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高三复习——异面直线


高三复习——异面直线
考点 1 异面直线所成的角

此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角,然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是 高考考查的重点.
π 斜边 AB ? 4 . 例 1 如图, 在 Rt△ AOB 中, Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB ?OAB ? ,

A

以直线

AO 为轴旋转得到,且二面角 B ? AO ? C 的直二面角. D 是 AB 的 中点. (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (II)求异面直线 AO 与 CD 所成角的正切值的大小. 解答过程:(I)由题意, CO ? AO , BO ? AO ,
??BOC 是二面角 B ? AO ? C 是直二面角, ? CO ? BO ,又
AO BO ? O ,

6

D

O C

E

B

? CO ? 平面 AOB ,

又 CO ? 平面 COD .
? 平面 COD ? 平面 AOB .

(II)作 DE ? OB ,垂足为 E ,连结 CE (如图),则 DE ∥ AO ,
??CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角.

在 Rt△COE 中, CO ? BO ? 2 , OE ? 1 BO ? 1 ,
2

?CE ? CO2 ? OE 2 ? 5 .

又 DE ? 1 AO ? 3 .
2

? 在 Rt△CDE 中, tan CDE ? CE ? 5 ? 15 .
DE 3 3

同步练习: 1 1. 在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中, ∠ ABC=90° , SA⊥ 面 ABCD, SA=AB=BC=1, AD=2 (1)求四棱锥 S-ABCD 的体积; (2)求直线 AB 与直线 SD 所成角的大小

1

2.在如图所示的几何体中,EA⊥ 平面 ABC,DB⊥ 平面 ABC,AC⊥ BC,且 AC=BC=BD=2AE,M 是 AB 的中点. (I)求证:CM⊥ EM; (Ⅱ )求 CM 与平面 CDE 所成的角

2

3.如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥ 底面 ABCD, AB⊥ AD, AC⊥ CD, ∠ ABC=60° , PA=AB=BC, E 是 PC 的中点. (Ⅰ )求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (Ⅱ )证明 AE⊥ 平面 PCD; (Ⅲ )求二面角 A-PD-C 的大小.

3

考点 2.简单多面体的侧面积及体积的计算 棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积,棱柱侧面积转化成求三角形的面积. 直棱柱体积 V 等于底面积与高的乘积.
1 棱锥体积 V 等于 Sh 其中 S 是底面积,h 是棱锥的高. 3

例 2. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB= 2 a,BC=CA=AA1=a, A1 在底面△ ABC 上的射影 O 在 AC 上 ① 求 AB 与侧面 AC1 所成角; ② 若 O 恰好是 AC 的中点,求此三棱柱的侧面积. [思路启迪] ① 找出 AB 与侧面 AC1 所成角即是∠ CAB; ② 三棱锥侧面积转化成三个侧面面积之和,侧面 BCC1B1 是正方形, 侧 面 ACC1A1 和侧面 ABB1A1 是平行四边形,分别求其面积即可. 解答过程:① 点 A1 在底面 ABC 的射影在 AC 上, ∴ 平面 ACC1A1⊥ 平面 ABC. 在△ ABC 中,由 BC=AC=a,AB= 2 a. ∴∠ ACB=90° ,∴ BC⊥ AC. ∴BC⊥ 平面 ACC1A1. 即 ∠ CAB 为 AB 与侧面 AC1 所成的角在 Rt△ ABC 中,∠ CAB=45° . ∴AB 与侧面 AC1 所成角是 45° . ∵O 是 AC 中点,在 Rt△ AA1O 中,AA1=a,AO=
3 a. 2
1 a. 2
A D B B1 A1 C1

O

C

∴AO1=

∴ 侧面 ACC1A1 面积 S1= AC ? AO1=

3 2 a . 2

又 BC⊥ 平面 ACC1A1 , ∴ BC⊥ CC1. 2 =a .

又 BB1=BC=a ,∴ 侧面 BCC1B1 是正方形,面积 S2

过 O 作 OD⊥ AB 于 D ,∵ A1O⊥ 平面 ABC,∴ A1D⊥ AB.

4

在 Rt△ AOD 中,AO=
2 a 4

1 a ,∠ CAD=45° 2
2 在 Rt△ A1OD 中,A1D= OD2+A 1O =(

∴OD=

7 2 2 3 2 a. = a) +( a) 8 4 2

∴ 侧面 ABB1A1 面积 S3= AB ? A1 D= 2a ?

7 7 2 a= a . 2 8

1 ∴ 三棱柱侧面积 S=S1+S2+S3= (2+ 3+ 7)a 2 . 2

同步练习:
1. 如图,平行四边形 ABCD 中,∠ DAB=60° ,AB=2,AD=4 将△ CBD 沿 BD 折起到△ EBD 的位 置,使平面 EDB⊥ 平面 ABD (I)求证:AB⊥ DE (Ⅱ )求三棱锥 E-ABD 的侧面积

5

2.如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直 径,∠ ABD=60° ,∠ BDC=45° ,△ ADP~△ BAD. (1)求线段 PD 的长; (2)若 PC= 11 R,求三棱锥 P-ABC 的体积.

考点 3

异面直线的距离

(1)直接法:根据定义,直接找出公垂线段,再求其长,这是解题时首先要考虑的方法。 例 1. 如图所示,已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1,点 E 在棱 D1D 上,截面 EAC//D1B,且平面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45° ,AB=a,求异面直线 A 1 B1 与 AC 之间的距离。 解:连结 DB,设 DB 交 AC 于点 O 由题设知 ABCD ? A 1 B1C 1 D 1 是正四棱柱 则 A 1A?底面ABCD,即A 1A?AC,而A 1A?A 1 B1 所以 A 1A 是异面直线 A 1 B1 与 AC 的公垂线段 由题意分析知 ∠DOE为平面EAC与底面ABCD 所成的角

6

则∠ DOE=45° 又∵ 截面 EAC//D1B,且平面 D1BD 与平面 EAC 的交线为 EO ∴ D1B//EO,∠ DBD1=∠ DOE=45° ∴ D1D=DB= 2a ∵ AA1=D1D ∴ 异面直线 A1B1 与 AC 之间的距离为 2a (2)间接法:当采用直接法不便于求解或证明时,可利用已知条件进行间接求解或证明的方法。 1’线面距离法:选择异面直线中的一条,过它作另一条直线的平行平面,则此直线与平行平面的距离 即为异面直线间的距离。 例 2. 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,AD=3,AA1=4,求异面直线 AB 与 A1C 间的距离。 解:如图所示,连结 A1D 由 AB//DC,得 AB//平面 A1DC 故 AB 到平面 A1DC 的距离即为 AB 与 A1C 间的距离 又平面 A1D ? 平面 A1DC 及平面 A1D ? AB 故可在平面 A1D 内过 A 作 AE ? A1D 于点 E 则 AE 为 AB 到平面 A1DC 的距离即为异面直线 AB 与 A1C 间的距离。 由 AD·AA 1 ? A 1 D·AE 可得 AE ?

12 5

2’面面距离法:把所求异面直线间的距离转化为分别过两条异面直线的两个平行平面间的距离。 例 3. 如图所示,正方体 ABCD ? A 1 B1C 1 D 1 的棱长为 1,求异面直线 A1D 与 AC 间的距离。 解: 连结 A 1C、C 1 D、AB1 、B1C,A 1 D与AC 分别在两个相互平行的平 面 A 1 DC 1 和 B1CA 内,则 A1D 与 AC 间的距离就是两个相互平行的平面 A1DC1 和 B1CA 之间的距离。 连结 BD,且交 AC 于点 O,作 OO1 ? 平面 AC 交平面 A1C1 于 O1 连结 DO1,作 OE ? DO1 于 E 可知 OE 为两平行平面 A1DC1 和 B1CA 之间的距离 在 Rt△ DOO1 中, OO 1 ? 1,DO ?
2 6 ,DO 1 ? 。 2 2

7

∴OE ? OO 1 ·

DO 3 ? DO 1 3

∴ 异面直线 A1D 与 AC 间的距离为

3 3

同步练习:
如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,求异面直线 DB1 与 AC 间的距离。

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高三复习——异面直线
考点 1 异面直线所成的角

此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角,然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是 高考考查的重点.
π 斜边 AB ? 4 . 例 1 如图, 在 Rt△ AOB 中, Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB ?OAB ? ,

A

以直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B ? AO ? C 的直二面角. D 是 AB 的 中点. (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (II)求异面直线 AO 与 CD 所成角的正切值的大小.
O
C

6

D

E

B

同步练习: 1 1. 在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中, ∠ ABC=90° , SA⊥ 面 ABCD, SA=AB=BC=1, AD=2 (1)求四棱锥 S-ABCD 的体积; (2)求直线 AB 与直线 SD 所成角的大小

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2.在如图所示的几何体中,EA⊥ 平面 ABC,DB⊥ 平面 ABC,AC⊥ BC,且 AC=BC=BD=2AE,M 是 AB 的中点. (I)求证:CM⊥ EM; (Ⅱ )求 CM 与平面 CDE 所成的角

3.如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥ 底面 ABCD, AB⊥ AD, AC⊥ CD, ∠ ABC=60° , PA=AB=BC, E 是 PC 的中点. (Ⅰ )求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (Ⅱ )证明 AE⊥ 平面 PCD; (Ⅲ )求二面角 A-PD-C 的大小.

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考点 2.简单多面体的侧面积及体积的计算 棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积,棱柱侧面积转化成求三角形的面积. 直棱柱体积 V 等于底面积与高的乘积.
1 棱锥体积 V 等于 Sh 其中 S 是底面积,h 是棱锥的高. 3

例 2. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB= 2 a,BC=CA=AA1=a, A1 在底面△ ABC 上的射影 O 在 AC 上 ① 求 AB 与侧面 AC1 所成角; ② 若 O 恰好是 AC 的中点,求此三棱柱的侧面积.
B1 A1 C1

A D

O

C

B

同步练习:
2. 如图,平行四边形 ABCD 中,∠ DAB=60° ,AB=2,AD=4 将△ CBD 沿 BD 折起到△ EBD 的位 置,使平面 EDB⊥ 平面 ABD (I)求证:AB⊥ DE (Ⅱ )求三棱锥 E-ABD 的侧面积

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2.如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直 径,∠ ABD=60° ,∠ BDC=45° ,△ ADP~△ BAD. (1)求线段 PD 的长; (2)若 PC= 11 R,求三棱锥 P-ABC 的体积.

考点 3

异面直线的距离

(1)直接法:根据定义,直接找出公垂线段,再求其长,这是解题时首先要考虑的方法。 例 1. 如图所示,已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1,点 E 在棱 D1D 上,截面 EAC//D1B,且平面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45° ,AB=a,求异面直线 A 1 B1 与 AC 之间的距离。

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(2)间接法:当采用直接法不便于求解或证明时,可利用已知条件进行间接求解或证明的方法。 1’线面距离法:选择异面直线中的一条,过它作另一条直线的平行平面,则此直线与平行平面的距离 即为异面直线间的距离。 例 2. 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,AD=3,AA1=4,求异面直线 AB 与 A1C 间的距离。

2’面面距离法:把所求异面直线间的距离转化为分别过两条异面直线的两个平行平面间的距离。 例 3. 如图所示,正方体 ABCD ? A 1 B1C 1 D 1 的棱长为 1,求异面直线 A1D 与 AC 间的距离。

同步练习:
如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,求异面直线 DB1 与 AC 间的距离。

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