,故函数 f(x)的图像是以原点 O 为 圆心,2 为半径的圆在 x 轴上及其上方的部分. 而函数 g(x)的图像是直线 l:y-kx-1 在 [-2,2]内的部分,该直线过点 C(0,-1),斜 率为 k. 如图,作出函数 f(x),g(x)的图像,不等式的解集非空,即直线 l 和半圆有公共点,可知 k 的几何意义就是半圆上的点与点 C(0,-1) 连线的斜率.

0-?-1? 1 由图可知 A(-2,0),B(2,0),故 kAC= =-2, -2-0 0-?-1? 1 kBC= =2. 2-0 1 1 要使直线和半圆有公共点,则 k≥2或 k≤-2. 所以 k
[答案]
? ? 1? ?1 的取值范围为?-∞,-2?∪?2,+∞?. ? ? ? ?
? ? 1? ?1 ?-∞,- ?∪? ,+∞? 2? ?2 ? ?

总结 ——————————规律· —————————————
利用图解法解决问题的步骤 图解法就是将不等式变形转化为两个函数图像的相对位置 关系,直接根据图形求解不等式的方法,主要应用于求解不等 式中含有两类不同性质的函数解析式的不等式问题.利用图解 法解决此类问题的基本步骤如下: 第一步:归类变形.根据不等式的结构特征进行归类,将 不等式变形为 f(x)>(<)g(x)或 f(x)≥(≤)g(x)的形式. 第二步:构造函数.根据变形后的不等式构造相应的函 数 y=f(x)与 y=g(x).

第三步:作图转化.根据函数的性质分别作出两个函数的 图像. 第四步:写出结论. 第五步:回顾反思.准确画出函数图像是解题的关键,作 函数图像时,要注意函数的定义域、单调性、奇偶性和周期性 等性质的应用,此类问题多与解析几何中的直线、圆、椭圆等 相联系,灵活利用几何意义确定不等式的解集.

3.若直线 y=x+m 与曲线 y=- x2-4有且仅有一个公共点, 则实数 m 的取值范围为________.
解析:由 y=- x2-4,得 x2-y2=4(y≤0), 它是双曲线 x2-y2=4 在 x 轴下方的部分曲线 (包括与 x 轴的交点),如图所示,它的渐近 线方程为 y=± x(图中虚线),直线 y=x+m 与 之平行,要使直线 y=x+m 与曲线 y=- x2-4有一个交点,把 直线 y=x+m 由下向上平移,容易得 m∈(-∞,-2]∪(0,2].

答案:(-∞,-2]∪(0,2]

构 造 法
用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造 出数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察 联想、 分析综合的基础之上的, 首先应观察题目, 观察已知(例 如代数式)形式上的特点,然后积极调动思维,联想、类比已 学过的知识及各种数学结构、数学模型,深刻地了解问题及问 题的背景(几何背景、代数背景),从而构造几何、函数、向量 等具体的数学模型,达到快速解题的目的.

[例 4]

(2013· 济南模拟)已知三个互不重合的平面 α、β、

γ,α∩β=m,n?γ,且直线 m、n 不重合,由下列三个条件: ①m∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③m?γ,n∥β. 能推得 m∥n 的条件是________.
[思维流程]

构造长方 把已知的线 → 面位置关系移 → 判断m、n → 得结论 体模型 植到长方体上 是否平行

[解析]

构建长方体模型,如图,观察选

项特点,可优先判断条件②:取平面 α 为平面 ADD′A′,平面 β 为平面 ABCD,则直线 m 为直线 AD.因 m∥γ,故可取平面 γ 为平面 A′B′C′D′,因为 n?γ 且 n∥β,故可取直线 n 为直线 A′B′. 则直线 AD 与直线 A′B′为异面直线,故 m 与 n 不平行.对于①: α、β 取②中平面,取平面 γ 为平面 BCC′B′,可取直线 n 为直线

BC, 故可推得 m∥n; 对于③: β 取②中平面, γ 为平面 AB′C′D, α, 取 取值线 n 为直线 B′C′故可推得结论.

[答案]

①或③

—————————规律· 总结—————————————
构造法的应用 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用,需要根 据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向.一般通过构造 新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的 问题.在立体几何中,补形构造是最为常用的解题技巧.通过 补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解,如将 三棱锥补成特殊的长方体等.

4.如图,已知球 O 的面上有四点 A、B、C、D,DA⊥ 平面 ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC= 2,则球 O 的 体积等于________.
解析:如图,以 DA,AB,BC 为棱长构造正方体,设正方体的外接球球 O 的半径为 R,则正方体的体对角线长即为球 O 的直径,所以 CD= 6 4πR3 ? 2? +? 2? +? 2? =2R,所以 R= 2 ,故球 O 的体积 V= 3 = 6π.
2 2 2

答案: 6π

1. 填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以 及思维能力和分析问题、解决问题的能力.填空题只要求直接 填写结果, 不必写出计算或推理过程, 其结果必须是数值准确、 形式规范、表达式(数)最简.

2.填空题的主要特征是题目小、跨度大,知识覆盖面广,形 式灵活, 突出考查考生准确、 严谨、 全面、 灵活运用知识的能力. 近 年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口,出现了一些创新题, 如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等,这些题 型的出现,使解填空题的要求更高、更严了. 3.填空题不同于选择题,由于没有非正确的选项干扰,因而 不必担心“上当受骗”而误入歧途. 但填空题最容易犯的错误, 要 么答案不当,要么答案不全.

填空题技法专练


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