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2015年人教版高中数学必修一第一章 集合与函数概念作业题及答案解析--1.3.1第1课时


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§ 1.3 1.3.1

函数的基本性质 单调性与最大(小)值 函数的单调性

第 1 课时
课时目标

1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法.

1.函数的单调性 一般地,设函数 f

(x)的定义域为 I: (1)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是__________. (2)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是__________. (3)如果函数 y=f(x)在区间 D 上是________或________,那么就说函数 y=f(x)在这一区 间具有________________,区间 D 叫做 y=f(x)的__________. 2.a>0 时,二次函数 y=ax2 的单调增区间为________. 3.k>0 时,y=kx+b 在 R 上是____函数. 1 4.函数 y= 的单调递减区间为__________________. x

一、选择题

1.定义在 R 上的函数 y=f(x+1)的图象如右图所示. 给出如下命题: ①f(0)=1; ②f(-1)=1; ③若 x>0,则 f(x)<0; ④若 x<0,则 f(x)>0,其中正确的是( ) A.②③ B.①④ C.②④ D.①③ 2.若(a,b)是函数 y=f(x)的单调增区间,x1,x2∈(a,b),且 x1<x2,则有( ) A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.以上都可能 3.f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)· f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b]上( ) A.至少有一个根 B.至多有一个根 C.无实根 D.必有唯一的实根 4.函数 y=x2-6x+10 在区间(2,4)上是( ) A.递减函数 B.递增函数 C.先递减再递增 D.先递增再递减 5.如果函数 f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的 x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论 中不正确的是( )

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f?x1?-f?x2? A. >0 x1-x2 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 C.f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) x1-x2 D. >0 f?x1?-f?x2? 6.函数 y= x2+2x-3的单调递减区间为( ) A.(-∞,-3] B.(-∞,-1] C.[1,+∞) D.[-3,-1] 题 答 号 案 1 2 3 4 5 6

二、填空题 7 .设函数 f(x) 是 R 上的减函数,若 f(m - 1)>f(2m - 1) ,则实数 m 的取值范围是 ______________. 8.函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈[2,+∞)时是增函数,当 x∈(-∞,2]时是减函数, 则 f(1)=________. 三、解答题 9.画出函数 y=-x2+2|x|+3 的图象,并指出函数的单调区间.

10.已知 f(x),g(x)在(a,b)上是增函数,且 a<g(x)<b, 求证:f(g(x))在(a,b)上也是增函数.

11.已知 f(x)= x2-1,试判断 f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明.

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能力提升 12.定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n 总有 f(m+n)=f(m)· f(n),且当 x>0 时,0<f(x)<1. (1)试求 f(0)的值; (2)判断 f(x)的单调性并证明你的结论.

13.函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的 x,y∈(0,+∞),都有 f(x+y) =f(x)+f(y)-1,且 f(4)=5. (1)求 f(2)的值; (2)解不等式 f(m-2)≤3.

1.函数的单调区间必须是定义域的子集.因此讨论函数的单调性时,必须先确定函数 的定义域.

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1 2.研究函数的单调性,必须注意无意义的特殊点,如函数 f(x)= 在(-∞,0)和(0, x 1 +∞)上都是减函数,但不能说函数 f(x)= 在定义域上是减函数. x 3.求单调区间的方法:(1)图象法;(2)定义法;(3)利用已知函数的单调性. 4.用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤: 即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤. 若 f(x)>0, 则判断 f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决, 即 “取值——作比变形—— 与 1 比较——判断” .

§ 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第 1 课时 函数的单调性
知识梳理 1.(1)增函数 (2)减函数 (3)增函数 减函数 (严格的)单调性 单调区间 2.[0,+ ∞) 3.增 4.(-∞,0)和(0,+∞) 作业设计 1.B 2.A [由题意知 y=f(x)在区间(a,b)上是增函数,因为 x2>x1,对应的 f(x2)>f(x1).] 3.D [∵f(x)在[a,b]上单调,且 f(a)· f(b)<0, ∴①当 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)<0,f(b)>0, ②当 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)>0,f(b)<0, 由①②知 f(x)在区间[a,b]上必有 x0 使 f(x0)=0 且 x0 是唯一的.] 4.C [如图所示,该函数的对称轴为 x=3,根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递 增的.]

5.C [由函数单调性的定义可知,若函数 y=f(x)在给定的区间上是增函数,则 x1-x2 与 f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项 A、B、D 正确;对于 C,若 x1<x2 时,可能有 x1 =a 或 x2=b,即 f(x1)=f(a)或 f(x2)=f(b),故 C 不成立.] 6.A [该函数的定义域为(-∞,-3]∪[1,+∞),函数 f(x)=x2+2x-3 的对称轴为 x =-1,由函数的单调性可知该函数在区间(-∞,-3]上是减函数.] 7.m>0 解析 由 f(m-1)>f(2m-1)且 f(x)是 R 上的减函数得 m-1<2m-1,∴m>0. 8.-3 m m2 解析 f(x)=2(x- )2+3- , 4 8 m 由题意 =2,∴m=8. 4 ∴f(1)=2×12-8×1+3=-3. 9.解 y=-x2+2|x|+3 2 2 ? ? ?-x +2x+3 ?x≥0? ?-?x-1? +4 ?x≥0? =? 2 =? . 2 ?-x -2x+3 ?x<0? ?-?x+1? +4 ?x<0? ? ? 函数图象如图所示.

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函数在(-∞,-1],[0,1]上是增函数, 函数在[-1,0],[1,+∞)上是减函数. ∴函数 y=-x2+2|x|+3 的单调增区间是(-∞,-1]和[0,1], 单调减区间是[-1,0]和[1,+∞). 10.证明 设 a<x1<x2<b, ∵g(x)在(a,b)上是增函数,∴g(x1)<g(x2), 且 a<g(x1)<g(x2)<b,又∵f(x)在(a,b)上是增函数, ∴f(g(x1))<f(g(x2)), ∴f(g(x))在(a,b)上是增函数. 11.解 函数 f(x)= x2-1在[1,+∞)上是增函数. 证明如下: 任取 x1,x2∈[1,+∞),且 x1<x2, 2 则 f(x2)-f(x1)= x2 -1- x2 1-1 2 2 x2-x1 ?x2-x1??x2+x1? = 2 = 2 . 2 x2-1+ x1-1 x2-1+ x2 1-1 ∵1≤x1<x2, 2 ∴x2+x1>0,x2-x1>0, x2 2-1+ x1-1>0. ∴f(x2)-f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1), 故函数 f(x)在[1,+∞)上是增函数. 12.解 (1)在 f(m+n)=f(m)· f(n)中, 令 m=1,n=0,得 f(1)=f(1)· f(0). 因为 f(1)≠0,所以 f(0)=1. (2)函数 f(x)在 R 上单调递减. 任取 x1,x2∈R,且设 x1<x2. 在已知条件 f(m+n)=f(m)· f(n)中, 若取 m+n=x2,m=x1, 则已知条件可化为 f(x2)=f(x1)· f(x2-x1), 由于 x2-x1>0,所以 0<f(x2-x1)<1. 在 f(m+n)=f(m)· f(n)中, 令 m=x,n=-x,则得 f(x)· f(-x)=1. 1 当 x>0 时,0<f(x)<1,所以 f(-x)= >1>0, f?x? 又 f(0)=1,所以对于任意的 x1∈R 均有 f(x1)>0. 所以 f(x2)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0, 即 f(x2)<f(x1).所以函数 f(x)在 R 上单调递减. 13.解 (1)∵f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5, ∴f(2)=3. (2)由 f(m-2)≤3,得 f(m-2)≤f(2). ∵f(x)是(0,+∞)上的减函数, ? ?m-2≥2 ∴? ,解得 m≥4. ?m-2>0 ? ∴不等式的解集为{m|m≥4}.


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