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2014-2015学年山东省潍坊市临朐中学高二(上)期中数学模拟试卷


2014-2015 学年山东省潍坊市临朐中学高二(上)期中数学模拟试卷

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.不等式(x+5) (3﹣2x)≥6 的解集是( A.{x|x≤﹣1 或 x≥ } B.{x|﹣1≤x≤ } ) C.{x|x≤﹣ 或 x≥1}D.{x|﹣ ≤x≤1}

2.在△ABC 中,若 acosA=bcosB,则△ABC 的形状是( A.等腰三角形 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形



C.等腰直角三角形

3.在△ABC 中,若 A.60° B.90° C.120°



, D.150°

,则此三角形中最大内角是(



4.已知 x+3y﹣1=0,则关于 2 +8 的说法正确的是( A.有最大值 8 B.有最小值 2 C.有最小值 8

x

y

) D.有最大值 2

5.某厂的产值若每年平均比上一年增长 10%,经过 x 年后,可以增长到原来的 2 倍,在求 x 时,所列的方程正确的是( A. (1+10%)
x﹣1 x

) C. (1+10%) =2 D.x=(1+10%)
x+1 2

=2 B. (1+10%) =2

6.若 x>1,则

有(

) D.最大值﹣1

A.最小值 1 B.最大值 1 C.最小值﹣1

7.如果方程 x +(m﹣1)x+m ﹣2=0 的两个实根一个小于 1,另一个大于 1,那么实数 m 的取 值范围是( A. ) B. (﹣2,0) C. (﹣2,1) D. (0,1)

2

2

8.已知点(3,1)和(﹣4,6)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是(


-1-

A.a<﹣7 或 a>24

B.a=7 或 a=24 C.﹣7<a<24

D.﹣24<a<7

9.等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若

,则

等于(



A.1

B.

C.

D.

10.在直角坐标平面上,不等式组

所表示的平面区域面积为(



A.

B.

C.

D.3

二、填空题(5×5=25 分) 11.a 克糖水中含有 b 克塘(a>b>0) ,若在糖水中加入 x 克糖,则糖水变甜了.试根据这个 事实提炼出一个不等式: .

12.已知数列{an}满足条件 a1=﹣2,an+1=2+

,则 a5=



13.在△ABC 中,若 b=2,B=30°,C=135°,则 a=



14.函数 y=

的定义域是

(用区间表示) .

15.在数列{an}中,n∈N ,若 是对“等差比数列”的判断: ①k 不可能为 0; ②等差数列一定是“等差比数列” ; ③等比数列一定是“等差比数列” ;

*

=k(k 为常数) ,则称{an}为“等差比数列” ,下列

-2-

④“等差比数列”中可以有无数项为 0. 其中正确判断命题的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.在△ABC 中,求证: ﹣ =c( ﹣ ) .

17.设 Sn 是等差数列{an}前 n 项的和.已知 差中项为 1.求等差数列{an}的通项 an.



的等比中项为





的等

18.已知 A、B、C 为△ABC 的三内角,且其对边分别为 a、b、c,若 cosBcosC﹣sinBsinC= . (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2 ,b+c=4,求△ABC 的面积.

19. (1)已知集合 A={x|x ﹣x﹣6>0},B={x|0<x+a<4},若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围; (2)已知 f(x)=﹣3x +a(6﹣a)x+b.当不等式 f(x)>0 的解集为(﹣1,3)时,求实 数 a,b 的值.
2

2

20.运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米(60≤x≤100) .假设汽油的价格是每 升 2 元,而汽车每小时耗油 升,司机的工资是每小时 14 元.

(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.

21.若 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求等比数列 S1,S2,S4 的公比; (2)若 S2=4,求{an}的通项公式; (3)设 bn= 整数 m.
-3-

,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn>

对所有 n∈N 都成立的最大正

*

-4-

2014-2015 学年山东省潍坊市临朐中学高二(上)期中数学模拟试卷 参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.不等式(x+5) (3﹣2x)≥6 的解集是( A.{x|x≤﹣1 或 x≥ } B.{x|﹣1≤x≤ } ) C.{x|x≤﹣ 或 x≥1}D.{x|﹣ ≤x≤1}

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 把不等式的右边移项到左边,去括号合并化简,分解因式得到(2x+9) (x﹣1)小于 0, 分情况 2x+9 与 x﹣1 异号或都等于 0 讨论得到两个一元一次不等式组,求出不等式组的解集 即可得到原不等式的解集. 解答: 解:因为不等式(x+5) (3﹣2x)≥6 可化为 2x +7x﹣9≤0, 分解因式得(2x+9) (x﹣1)≤0, 可化为 或 ,解得﹣ ≤x≤1,
2

所以不等式(x+5) (3﹣2x)≥6 的解集是{x|﹣ ≤x≤1}. ? 故选 D. 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,考查分类讨论的思想,是中档题.

2.在△ABC 中,若 acosA=bcosB,则△ABC 的形状是( A.等腰三角形 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形



C.等腰直角三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 利用正弦定理化简已知的等式,再根据二倍角的正弦函数公式变形后,得到 sin2A=sin2B,由 A 和 B 都为三角形的内角,可得 A=B 或 A+B=90°,从而得到三角形 ABC 为等 腰三角形或直角三角形. 解答: 解:由正弦定理 asinA=bsinB 化简已知的等式得:sinAcosA=sinBcosB,

-5-

∴ sin2A= sin2B, ∴sin2A=sin2B,又 A 和 B 都为三角形的内角, ∴2A=2B 或 2A+2B=π ,即 A=B 或 A+B= 则△ABC 为等腰或直角三角形. 故选 D 点评: 此题考查了三角形形状的判断,涉及的知识有正弦定理,二倍角的正弦函数公式,以 及正弦函数的图象与性质,其中正弦定理很好得解决了三角形的边角关系,利用正弦定理化 简已知的等式是本题的突破点. ,

3.在△ABC 中,若 A.60° B.90° C.120° 考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题.



, D.150°

,则此三角形中最大内角是(



分析: 先通过三边的长判断出三角形中的最大角,进而利用余弦定理求得最大内角的余弦的 值,进而求得最大角的值. 解答: 解:依题意可知 c 为最大边,故 c 边角 C 为最大内角, 由余弦定理得 cosC= ∴C=120°, 故选 C. 点评: 本题主要考查了余弦定理的应用. 已知三边的长求三角形的内角一般是利用余弦定理. = =﹣ ,

4.已知 x+3y﹣1=0,则关于 2 +8 的说法正确的是( A.有最大值 8 B.有最小值 2 C.有最小值 8

x

y

) D.有最大值 2

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 由 x+3y﹣1=0? x+3y=1,利用基本不等式即可求得 2 +8 的最小值,从而可得答案. 解答: 解:∵x+3y﹣1=0, ∴x+3y=1,
-6x y

∴2 +8 =2 +2 ≥2 故选 B.

x

y

x

3y

=2

(当且仅当 x=3y= 时取“=” ) .

点评: 本题考查基本不等式,将 2 +8 转化为 2 +2 是应用基本不等式的关键,属于中档题.

x

y

x

3y

5.某厂的产值若每年平均比上一年增长 10%,经过 x 年后,可以增长到原来的 2 倍,在求 x 时,所列的方程正确的是( A. (1+10%)
x﹣1 x

) C. (1+10%) =2 D.x=(1+10%)
x+1 2

=2 B. (1+10%) =2

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意,产值的平均增长率为 10%,设原来的产值为 1,则经过 x 年,为 2,得到关于 x 的等式. 解答: 解:由题意,产值的平均增长率为 10%,设原来的产值为 1,则经过 x 年,为 2,得到 关于 x 的等式, (1+10%) =2; 故选 B. 点评: 本题考查了指数函数在生活中的应用,考查平均增长率问题的应用,属于基础题.
x

6.若 x>1,则

有(

) D.最大值﹣1

A.最小值 1 B.最大值 1 C.最小值﹣1 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 若 x>1,则 从而得出结论. 解答: 解:若 x>1,则 = = +

,利用基本不等式求得它的最小值为 1,

=

+



2

=1,当且仅当

=

时,取等号.

-7-

故 故选 A.

有最小值为 1,

点评: 本题主要考查基本不等式的应用,函数的最值及其几何意义,属于中档题.

7.如果方程 x +(m﹣1)x+m ﹣2=0 的两个实根一个小于 1,另一个大于 1,那么实数 m 的取 值范围是( A. ) B. (﹣2,0) C. (﹣2,1) D. (0,1)

2

2

考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 分析: 构造函数 f(x)=x +(m﹣1)x+m ﹣2,根据方程 x +(m﹣1)x+m ﹣2=0 的两个实根一 个小于 1,另一个大于 1,可得 f(1)<0,从而可求实数 m 的取值范围. 解答: 解:构造函数 f(x)=x +(m﹣1)x+m ﹣2, ∵方程 x +(m﹣1)x+m ﹣2=0 的两个实根一个小于 1,另一个大于 1, ∴f(1)<0 ∴1+m﹣1+m ﹣2<0 ∴m +m﹣2<0 ∴﹣2<m<1 ∴实数 m 的取值范围是(﹣2,1) 故选 C. 点评: 本题考查方程根的研究,考查函数思想的运用,解题的关键是构造函数,利用函数思 想求解.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

8.已知点(3,1)和(﹣4,6)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是( A.a<﹣7 或 a>24 B.a=7 或 a=24 C.﹣7<a<24 D.﹣24<a<7



考点: 二元一次不等式的几何意义. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据二元一次不等式组表示平面区域,以及两点在直线两侧,建立不等式即可求解. 解答: 解:∵点(3,1)与 B(﹣4,6) ,在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧, ∴两点对应式子 3x﹣2y+a 的符号相反,
-8-

即(9﹣2+a) (﹣12﹣12+a)<0, 即(a+7) (a﹣24)<0, 解得﹣7<a<24, 故选:C. 点评: 题主要考查二元一次不等式表示平面区域,利用两点在直线的两侧得对应式子符号相 反是解决本题的关键.

9.等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若

,则

等于(



A.1

B.

C.

D.

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质和求和公式可得 = = ,代入已知化简可得.

解答: 解:由题意可得

=

=

=

=

=

故选 C 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属中档题.

10.在直角坐标平面上,不等式组

所表示的平面区域面积为(



A.

B.

C.

D.3

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 计算题;数形结合.

-9-

分析: 先依据不等式组

,结合二元一次不等式(组)与平面区域的关系画出

其表示的平面区域,再利用三角形的面积公式计算即可. 解答: 解:原不等式组 可化为:



画出它们表示的可行域,如图所示. 可解得 A( ,﹣ ) ,C(﹣1,﹣2) ,B(0,1) 原不等式组表示的平面区域是一个三角形, 其面积 S△ABC= ×(2×1+2× )= , 故选 C.

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思 想,属中档题.借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化 归思想.

二、填空题(5×5=25 分)

- 10 -

11.a 克糖水中含有 b 克塘(a>b>0) ,若在糖水中加入 x 克糖,则糖水变甜了.试根据这个 事实提炼出一个不等式: (a>b>0) .

考点: 不等关系与不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用糖水的浓度可得 (a>b>0)即可. ;

解答: 解:由 a 克糖水中含有 b 克塘(a>b>0)可得糖水的浓度为 在糖水中加入 x 克糖,可得糖水的浓度为 ∵糖水变甜了,于是可得 化为 故答案为 (a>b>0) . (a>b>0) . > ; .

点评: 本题考查了溶液的浓度,属于基础题.

12.已知数列{an}满足条件 a1=﹣2,an+1=2+

,则 a5=



考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 an+1=2+ ,化为 ,分别取=1,2,3,4 即可得出.

解答: 解:由 an+1=2+

,化为



∵a1=﹣2,∴

,∴

=6,∴



∴a5=

=



故答案为



- 11 -

点评: 本题考查了递推式的含义,属于中档题.

13.在△ABC 中,若 b=2,B=30°,C=135°,则 a=





考点: 正弦定理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据 B 和 C 求得 A,进而根据正弦定理求得 a. 解答: 解:A=180°﹣30°﹣135°=15°, sin15°=sin(45°﹣30°)=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°= 根据正弦定理得 ∴a= 故答案为 ﹣ = = ﹣

点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.属基础题.

14. 函数 y=

的定义域是

(用区间表示) .

考点: 对数函数的定义域;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 无理式被开方数大于等于 0,对数的真数大于 0,建立关系式,解之即可. 解答: 解:要使函数有意义: ≥0,

即:



可得 0<x ﹣1≤1 解得:x∈ 故答案为: 点评: 本题主要考查了对数函数的定义域,考查学生发现问题解决问题的能力,是基础题.

2

- 12 -

15.在数列{an}中,n∈N ,若 是对“等差比数列”的判断: ①k 不可能为 0; ②等差数列一定是“等差比数列” ; ③等比数列一定是“等差比数列” ; ④“等差比数列”中可以有无数项为 0. 其中正确判断命题的序号是 ①④ .

*

=k(k 为常数) ,则称{an}为“等差比数列” ,下列

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 新定义;等差数列与等比数列. 分析: ①k=0,数列为常数列,推出矛盾,②令公差为 0,推出矛盾,③令公比为 1,推出矛 盾,④令数列为 0,1,0,1,0,1?,满足题意. 解答: 解: (1)若 k=0 则分子 an+2﹣an+1=0,数列{an}为常数数列,则 an+1﹣an 也为 0,分母为 0,推出矛盾,所以 k 不可能为 0,即①正确; (2)公差为 0 的等差数列不是等差比数列,因为此时分母为 0,推出矛盾,所以②错误; (3)公比为 1 的等比数列不是等差比数列,同样此时分母为 0,推出矛盾,所以③错误; (4)题设说的是可以有,那么只要找到一个满足的即可说明是对的,而数列 0,1,0,1,0, 1?显然为等差比数列,所以④正确. 综上,正确判断命题的序号是①④, 故答案为:①④. 点评: 新定义题,与熟悉的概念比较,将陌生知识转化为熟悉的知识,理解新定义抓住定义 的关系式,进行推导.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.在△ABC 中,求证: ﹣ =c( ﹣ ) .

考点: 余弦定理的应用. 专题: 证明题.

- 13 -

分析: 根据余弦定理分别求出 cosB,和 cosA,代入求证等式的右边,化简得出求证等式的 左边. 解答: 证明:根据余弦定理将 cosB= ,cosA= 代入右边

得右边 c( ∴ ﹣ =c( ﹣

﹣ ) .

)=

=

=

=左边,

点评: 本题主要考查了余弦定理的应用.余弦定理常用来解三角形中边角问题,是高考常考 的地方.

17.设 Sn 是等差数列{an}前 n 项的和.已知 差中项为 1.求等差数列{an}的通项 an.



的等比中项为





的等

考点: 数列的求和;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 利用等差数列的前 n 项和公式代入已知条件,建立 d 与 a1 的方程,联立可求得数列的 首项 a1、公差 d,再由等差数列的通项公式可求得 an 解答: 解:设等差数列{an}的首项 a1=a,公差为 d,则通项为 an=a+(n﹣1)d, 前 n 项和为 ,

依题意有

其中 S5≠0.

由此可得

整理得

- 14 -

解方程组得

由此得 an=1;或 an=4﹣

(n﹣1)=



n. 时,S5=﹣4,均适合题意. .

经验证知时 an=1,S5=5,或 故所求等差数列的通项为 an=1,或

点评: 本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识,考查运算能力.由等差数 列的前 n 项和确定基本量 d 与 a1 之间的关系,关键在于熟练应用公式.

18.已知 A、B、C 为△ABC 的三内角,且其对边分别为 a、b、c,若 cosBcosC﹣sinBsinC= . (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2 ,b+c=4,求△ABC 的面积.

考点: 解三角形;三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)根据两角和的余弦函数公式化简已知的等式,得到 cos(B+C)的值,由 B+C 的 范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 B+C 的度数,然后由三角形的内角和定理求出 A 的 度数; (Ⅱ)根据余弦定理表示出 a 的平方,配方变形后,把 a,b+c 及 cosA 的值代入即可求出 bc 的值,然后由 bc 及 sinA 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴ 又∵0<B+C<π ,∴ ∵A+B+C=π ,∴
2



, .
2 2

(Ⅱ)由余弦定理 a =b +c ﹣2bc?cosA 得

- 15 -

即: ∴

,∴bc=4, .

点评: 此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值,余弦定理及三角形的面积公式,熟练掌 握公式及定理是解本题的关键.

19. (1)已知集合 A={x|x ﹣x﹣6>0},B={x|0<x+a<4},若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围; (2)已知 f(x)=﹣3x +a(6﹣a)x+b.当不等式 f(x)>0 的解集为(﹣1,3)时,求实 数 a,b 的值.
2

2

考点: 其他不等式的解法;交集及其运算. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: (1)利用二次不等式的解法求出集合 A,不等式组求解集合 B,通过 A∩B=?,列出关 系式求解即可. (2)通过二次不等式的解,推出对应方程的根,利用韦达定理求解 a,b 的值即可. 解答: 解: (1)A={x|x<﹣2 或 x>3},B={x|﹣a<x<4﹣a} ∵A∩B=φ , ∴ ∴1≤a≤2 ?. (6 分) ?(2 分)

(2)∵f(x)>0 的解为﹣1<x<3, ∴x=﹣1 和 x=3 是﹣3x +a(6﹣a)x+b=0 的两根?(8 分)
2





解得

?(12 分) .

点评: 本题考查二次不等式的解法,不等式组的求法,转化思想的应用,考查计算能力.

- 16 -

20.运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米(60≤x≤100) .假设汽油的价格是每 升 2 元,而汽车每小时耗油 升,司机的工资是每小时 14 元.

(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1)由题意先设行车所用时间 t,利用速度、路程、时间的关系列出 t 与 x 的关系式, 再求得这次行车总费用 y 关于 x 的表达式即可; (2)欲求 x 为何值时,这次行车的总费用最低,利用导数知识研究(1)中函数的单调性从 而求得其最小值即可. 解答: 解: (1)设行车所用时间为 ∈ 所以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 (2) 所以 为增函数. 元 , ,x

所以,当 x=60 时,这次行车的总费用最低,最低费用为

点评: 本小题主要考查函数模型的选择与应用、导数的应用及函数的最值,函数的最值要由 极值和端点的函数值确定.当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时,这个极值就 是它的最值.

21.若 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求等比数列 S1,S2,S4 的公比; (2)若 S2=4,求{an}的通项公式; (3)设 bn= 整数 m. ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn> 对所有 n∈N 都成立的最大正
*

- 17 -

考点: 数列的应用;等差数列的通项公式;数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用 S1,S2,S4 成等比数列,建立等式,从而 d=2a1,即可求等比数列 S1,S2,S4 的公比; (2)利用 S2=4,确定首项与公差,即可求{an}的通项公式; (3) 利用裂项法求和, 求出 Tn 的最小值, 从而使得 Tn> 即可求得最大正整数 m. 解答: 解: (1)∵数列{an}为等差数列,∴S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d, ∵S1,S2,S4 成等比数列,∴ ∴ ∵公差为 d 不等于 0,∴d=2a1, ∴q= , ,∴ 对所有 n∈N 都成立, 等价于 1>
*



(2)∵S2=4,∴2a1+d=4, ∵d=2a1,∴a1=1,d=2, ∴an=2n﹣1 (3)∵ ∴ ∴(Tn)min=1 使得 Tn> 对所有 n∈N 都成立,等价于 1>
*

+?+

=

,∴m<20

∴m 的最大值为 19. 点评: 本题考查等差数列与等比数列的综合,考查数列的通项与求和,考查数列与不等式的 联系,属于中档题.

- 18 -


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