当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2008年安徽省高中数学联赛初赛试卷


2008 年安徽省高中数学联赛初赛试卷
(考试时间:2008 年 9 月 6 日 9:30~11:30) 一,选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1,函数 y ? f ( x) 存在反函数,若函数 y ? f ( x) 的图象绕原点逆时针旋转 90 后,与函数 y ? g ( x) 的图 象重

合,则有 A, g ( x) ? f ?1 (? x) B, g ( x) ? f ?1 ( x) C, g ( x) ? ? f ?1 (? x) D, g ( x) ? ? f ?1 ( x) 2,在平面中,到两条相交直线的距离之和为 1 的点的轨迹为 A,椭圆 B,双曲线的一部分 C,抛物线的一部分 D,矩形 3,下列四个数中与 cos1 ? cos 2 ? ? cos 2008 最接近的是 A, ?2008 B, ?1 C,1 4,四面体的 6 个二面角中至多可能有( )个钝角 A,3 B,4 C,5 5,将 D,2008 D,6

1 1 ? 0.000498 写成十进制循环小数的形式 2008 2008

625498

625

, 其循环节的长度为
)个是偶数

A,30 B,40 C,50 D,60 2008 2008 6,设多项式 (1 ? x) ? a0 ? a1x ? ? a2008 x ,则 a0 , a1 , , a2008 中共有( A,127 B,1003 C,1005 D,1881 二,填空题:本大题共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分,将答案填在题中的横线上. 7,化简多项式
k ?m

?C C
k n

n

m k

x k ?m (1 ? x)n ?k ?

3 ? 5sin x 的值域为 5 ? 4cos x ? 3sin x a ? an?1 9,若数列 {an } 满足 a1 ? 0, an ? 1 (n ? 2) ,且具有最小正周期 2008,则 a1 ? 1 ? a1an?1 10,设非负实数 a1 , a2 , , a2008 的和等于 1,则 a1a2 ? a2a3 ? ? a2007 a2008 ? a2008a1 的最大值为
8,函数 f ( x) ? 11,设点 A(1,1), B, C 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上,当直线 BC 的方程为
2 2

时, ?ABC 的面积最大.

12,设平面点集 Gn ? {(i, j ) | i ? 1, 2, 则覆盖 G2008 至少需要

, n; j ? 1, 2,

, n} ,易知 G2

可被一个三角形所覆盖, G3 可被两个三角形所覆盖,如右图所示. 个三角形. 三,解答题:本大题共 3 小题,每小题 20 分,共 60 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13,将 6 个形状相同的小球(其中红色,黄色,兰色各 2 个)随机放入 3 个盒子中,每个盒子中恰好放 2 个小 球,记 ? 为盒中小球颜色相同的盒子的个数,求 ? 的概率分布列.

14,设 a1 ? 1, an ? [ nan?1 ](n ? 2) ,其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数.证明:无论 a1 取何正整数时,不在 数列 {an } 中的素数只有有限个.

15,设

O1 与 O2 相交于 A, B 两点, O3 分别与 O1 , O2 外切于点 C , D, 直线 EF 分别与 O1 , O2 相切于点 E , F ,直线 CE 与直线 DF 相交于点 G .证明: A, B, G 三点共线.

2008 年安徽省高中数学联赛初赛试卷(参考答案)
(考试时间:2008 年 9 月 6 日 9:30~11:30) 一,选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1,函数 y ? f ( x) 存在反函数,若函数 y ? f ( x) 的图象绕原点顺时针旋转 90 后,与函数 y ? g ( x) 的图 象重合,则有 (D) A, g ( x) ? f ?1 (? x) B, g ( x) ? f ?1 ( x) C, g ( x) ? ? f ?1 (? x) D, g ( x) ? ? f ?1 ( x) 2,在平面中,到两条相交直线的距离之和为 1 的点的轨迹为 (D) A,椭圆 B,双曲线的一部分 C,抛物线的一部分 D,矩形 3,下列四个数中与 cos1 ? cos 2 ? ? cos 2008 最接近的是 A, ?2008 B, ?1 C,1 4,四面体的 6 个二面角中至多可能有( )个钝角 A,3 B,4 C,5 5,将 (B) D,2008 (A) D,6

1 1 ? 0.000498 写成十进制循环小数的形式 2008 2008

625498

625

, 其循环节的长度为(C)
)个是偶数( D )

A,30 B,40 C,50 D,60 2008 2008 6,设多项式 (1 ? x) ? a0 ? a1x ? ? a2008 x ,则 a0 , a1 , , a2008 中共有( A,127 B,1003 C,1005 D,1881 二,填空题:本大题共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分,将答案填在题中的横线上. 7,化简多项式
k ?m

?C C
k n

n

m k

m x k ?m (1 ? x)n ?k ? Cn

4 3 ? 5sin x 10, 10] 的值域为 (? 5 5 ? 4cos x ? 3sin x k? a ? an?1 , 正整数 9,若数列 {an } 满足 a1 ? 0, an ? 1 (n ? 2) ,且具有最小正周期 2008,则 a1 ? tan 2008 1 ? a1an?1 k ? 1003 且与 2008 互素. 1 10,设非负实数 a1 , a2 , , a2008 的和等于 1,则 a1a2 ? a2a3 ? ? a2007 a2008 ? a2008a1 的最大值为 4 11,设点 A(1,1), B ,C 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上,当直线 BC 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 时 , ?ABC 的面积最
8,函数 f ( x) ? 大. 12,设平面点集 Gn ? {(i, j ) | i ? 1, 2,

, n; j ? 1, 2,

, n} ,易知 G2 可被

一个三角形所覆盖, G3 可被两个三角形所覆盖,如右图所示.则覆盖

G2008 至少需要

1338

个三角形.

三,解答题:本大题共 3 小题,每小题 20 分,共 60 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13,将 6 个形状相同的小球(其中红色,黄色,兰色各 2 个)随机放入 3 个盒子中,每个盒子中恰好放 2 个小 球,记 ? 为盒中小球颜色相同的盒子的个数,求 ? 的概率分布列. 【解:】 ? 的取值可以为 0,1, 3……………………………………………2 分

1 1 1 P(? ? 3) ? P (盒(1)中求同色,盒(2)中球同色) ? ? ? …………………………………………6 分 5 3 15 1 1 2 P(? ? 1) ? 3P( 盒(1)中球同色,盒(2)中球异色) ? 3 ? (1 ? ) ? …………………………………6 分 5 3 5 8 P(? ? 0) ? 1 ? P(? ? 3) ? P(? ? 1) ? …………………………………6 分 15

14,设 a1 ? 1, an ? [ nan?1 ](n ? 2) ,其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数.证明:无论 a1 取何正整数时,不在 数列 {an } 中的素数只有有限个. 【解】: a1 ? 1, a2 ? [ 2a1 ] ? 1, a3 ? [ 3a2 ] ? 1 …………………………………2 分 当 n ? 4 时,用数学归纳法得 an ? [ nan?1 ] ?

n(n ? 3) ? n ? 2 .…………………………………5 分 b ?1 令 bn ? an ? n ,则有 ?2 ? bn ? [ n( n ? 1 ? bn ?1)] ? [ n ?1 ] …………………………………5 分 2 当 bn?1 ? ?1 时, bn ? [ n(n ? 2)] ? n ? ?1 …………………………………5 分 故当 n 充分大时, bn ? ?2 ,所以不在数列 {an } 中的正整数只有有限多个. …………………………3 分
O1 与 O2 相交于 A, B 两点, O3 分别与 O1 , O2 外切于点 C , D, 直线 EF 分别与 O1 , O2 相切于点 E , F ,直线 CE 与直线 DF 相交于点 G .证明: A, B, G 三点共线. 【证明:】以 EF 为 x 轴, O1E 为 y 轴,建立平面直角坐标系.设 E (0,0), F (c,0) …………………1 分
15,设

O1 : x2 ? ( y ? r1 )2 ? r12 O2 : ( x ? c) ? ( y ? r2 ) ? r
2 2

………………………………1 分
2 2 2 3

…………………………………1 分 …………………………………1 分

O3 : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r
其中 a , b 满足 ?

2 2 2 ? ?a ? (b ? r1 ) ? (r1 ? r3 ) 2 2 2 ? ?(a ? c) ? (b ? r2 ) ? (r2 ? r3 )

(1) (2)

…………………………………2 分 …………………………………2 分 …………………………………2 分 …………………………………2 分 …………………………………2 分 …………………………………2 分 …………………………………2 分 ………………………………2 分

2 于是, AB : 2cx ? 2(r2 ? r 1) y ? c ? 0

r3 (0, r1 ) r1 (a, b) r1 (a, r3 ? b) ? ? r1 ? r3 r1 ? r3 r1 ? r3 r (0, r2 ) r2 (a, b) (r2 a ? r3c, r2b) D: 3 ? ? r2 ? r3 r2 ? r3 r2 ? r3 CE : (r3 ? b) x ? ay ? 0 C:

DF : (r3 ? b)( x ? c) ? (a ? c) y ? 0 G : (a, r3 ? b) 由(1) ?(2) ,知点 G 的坐标满足直线 AB 的方程.
注:对于几何证法,如果无法列举所有情形,得分减半.


相关文章:
2008年安徽省高中数学联赛初赛试卷
2008年安徽省高中数学联赛初赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2008年安徽省高中数学联赛初赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区...
2007年安徽省高中数学联赛初赛试卷和答案
2007年安徽省高中数学联赛初赛试卷和答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年安徽...A. u2008 ? u2007 ? u2006 C. 2007u2008 ? 2008u2007 B. u2008 ? ...
2008年安徽高中数学竞赛初赛试题及答案
2008年安徽高中数学竞赛初赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年安徽高中数学竞赛初赛试题 一、选择题 1. 若函数 y (A) g ? x ? ? (C) g ?...
2008年全国高中数学联赛试题及答案
2008年全国高中数学联赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年全国高中数学联赛试题及答案一一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.函数 f ( x ) ...
2007年-2013年安徽省高中数学竞赛初赛试题
2007年-2013年安徽省高中数学竞赛初赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007年-...2 2008 年安徽高中数学竞赛初赛试题一、选择题 1.若函数 y ? f ? x ? ...
2007年安徽省高中数学联赛初赛试卷
2007年安徽省高中数学联赛初赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2007年安徽省高中数学联赛初赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区...
2007-2011安徽高中数学竞赛初赛试题(含答案)
(第 12 题答图) 2008 年安徽省高中数学联赛初赛试题 1.若函数 y=f(x)的图象绕原点顺时针旋转 π 2 后, 与函数 y=g(x)的图象重合, 则( (A) g(x)...
2015年全国高中数学联赛安徽省初赛试题和答案
2015年全国高中数学联赛安徽省初赛试题和答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年全国高中数学联赛安徽省初赛试题(考试时间:2015 年 7 月 4 日上午 9:00-11:...
2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试题及答案
2011 年全国高中数学联赛安徽省预赛安徽省预赛的命题工作是由安徽省数学会负责,预赛试题所涉及的知识范围,完 全参考了《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的...
2015年全国高中数学竞赛安徽初赛试题及答案
2015年全国高中数学竞赛安徽初赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(考试时间:2015 年 7 月 4 日上午 9:00—11:30)...
更多相关标签:
安徽省物理竞赛初赛 | 安徽省大学生篮球联赛 | 2016安徽省数学联赛 | 安徽省大学生足球联赛 | 安徽省高中足球联赛 | 2016年安徽省篮球联赛 | 安徽省初中数学联赛 | 高中数学联赛初赛 |