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数列求和学案


第 2 章综合---数列求和学案 【学习目标】 :
1、理解数列前 n 项和的意义,掌握等差、等比数列的前 n 项和的求法和前 n 项和的公式; 2、掌握特殊数列前 n 项和的常用方法.

【自我小结】 :
1.数列求和的策略与思路 数列的求和,其关键是先求出数列的通项公式,然后根据通项公式的结构,选择适当 的求和方法. (1)首先判断数列

是等差还是等比数列?若是,则代公式,这就是公式法. (2)若不是,再考虑是否可以转化为等差或等比数列求和. 2.数列求和的常用方法: (1)公式法(直接求和);(2)分组转化法(3)错位相减法(4)裂项相消法

【自我小结】 :

【合作探究】
类型一:公式法(直接求和) 必须记住几个常见数列前 n 项和 等差数列: S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d ; ? na1 ? 2 2

?na1 (q ? 1) ? 等比数列: Sn ? ? a (1 ? q n ) a ? a q 1 ? 1 n (q ? 1) ? 1? q ? 1? q

例 1、求和

(1) Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n

(2) Sn ? 2 ? 4 ? 8 ???? 2n

(3) sn ? 1 ? a ? a 2 ? a 3 ???? a n

类型二:分组转化法 方法 1:分组转化法(通项分解法) :若通项能转化为等差数列与等比数列和(或差) ,即

an ? bn ? cn
例 1、求数列 1 ? 1, ? 4,

1 2

1 1 ? 7,?, n?1 ? 3n ? 2,? 的前 n 项和 S n . 2 2 2

练习: (1)求 1+1,

1 1 1 ? 3 , 2 ? 5 ,…, n ?1 ? 2n ? 1 ,…的前 n 项和 a a a

(2) 1+(1+

1 1 1 1 1 1 )+(1+ + )+……+(1+ + +……+ n ?1 ) 2 2 4 2 4 2

(3) ? a ? 1? ? ? a 2 ? 2 ? ? ? ? ? a n ? n ?

(4) 若数列{an }中,an ? ?2[n ? (?1) ],求S10和S99.
n

方法 2:奇偶讨论法(并项法) :把数列的某些项放在一起先求和,然后再求 Sn. 例 1、求和 S n ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (?1)
n ?1

(2n ? 1)

练习:已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1) (4n-3),那么 S15+S22-S31 的 值为__________.

n-1

方法 3:绝对值求和 an :注重原来通项正负转换的位置 例 1:已知等差数列 ? an ? 中, an ? 3n ? 16 ,数列 ?bn ? 中, bn ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 sn .

? ?

练习: 例 1: 已知等差数列 ? an ? 中,a1 ? 13, d ? ?5 , 数列 ?bn ? 中,bn ? an , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 sn

类型三: 错位相减法: 若通项能转化为等差数列与等比数列的积, 一般适用于数列 ?an bn ? 的前 n 项求和,其中 ? an ? 成等差, ?bn ? 成等比,即 a n ? bn ? c n . 例 1、 (1)求和 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
2 n ?1

.

(2)求数列 1? , 2 ? ,3 ? ,? 的前 n 项和 sn

1 2

1 4

1 8

例 2、求和 1 ? 2a ? 3a ? ? ? na
2

n ?1

练习:求和 Sn=1+3x+5x2+7x3+……+(2n-1)xn-1 (注意讨论 x)

类型四:裂项相消法:通项是分式结构,分母因式成等差数列关系,可以把通项写成两

项之差, an ? f (n ? 1) ? f (n) ,然后累加抵消掉中间的许多项,这种先裂后消的求和法 叫裂项求和法。 常见的拆项公式: ⑴

1 1 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ;⑵ ; n ? n ? 1? n n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

(3) 若 ? an ? 是公差为 d 的等差数列,则 (4)

1 1? 1 1 ? ? ? ? ?; an an ?1 d ? an an ?1 ?

1 1 ? a? b ; a ? b a ?b 1 1 1 1 例 1 求和 Sn = + + + ……+ 2 ? 5 5 ? 8 8 ?11 (3 n ?1)(3 n ? 2)

?

?

例 2、已知数列 ? an ? 的第 n 项 an ?

1 ,求其前 n 项和 Sn . n(n ? 1)

例 4、求数列1 ?

1 1 1 1 的前 n 项和 S n ; ? ? ??? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1? 2 ? 3 ??? n


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