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河北省衡水市2014届高三下学期一调考试 数学理试题


2013~2014 学年度下学期一调考试 高三年级数学(理科)试卷
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分 钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题: (本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一项是 符合要求的) 1、集合 P={3,4

,5},Q={6,7},定义 P * Q ? {( a, b) | a ? P, b ? Q} ,则 P * Q 的子 集个数为( A.7 ) B.12 C.32 D.64 )

2、已知 0 ? a ? 2 ,复数 z 的实部为 a ,虚部为 1,则 | z | 的取值范围是( A.(1,5) B.(1,3) C. (1, 5 ) D. (1, 3 )

3、在第 29 届北京奥运会上,中国健儿取得了 51 金、21 银、28 铜的好成绩,稳居金牌 榜榜首,由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列,也有许多人持反对意见,有网友为 此进行了调查,在参加调查的 2548 名男性中有 1560 名持反对意见,2452 名女性中有 1200 名持反对意见, 在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关 系时,用什么方法最有说服力( A.平均数与方差 ) C.独立性检验 D.概率

B.回归直线方程

4、若函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 cos?x, x ? R, 又 f (? ) ? ?2, f ( ? ) ? 0 ,且 ? ? ? 的最 小值为

3? 的正数 ? 为( ) 4 1 2 4 3 A. B. C. D. 3 3 3 2
5、定义在 R 上的连续函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x+4),当 x>2 时,f(x)单调递增,如果 ) D.可正可负

x1+x2<4,且(x1-2)(x2-2)<0,则 f(x1)+f(x2)的值 ( A.恒小于 0 B.恒大于 0 C.可能为 0

6、如图给出的是计算 断框内应填入的是( ) A. i ? 2014

1 1 1 1 的值的程序框图,其中判 ? ? ? ??? 2 4 6 2014
B. i>2014

C. i ? 1007

D. i> 1007

7、一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )

5 3 A. 3
5 3 C. 6

4 3 B. 3

D. 3

8、 设向量 a,b,c 满足 a ? b ? 1, a ? b ? ? ( ) A.2 B. 3 C. 2 D.1

1 则 c 的最大值等于 , a ? c, b ? c ? 60 0 , 2

9、过 x 轴正半轴上一点 M ( x0 , 0) ,作圆 C : x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 的两条切线,切点分别为

A, B ,若 | AB |? 3 ,则 x0 的最小值为
A.1 B. 2 C.2 D.3





10、过双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左焦点 F1 ,倾斜角为 30? 的直线交双曲线右支 2 a b

于点 P ,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,则此双曲线的离心率为( )

A.

3 3

B.

5

C.3

D.

3

11、 点 P( x, y ) 是曲线 C : y =

1 曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、 ( x > 0) 上的一个动点, x

y 轴分别交于 A, B 两点,点 O 是坐标原点. 给出三个命题:① PA = PB ;② ?OAB 的
周长有最小值 4 + 2 2 ;③曲线 C 上存在两点 M , N ,使得 ?OMN 为等腰直角三角形.其 中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.0

12、设 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点,若在其右准线上存在点 P , a 2 b2
( )

使 ?PF1 F2 为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是

A. (0,

3 ) 3

B. (0,

2 ) 2

C. (

3 ,1) 3

D. ?

? 2 ? 1? ? 2 , ? ? ?

2013~2014 学年度下学期一调考试 高三年级数学(理科)试卷
第Ⅱ卷 非选择题 (共 90 分)

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把每小题的答案填在答题纸的相应 位置) 13、 在△ABC中, a、 b、 c分别为∠A、 ∠B、 ∠C的对边, 三边a、 b、 c成等差数列, 且B= 则cosA-cosC的值为 .

? , 4

14、如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体” ,那么从长方体八个顶点 中任取四个顶点,则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为 .

15、 在矩形 ABCD 中, AB=4, BC=3, 沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D, 则四面体 ABCD 的外接球的体积为 。

2 ? ?a ? ab, a ? b 16、对于实数 a 和 b,定义运算“﹡” :a ?b ? ? 2 ,设 f(x)=(2x-1) ? ?b ? ab, a ? b

﹡(x-1) ,且关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3, 则 x1x2x3 的取值范围是_________________。 三、解答题(共 6 个题, 共 70 分,把每题的答案填在答卷纸的相应位置) 17、 (本题 12 分) 设 数 列{ a n}满 足 : a( n n ? N *)是 整 数 , 且 a n ?1-a n 是 关 于 x 的 方 程

x 2+( a n ?1-2)x-2a n ?1=0 的根.
(1)若 a1=4, 且 n≥2 时, 4 ? a n ? 8, 求数列{an}的前 100 项和 S100;

1, ( (2)若 a1=-8,a 6= 且 an<an+ 求数列 ?a n ? 的通项公式. 1 n ? N *),

18、 (本题 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABDE 为梯形,AE//BD,AE ? 平面 ABC,AC ? BC,

AC=BC=BD=2AE,M 为 AB 的中点. (I)求证:CM ? DE; (II)求锐二面角 D ? EC ? M 的余弦值.

19、 (本题 12 分) 衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试,且规定:成绩大于或等于 90 分的有 参赛资格,90 分以下(不包括 90 分)的则被淘汰。若现有 500 人参加测试,学生成绩的频 率分布直方图如下: (I)求获得参赛资格的人数; (II)根据频率直方图,估算这 500 名学生测试的平均成绩; (III)若知识竞赛分初赛和复赛,在初赛中每人最多有 5 次选题答题的机会,累计答对 3 题或答错 3 题即终止,答对 3 题者方可参加复赛,已知参赛者甲答对每一个问题的概率都 相同,并且相互之间没有影响,已知他连续两次答错的概率为 求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望.

1 , 9

20、 (本题12分) 已 知 抛 物 线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的 焦 点 为 F , 抛 物 线 上 一 点 A 的 横 坐 标 为

x1 ( x1 ? 0) ,过点 A 作抛物线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 D ,交 y 轴于点 Q ,交直线 l : y ?
于点 M ,当 | FD |? 2 时, ?AFD ? 60 ? . (1)求证: ?AFQ 为等腰三角形,并求抛物线 C 的方程;

p 2

(2)若 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上,过点 B 作抛物线 C 的切线 l 2 交直线 l1 于点 P ,交 直线 l 于点 N ,求 ?PMN 面积的最小值,并求取到最小值时的 x1 值.

21、 (本题 12 分) 已知函数 f(x)=

1 2 x ,g(x)=elnx。 2

(I)设函数 F(x)=f(x)-g(x) ,求 F(x)的单调区间; (II)若存在常数 k,m,使得 f(x)≥kx+m,对 x∈R 恒成立,且 g(x)≤kx+m, 对 x∈(0,+∞)恒成立,则称直线 y=kx+m 为函数 f(x)与 g(x)的“分界线”, 试问:f(x)与 g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程,若不存在,请说 明理由。

请考生在第 22~24 三题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分. 22、(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 为圆 O 的直径,P 为圆 O 外一点,过 P 点作 PC ? AB 于 C,交圆 O 于 D 点,PA 交圆 O 于 E 点,BE 交 PC 于 F 点. (I)求证: ? P= ? ABE;

(Ⅱ)求证:CD =CF·CP.

2

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, Ox 轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的

1 ? x? ; ? tan? ? 方程为 ? ( ? 为参数) ,曲线 C2 的极坐标方程为: ? (cos? ? sin? ) ? 1 ,若曲线 ?y ? 1 . ? tan2 ? ?
C1 与 C2 相交于 A、B 两点. (I)求|AB|的值; (Ⅱ)求点 M(-1,2)到 A、B 两点的距离之积.

24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | . (I)求不等式 f ( x) ≤6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) > a 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2013~2014 学年度下学期一调考试 高三年级数学(理科)答案
一、选择题 DCCBA AAABD CC

二、填空题

13、 ? 4 2 三、解答题 17、

14、

12 35

15、

125? 6

16.

6分

8分

12 分 18、

19、解: (I)获得参赛资格的人数 m ? (0.005 ? 0.0043 ? 0.032) ? 20 ? 500 ? 125 (II)平均成绩:

2分

X ? (40 ? 0.0065 ? 60 ? 0.0140 ? 80 ? 0.0170 ? 100 ? 0.0050 ? 120 ? 0.0043 ? 140 ? 0.0032) ? 20

? (0.26 ? 0.84 ? 1.36 ? 0.5 ? 0.516 ? 0.448) ? 20 ? 78.48
(III)设甲答对每一道题的概率为.P 则 (1 ? p) 2 ?

5分

1 2 ? p? 9 3

?可能取得值为3, 4, 5
P (? ? 3) ? P 3 ? (1 ? P ) 3 ? 1 3 10 27

P (? ? 4) ? C32 P 2 (1 ? P ) P ? C32 (1 ? P ) 2 P (1 ? P ) ? 1 10 8 P (? ? 5) ? 1 ? ? ? 3 27 27
?? 的分布列为

?

3

4

5

1 3 1 10 8 107 E? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 3 27 27 27

P

10 27

8 27
12 分

20、解: (1)设 A( x1 , y1 ) ,则切线 AD 的方程为 y ?

x1 x x? 1 , p 2p

2

所以 D (

p p x1 ,0), Q (0,? y1 ) , | FQ |? ? y1 , | FA |? ? y1 ,所以 | FQ |?| FA | , 2 2 2

所以 ?AFQ 为等腰三角形, 且 D 为 AQ 中点, 所以 DF ? AQ , ? | DF |? 2, ?AFD ? 60 ? ,

? ?QFD ? 60 ? ,

p ? 1 ,得 p ? 2 ,抛物线方程为 x 2 ? 4 y ?????? 4分 2

(2)设 B ( x 2 , y 2 ) ( x 2 ? 0) ,则 B 处的切线方程为 y ?

x2 x x? 2 2 2

2

? ?y ? ? 由? ?y ? ? ?

x1 x 2 ? x? 1 x1 x1 x1 2 x ? x 2 x1 x 2 ?y ? x ? 2 4 ? P( 1 , ),? 2 4 ? M ( ? ,1) 2 2 4 2 x1 x2 x ?y ? 1 x? 2 ? 2 4

2

同理 N (

x2 2 ? ,1) ,????????????????????6分 2 x2
xx ( x ? x1 )(4 ? x1 x 2 ) 2 1 x1 2 x 2 2 ( ? ? ? )(1 ? 1 2 ) ? 2 ??① 2 2 x1 2 x 2 4 16 x1 x 2
??8分

所以面积 S ?

设 AB 的方程为 y ? kx ? b ,则 b ? 0 由?

? y ? kx ? b ?x ? 4 y
2

? x1 ? x 2 ? 4k ? x 2 ? 4kx ? 4b ? 0 ,得 ? 代入①得: ? x1 x 2 ? ?4b

16k 2 ? 16b (4 ? 4b) 2 (1 ? b) 2 k 2 ? b ,使面积最小,则 k ?0 S? ? 64b b
得到 S ?

(1 ? b) 2 b ????② b

令 b ?t,

②得 S (t ) ?

(1 ? t 2 ) 2 1 (3t 2 ? 1)(t 2 ? 1) , ? t 3 ? 2t ? , S ?(t ) ? t t t2
3 3 ) 时 S (t ) 单调递减;当 t ? ( ,??) S (t ) 单调递增, 3 3

所以当 t ? (0,

所以当 t ?

1 3 16 3 2 时, S 取到最小值为 ,此时 b ? t ? , k ? 0 , 3 3 9 1 2 3 ,即 x1 ? 。????????????????????12分 3 3

所以 y1 ?

1 2 x ,g(x)=elnx, 2 1 因此,F(x)=f(x)-g(x)= x 2 -elnx, 2
21. 解析: (I)由于函数 f(x)= 则 F '( x) ? x ?

e x 2 ? e ( x ? e )( x ? e ) = = , x ? (0, ??) , x x x

当 0<x< e 时, F '( x) <0,所以 F(x)在(0, e )上是减函数; 当 x> e 时, F '( x) >0,所以 F(x)在( e ,+ ? )上是增函数; 因此, 函数 F (x) 的单调减区间是 (0, e ) , 单调增区间是 ( e, +?) 。 …………………4 分

(II)由(I)可知,当 x= e 时,F(x)取得最小值 F( e )=0,

e ) 。 2 e 假设 f(x)与 g(x)存在“分界线” ,则其必过点( e , ) 。…………………………….6 2
则 f(x)与 g(x)的图象在 x= e 处有公共点( e , 分 故设其方程为: y ? 由 f(x)≥ kx ?

e e ? k ( x ? e ) ,即 y ? kx ? ? k e , 2 2

e ? k e 对 x∈R 恒成立, 则 x 2 ? 2kx ? e ? 2k e ? 0 对 x∈R 恒成立, 2

所以, ? ? 4k 2 ? 4(2k e ? e) ? 4k 2 ? 8k e ? 4e ? e(k ? e ) 2 ≤0 成立, 因此 k= e , “分界线“的方程为: y ? ex ? 下面证明 g(x)≤ ex ?

e 2 …………………………………..10 分

e 对 x∈(0,+∞)恒成立, 2
e e ( e ? x) e ,则 G '( x) ? ? e ? , x x 2

设 G(x)= e ln x ? x e ?

所以当 0<x< e 时, G '( x) ? 0 ,当 x> e 时, G '( x) <0, 当 x= e 时,G(x)取得最大值 0,则 g(x)≤ ex ? 故所求“分界线“的方程为: y ?

e 对 x∈(0,+∞)恒成立, 2

ex ?

e 。…………………………………………..12 分 2
?

22、解:证明: (Ⅰ) ?AEB ? ?ACP ? 900 ,所以在 Rt ?ACP 中, ?P ? 90 ? ?PAB; 在 Rt ?ABE 中 , ?ABE ? 90 ? ?PAB; 所以 ?P ? ?ABE . ????????????.5
?

分 (Ⅱ)在 Rt?ADB 中, CD2 ? AC ? CB ,由①得 ?BCF ∽ ?PCA ,∴ ∴ CD2 ? BC ? AC ? CF ? CP
2

BC CF , ? PC AC

,所以 CD =CF·CP。???????.10 分

? 2 t, ? x ? ?1 ? ? 2 2 23. 解:(Ⅰ) C1 : y ? x ( x ? 0), C2 : x ? y ? 1 ? 0 ,则 C 2 的参数方程为: ? (t 2 ?y ? 2 ? t. ? ? 2
为参数) ,代入 C1 得 t ? 2t ? 2 ? 0 ,
2

? AB ? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? 10 .
(Ⅱ) MA ? MB ? t1t 2 ? 2 . ………………………………………….10 分 24.不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} (II)? | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) |? 4 .

? a ? 4 ???????????????????????????10 分


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