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阿波罗尼斯圆的应用及探究


阿波罗尼斯圆的应用及探究
教学目标:(1)回忆求轨迹方程的一般步骤,能根据已知条件,求满足条件动点的轨迹方程及轨迹; (2)能够探索归纳得出阿波罗尼斯轨迹定理、能够运用此定理来解决一些简单问题; (3)在已有经验的基础上,对阿波罗尼斯定理进一步探究得出一些特殊结论,体会探究的经历,渗透数 形结合、归纳类比的数学思想. 问题 在同一平面内,已知两定点 A? ?2,0? , B ? 4,0? ,若动点 P 满足

PA 1 ? , 则点 P 的轨迹方程是 PB 2

________.其轨迹为_________.

变式 如果将题目中“

PA 1 PA ? ”改为“ ? ? ? ? ? 0且? ? 1? ”呢? PB 2 PB

练习(2008 年江苏高考题)在 ?ABC 中,已知 AB ? 2, CA ? 2CB ,则 ?ABC 面积的最大值是_______

2 例 1、 已知点 A? ?2,0? , P 是圆 C : ? x ? 4 ? ? y ? 16 上任意一点,问在平面上是否存在 B , 使得 2

PA 1 ? ? PB 2

若存在,求出点 B 的坐标;若不存在,请说明理由.

变式

2 已 知 点 P 是 圆 C : ? x ? 4? ? y ? 1 6上 任 意 一 点 , 问 在 x 轴 上 是 否 存 在 两 定 点 A, B , 使 得 2

PA 1 ? ?若存在,求出两定点 A, B 的坐标;若不存在,请说明理由. PB 2

2 例 2、已知 A? ?2,0? , B ? 4,0? , P 是圆 C : ? x ? 4 ? ? y ? 16 上任意一点,问是否存在这样的常数 ? ,使 2



PA ? ? ?若存在,求出常数 ? 的值;若不存在,请说明理由 PB

对以上问题的反思:对于圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上任意一点 P,和定点 A( x0 ,0) ,是否在 x 轴上存在不同于 A 点 的点 B ,使得 变式一

| PB | 为常数 ? ? | PA | 求证: 对于圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上任意一点 P 和定点 A( x0 ,0) ( x0 ? 0, x0 ? ?r ) ,在 x 轴上存在唯 | PB | r r2 为常数 ? ,且 B( ,0) , ? ? | PA | | x0 | x0

一一点 B,使得

变式二

求证:

对 于 圆 x2 ? y2 ? r 2 上 任 意 一 点 P , 在 x 轴 上 存 在 不 同 的 两 点

A( x1 ,0), B( x2 ,0) ( x1 ? 0, x2 ? 0) ,使得

r | PB | 2 为常数 ? (? ? 1) ,且 x1 ? ? , x 2 ? ? x1 ? | PA |

变式三

求证: 对于圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上任意一点 P 和定点 A(0, y0 ) ( y0 ? 0, y0 ? ?r ) ,在 y 轴上存在唯

一一点 B,使得

| PB | r r2 为常数 ? ,且 B(0, ) , ? ? | y0 | | PA | y0

注 1. 可以由变式二类似地到什么结论,请你把它写下来,并加以证明
2. 你还能得到更一般的结论吗?


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