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23.3实际问题与一元二次方程的实际运用1


教学目标: 1、会列一元二次方程解应用题; 2、进一步掌握解应用题的步骤和关键;

3、通过一题多解使学生体会列方程的实质, 培养灵活处理问题的能力.
重点:列方程解应用题. 难点:会用含未知数的代数式表示题目里的中 间量(简称关系式);会根据所设的不 同意义的未知数,列出相应的方程。

一、复习 列方程解应用题的一般步骤?

第一步:弄清题意和题目中的已知数、未知数, 用字母表示题目中的一个未知数; 第二步:找出能够表示应用题全部含义的相等 关系; 第三步:根据这些相等关系列出需要的代数式 (简称关系式)从而列出方程; 第四步:解这个方程,求出未知数的值; 第五步:在检查求得的答数是否符合应用题的 实际意义后,写出答案(及单位名称)。

课前热身1:二中小明学习非常认真,学习成绩直线上升, 第一次月考数学成绩是a分,第二次月考增长了10%, 第三次月考又增长了10%,问他第三次数学成绩是多少?
分析: 第一次

a

aX10% 第二次

a+aX10%= a(1+10%)

a(1+10%)X10% 第三次

a(1+10%)+ a(1+10%) X10% = a(1+10%)2

课前热身2:某经济开发区今年一月份工业产 值达50亿元,三月份产值为72亿元,问二月、 三月平均每月的增长率是多少? 解:设平均每月增长的百分率为 x, 50(1+x)2=72 根据题意得方程为 36 2 可化为: ?1 ? x ? ?
25 解得: x1 ? 0.2, x 2 ? ? 2.2

但 x ? ? 2.2 不 合 题 意 , 舍 去 ? x ? 0.2 ? 20%
答:二月、三月平均每月的增长率是20%

例1:平阳按“九五”国民经济发展规划要求,2003年 的社会总产值要比2001年增长21%,求平均每年增长的 百分率.(提示:基数为2001年的社会总产值,可视为 a)

分析:设每年增长率为x,2001年的总产值为a,则
2001年 2002年 2003年

a

a(1+x)

a(1+x) 2

a

增长21%

a+21%a

a(1+x) 2 =a+21%a

解:设每年增长率为x,2001年的总产值为a,则 a(1+x) 2 =a+21%a a (1+x) 2 =1.21 a (1+x) 2 =1.21 1+x =1.1 x =0.1

答:平均每年增长的百分率为10% .

练习1:某药品经两次降价,零售价降为原来 的一半.已知两次降价的百分率一样,求每次 降价的百分率.(精确到0.1%) 解:设原价为1个单位, 每次降价的百分率为 x. 根据题意,得 ?1 ? x ? 2 ? 1
解这个方程,得
但x ? 1? ? x ? 1? 2 2 2 2 ? 29.3%.

2

x1 ? 1 ?

2 2

, x2 ? 1 ?

2 2

>1不 合 题 意 , 舍 去

答:每次降价的百分率为29.3%.

练习2:某药品两次升价,零售价升为原来的 1.2 倍,已知两次升价的百分率一样,求每次升价的 百分率(精确到0.1%) 解,设原价为 a 元,每次升价的百分率为 x , 根据题意,得 2

a (1 ? x ) ? 1.2 a
30 5

解这个方程,得

x ? ?1 ?

由于升价的百分率不可能是负数, 所以 x ? ? 1 ? 30 不合题意,舍去
5

? x ? ?1 ?

30 5

? 9.5%
答:每次升价的百分率为9.5%.

练习3.小红的妈妈前年存了5000元一年期 的定期储蓄,到期后自动转存.今年到期扣 除利息税(利息税为利息的20%),共取得 5145元.求这种储蓄的年利率.(精确到0.1%)

练习4.市第四中学初三年级初一开学时就参 加课程改革试验,重视学生能力培养.初一阶 段就有48人在市级以上各项活动中得奖,之 后逐年增加,到三年级结束共有183人次在 市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年 增长率.

一元二次方程及应用题

1、直角三角形问题:(勾股定理) 2、体积不变性问题: 3、数字问题: ab ? 10 a ? b
n ( n ? 1)

4、互赠礼物问题:

2

n ( n ? 1)

5、增长率问题:

a (1 ? x ) ? b
2

a ? a (1 ? x ) ? a (1 ? x ) ? b
2

典型练习题
1、一个两位数个位数字比十位数字大1,个位数字与十位数字 对调后所得的两位数比原数大9,求:这个两位数
2、一件商品原价200元经过两次降价后162元,求:平均降价的 百分比 3、某班同学在圣诞节期间互赠礼物182件,求:这个班级的人 数

4、某校进行乒乓球单循环比赛,共比赛55场,问:共有多少名 同学参加
5、 一名同学进行登山训练,上山速度为2千米/小时,下山速度 为6千米/小时,求:往返一次的平均速度

面积问题

有关面积问题:
常见的图形有下列几种:

例1、用22cm长的铁丝,折成一个面积 为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.
解:设这个矩形的长为xcm,则宽为
22 2 ? x(cm).

根据题意,得 x (

22 2

? x ) ? 30

整理后,得x2-11x+30=0

解这个方程,得x1=5,x2=6
由x1=5得
22 2 ? x ? 6 (与题设不符,舍去) 22 2 ?x?5

由x2=6,得

答:这个矩形的长是6cm,宽是5cm。

例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上, 修筑同样宽的两条互相垂直的道路,余下部 分作为耕地,要使耕地面积为540米2,道路 的宽应为多少?

20m

32m

分析:此题的相等关系是 矩形面积减去道路面积等 于540米2。 解法一、

x米
20m

如图,设道路的宽为x米, 2 则横向的路面面积为 32x 米 纵向的路面面积为 20x 米2 。

32m



所列的方程是不是 32 ? 20 ? (32 x ? 20 x ) ? 540 ?
注意:这两个面积的重叠部分是 x2 米2 图中的道路面积不是 ?32 x ? 20 x ? 米2,

而是从其中减去重叠部分,即应是?32 x ? 20 x ? x 2 ? 米2 所以正确的方程是:32 ? 20 ? ?32 x ? 20 x ? x 2 ? ? 540
2 化简得,x ? 52 x ? 100 ? 0 , x1 ? 50 , x 2 ? 2 .

其中的 x=50超出了原矩形的长和宽,应舍去.
取x=2时,道路总面积为: ?32 ? 2 ? 20 ? 2 ? 22 ? =100 (米2) 耕地面积= ?32 ? 20 ? 100 ? = 540(米2) 答:所求道路的宽为2米。

解法二: 我们利用“图形经过移动,它的面 积大小不会改变”的道理,把纵、横两 条路移动一下,使列方程容易些(目的 是求出路面的宽,至于实际施工,仍可 按原图的位置修路)

xm

如图,设路宽为x米, 20m 横向路面为 32x 米2 , 纵向路面面积为 20x 米2 。
32m

xm

耕地矩形的长(横向)为(32-x) 米 , 耕地矩形的宽(纵向)为 (20-x) 米 。 相等关系是:耕地长×耕地宽=540米2

即 ?32 ? x ??20 ? x ? ? 540 . 化简得:x ? 52 x ? 100 ? 0 , x1 ? 50 , x 2 ? 2
2

再往下的计算、格式书写与解法1相同。

练习1:用一根长22厘米的铁丝,能否折 成一个面积是30厘米的矩形?能否折成一 个面积为32厘米的矩形?说明理由。
2:在一块长80米,宽60米的运动场外 围修筑了一条宽度相等的跑道,这条 跑道的面积是1500平方米,求这条跑 道的宽度。

3. 如图,在长为40米,宽为22米的矩 形地面上,修筑两条同样宽的互相垂直 的道路,余下的铺上草坪,要使草坪的 面积为760平方米,道路的宽应为多少?
40米

22米

4、如图,在宽为20m,长为32m的矩形耕地 上,修筑同样宽的三条道路,(两条纵向, 一条横向,横向与纵向相互垂直),把耕地 分成大小相等的六块试验地,要使试验地面 积为570m? ,问道路的宽为多少?

例3、求截去的正方形的边长
?

用一块长28cm、宽 20cm的长方形纸片,要 在它的四角截去四个相等的小正方形,折成 一个无盖的长方体盒子,使它的底面积为 180cm2,为了有效地利用材料,求截去的 小正方形的边长是多少cm?

? ?

求截去的正方形的边长 分析 设截去的正方形的边长为xcm之后,关键在于列 出底面(图中阴影部分)长和宽的代数式.结合 图示和原有长方形的长和宽,不难得出这一代数 式.
28-2x 20cm 28cm 20-2x

求截去的正方形边长
?

解:设截去的正方形的边长为xcm,根据题意,得
(28-2x)(20-2x)=180 x2-24x+95=0 解这个方程,得:x1=5,x2=19 经检验:x2=19不合题意,舍去. 所以截去的正方形边长为5cm.

例4:建造一个池底为正方形,深度为2.5m

的长方体无盖蓄水池,建造池壁的单价是 120元/m2,建造池底的单价是240元/m2,总 造价是8640元,求池底的边长. 分析:池底的造价+池壁的造价=总造价 解:设池底的边长是xm.

根据题意得: 240 x ? 120 ? 2 .5 x ? 4 ? 8640 解方程得: x 1 ? ? 9 , x 2 ? 4 ∵池底的边长不能为负数,∴取x=4 答:池底的边长是4m.
2

练习、建造成一个长方体形的水池,原计划水 池深3米,水池周围为1400米,经过研讨,修 改原方案,要把长与宽两边都增加原方案中的 宽的2倍,于是新方案的水池容积为270万米3, 求原来方案的水池的长与宽各是多少米?
x
700--x 3

新方案
700-x+2x x

原方案

x+2x

2 3

? ?

?

课堂练习:列方程解下列应用题 1、学生会准备举办一次摄影展览,在每张长和宽 分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶嵌上 一圈等宽的彩纸。经试验,彩纸面积为相片面积 的2/3时较美观,求镶上彩纸条的宽。(精确到 0.1厘米) 2、在宽20米,长32米的矩形地面上修筑同样宽 的四条互相垂直的“井”字形道路(如图),余 下的部分做绿地,要使绿地面积为448平方 米, 路宽为多少?
20 32

?

3、小明把一张边长为10厘米的正方形硬纸 板的四周各剪去一个同样大小的正方形, 再折合成一个无盖的长方体盒子。如果要 求长方体的底面面积为81平方厘米,那么 剪去的正方形边长为多少?

4、学校课外生物(小组的试验园地是一块长35米、 宽20米的矩形,为便于管理,现要在中间开辟一横两纵 三条等宽的小路(如图),要使种植面积为600平方米, 求小道的宽。(精确到0.1米)

5、 在长方形钢片上冲去一个

X
X
30cm

长方形,制成一个四周宽相等的 长方形框。已知长方形钢片的长 为30cm,宽为20cm,要使制成的 2 长方形框的面积为400cm ,求这 个长方形框的框边宽。

解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得 30×20–(30–2x)(20–2x)=400 整理得 x2– 25+100=0 得 x1=20, x2=5 当=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10
答:这个长方形框的框边宽为5cm

列一元二次方程解应题

6、放铅笔的V形槽如图,每往上一层可以多 放一支铅笔.现有190支铅笔,则要放几层 ?

解:要放x层,则每一 层放(1+x) 支铅笔. 得 x (1+x) =190×2 2 X+ X -380=0 解得X1=19,
X2= - 20(不合题意)

答:要放19层.

列一元二次方程解应题

补充练习: (98年北京市崇文区中考题)如图,有一面 积是150平方米的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长18米),墙对面有一个2米宽的门,另三边 (门除外)用竹篱笆围成,篱笆总长33米.求鸡 场的长和宽各多少米?
18米

2米

通过这节课的学习:


我学会了??



使我感触最深的是??
我发现生活中?? 我还感到疑惑的是??





质点运动问题

有关“动点”的运动问题”
1)关键—— 以静代动 把动的点进行转换,变为线段的长度, 2)方法—— 时间变路程

求“动点的运动时间”可以转化为求“动点 的运动路程”,也是求线段的长度; 3)常找的数量关系——
面积,勾股定理等; 由此,学会把动点的问题转化为静点的问题, 是解这类问题的关键.

例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发,几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2?
解:设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2 根据题意,得
2

1 2

D

C

? 2 x ? (6 ? x ) ? 8

整理,得 x ? 6 x ? 8 ? 0
解这个方程,得 x1 ? 2, x 2 ? 4
Q

? 0 ? x ? 6 所以2秒或4秒后⊿ PBQ的
面积等于8cm2
A P B

解 : 设 AP=x, 则 PR=x, PB=8-x 根 据 题 意 得 : x ? 8-x ? ? 16 整 理 得 : x ? 8 x ? 16 ? 0
2

例2:等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm, 动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点 P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别 交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行 四边形PQCR的面积等于16cm2?
A R P

解 这 个 方 程 得 : x1 ? x 2 ? 4 答 : 当 AP ? 4 cm时 , 四 边 形 面 积 为 16cm
C
2

Q

B

例3:⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB, 垂足为D,CD=2,P是AB上的一动点(不与A,B重 合),且AP=x,过点P作直线l与AB垂直. i)设⊿ ABC位于直线l左侧部分的面积为S,写出S 与x之间的函数关系式; ii)当x为何值时,直线l平分⊿ ABC的面积?

解 : 当 0 ? x ? 2时 , S ?

1 2

x

2
C l

当 2 ? x ? 3时 , S ? 3 ? ? 3 ? x ?

2
A P D B

例4:客轮沿折线A-B-C从A出发经B再到 C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某 一方向匀速直线航行,将一批物品送达客 轮,两船若同时起航,并同时到达折线A-BC上的某点E处,已知AB=BC=200海里, ∠ABC=90°,客轮速度是货轮速度的2倍.
(1)选择:两船相遇之处E点( ) A.在线段AB上; B.在线段BC上; C.可以在线段AB上,也可以在线段BC上;
C B D A

ii)求货轮从出发到两船相遇共航行了多 少海里?(结果保留根号)
解:设货轮从出发到两船相遇共航行 了x海里,过D作DF⊥ CB,交BD于F, 则DE=x,AB+BE=2x,DF=100, EF=300-2x 在Rt⊿DEF 中, 2 ? DF 2 ? EF 2 DE
x ? 100 ? (300 ? 2 x )
2 2 2

A

D

x ? 200 ?
x ? 200 ?

100 6 3
100 6 3

C

F

E

B

? 200( 舍 去 ) 所 以 DE ? 200 ?

100 6 3

练习1: 在△ABC中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P从点A开始沿 AC边向点C以2cm/s的速度移动, 同时 另一点Q由C点以3cm/s的速度沿着CB 边移动,几秒钟后, PCQ的面积等于 450cm2?
B

Q
C P A



练习2:在直角三角形ABC 中,AB=BC=12cm,点D从点A开 始以2cm/s的速度沿AB边向点B F 移动,过点D做DE平行于BC,DF 平行于AC,点E.F分别在AC,BC 上,问:点D出发几秒后四边形 DFCE的面积为20cm2?
E A


C F




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