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高二趣味数学竞赛试卷


崇信三中高二趣味数学竞赛试题
班级 一、选择题(9×3 分=27 分)
1、猩猩最讨厌什么线( ) A 中位线 B 平行线 C 角平分线 D 射线 2、衣柜里有 6 只白色袜子,6 只黑色袜子。它们除颜色不同之外,其它都一样。如果身处漆黑 中,由衣柜取出两只颜色相同的袜子,最少要从衣柜中拿出几只袜子,才能确保其中有两只袜 子颜色相同呢?( )A 1 次 B 2

次 C 3次 D 4次 3、1874 年,德国数学家康托尔创立了集合论。到 19 世纪末,全部数学几乎都建立在集合论的 基础上。就在人们认为数学的基础已经很牢固的时候,集合论出现了一系列自相矛盾的结果, 即悖论!于是,数学的基础被动摇了,这就是所谓的第三次“数学危机” 。请选出下面哪个选 项不属于悖论( ) A 有个虔诚的教徒,他在演说中口口声声说上帝是无所不能的,什么事都做得到。一位过路 人问了一句话: “上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗?” B 英国数学家罗素构造了一个集合 S:S 由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问: S 是否属于 S 呢? C “今天天气很好,是不是?” D 一天,萨维尔村理发师挂出了一块招牌:村里所有不是自己理发的男人都由我给他们理 发。于是有人问他: “您的头发谁给理呢?”理发师顿时哑口无言。 4、勾股定理还有一种叫法( ) A 毕达哥拉斯定理 B 孙子定理 C 欧拉定理 D 祖冲之定理 5、祖冲之是我国古代伟大的数学家,他在公元前 400 多年计算出了圆周率 ? 的近似值,这个近 似值精确到小数的 7 位, 这个记录直到 15 世纪才由阿拉伯数学家卡西打破。 祖冲之还给出了 ? 的分数形式,那么下面那个是他给的分数形式( ) 333 355 103993 10 A B C D 107 113 33102 3 6、数学史上曾经发生过三次数学危机,其中第 3 题中的集合悖论的发现称之为第三次危机, 那么前两次危机时什么( ) A 第一次危机是无理数的出现,第二次危机是十七世纪微积分诞生后,由于推敲微积分的 理论基础问题,数学界出现混乱局面,也就是无穷小到底是不是 0 B 第一次危机是无理数的出现,第二次危机是 ? 能不能用分数表示 C 第一次危机是费马提出的猜想:当 n>2 (n ? N ) 时,方程 xn ? y n ? z n 没有正整数解,第二

姓名

考号

次危机是十七世纪微积分诞生后,由于推敲微积分的理论基础问题,数学界出现混乱局面,也 就是无穷小到底是不是 0 7、你目前有 27 枚金币,但有一枚较轻的伪币混在其中,现在想要用天平秤出伪币。最少用天 枰称几次就可以确定伪币( ) A 2次 B 3次 C 4次 D 5次 8、 、某地有两个村庄王庄和李庄,王庄的人在星期一、三、五说谎,李庄的人在星期二、四、

六说谎。在其他日子他们说实话。一天,外地来的游客来到这里,见到两个人,分别向他们提 出关于日期的问题,两个人都回答说,“前天是我说谎的日子。” 已知被问的两个人分别来自王庄和李庄,以下哪项判断是对的( ) A 这一天是星期五或星期日 B 这一天是星期二或星期四 C 这一天是星期一或星期三 D 这一天是星期四或星期五 9、有一个两人做的游戏:轮流报数,报出的数不能超过 8(也不能是 0) ,把两个人报出的数 连加起来,谁报数后使和为 88,谁就获胜。如果让你先报数,你第一次应该报几才能一定获胜 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题(8×4 分=32 分) 10、猜数学名词: (1)考试不作弊: (2)剑穿楚霸王: (3)一分钱一分货: (4)坐船须知: 从下面备选数学名词中,选择合适的一个词填入上面的横线中: 恒等 运算 绝对值 配方 真分数 公差 分母 乘法 对顶角 通项 11、有只兔子掉进 30 公尺深的干井里。它并不习惯待在这种地方,因此决定奋力往上爬。但 兔子爬墙的能力不太好,它发现自己努力往上爬了一天,上升了 3 公尺却又滑下 2 公尺。休息 了一夜之后,它又继续努力,结果一样。它要几天才能爬出干井? 答: 12、在横线中填入适当的数。定义一种对应关系: “ ” , 1 5 2 50 3 500 4 5000 5 13、4 张牌算 24 点!只能用加减乘除,每张牌只能用一次。请计算如何由下面这些数计算得到 24(在横线上写出计算过程) : 5, 5, 5, 1 计算过程: 14、下面加法竖式中的每一个汉字都代表一个数字,不同的汉字代表不同的数字,相同的汉字 代表相同的数字。当他们各代表什么数字时,算式成立?将答案写在右边的横线上。 北京奥运 京奥运 奥运 + 运 2008 答: 15、小明是位热心人,常常在空闲的时间,帮人修理钟表。有一次,因为有急事,把时针当成 分针,纷争当成时针装在钟上。这样一来,这只钟就不准了。不过,这只钟并不是绝对不准, 也有准的时候。 (1)那么在什么情况下,装错了的针的钟是准的? (2)如果正当 12 点时,这只钟对准了标准时间,24 小时内,它将有几次和标准时间是一致 的?

16、将 1—9 九个连续的自然数分别填入三角形边上的圆圈里,使每条边上的四个数字的和等 于 17。

19、 (10 分)欧拉是一个伟大的数学家,数学上有许多许多的欧拉公式和欧拉定理!其中有一 个公式很有趣: eix ? cos x ? i sin x ,其中 e 是自然对数,i 是虚数单位( i ? ?1 或 i 2 ? ?1 ) x 可 , 以是任何实数。如果令 x ? ? 时,可以得到 ei? ? ?1 ,这多么的神奇啊,数学中最重要、最基本 的四个量------1,虚数单位 i ,圆周率 ? 和自然对数 e 竟然有这么一个简洁的式子联系在了一起!
eix ? cos x ? i sin x ,这个式子还有一个很巧妙的作用——证明三角函数中的一些公式,那么,请

你用上面的式子证明二倍角公式: sin 2 x ? 2sin x cos x 17、下面一行是什么? 1 11 21 1112 3112 211213 312213 ??? 答:

cos 2 x ? cos2 x ? sin 2 x

(提示,复指数 eix 满足指数的运算性质;若 a ? bi ? c ? di ,则 a ? c, b ? d ) 20、 分)在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标是根据下图制作的。该图是我国古代 (8 数学家赵爽(东汉末至,三国时代)为了证明勾股定理而发明的。他的证明主要是依据几何图 形面积的换算关系。已知在正方形中 ABCD 中, ?ABE、?BFC、?CGD、?DHA 是全等的直角 三角形,并且 AB=c,AE=a,BE=b,求证: a 2 ? b2 ? c2

一、选择题: 序号 选项 二、填空题: 10、 12、 15、 三、简答题(共 41 分)
18、 分)有一个农夫,带了一包米,一只鸡和一只狗准备要过河。当农夫不在时,鸡会吃米, (6 狗会吃鸡,河边有一艘船,农夫在船上一次只能带一样东西,请问农夫该怎么过河?(请以第 一步做什么,第二步做什么??这样的格式回答问题)

1

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11、 13、 16、 14、 17、
21、(10 分) 在漆黑的夜里,四位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助 手电筒的话,大家是无论如何也不敢过桥去的。不幸的是,四个人一共只带了一只手电筒,而 桥窄得只够让两个人同时通过。如果各自单独过桥的话,四人所需要的时间分别是 1,2,5, 8 分钟;而如果两人同时过桥,所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。 问题是,你如何设计一个方案,让用的时间最少。 22、(7 分)一个小猴子边上有 100 根香蕉,它要走过 50 米才能到家,每次它最多搬 50 根 香蕉,(多了就被压死了),它每走 1 米就要吃掉一根,请问它最多能把多少根香蕉搬到家 里?


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