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4不确定度传递公式


四、不确定度的传递公式
1.多元函数的全微分 1.多元函数的全微分
为待测物理量, 设N为待测物理量,X、Y、Z为直接测量量

N = f ( x, y, z...)
?f ?f ?f dN = dx + dy + dz + ... ?x ?y ?z
若先取对数再微分,则有: 若先取对数再微分,则有: ln N = ln f ( x, y, z...)

dN ? ln f ? ln f ? ln f dx + dy + dz + ... = N ?x ?y ?z

2.间接测量的不确定度由传递公式计算

dN→σ, dx→σx, dy→σy, dz→σz,...
? ?f ? ? ?f ? ? ?f ? 2 2 σ = ? ? σ x + ? ? σ y + ? ? σ z 2 + ...... ? ?y ? ? ?x ? ? ?z ? ? ?
2 2 2

(1)

σ

? ? ln f ? 2 ? ? ln f ? 2 ? ? ln f ? 2 = ? ? σy +? ? σx + ? ? σz +...... N ? ?x ? ? ?z ? ? ?y ?
2 2

2

(2)

其中f 为间接测量量N 与直接测量量x 其中 f 为间接测量量 N 与直接测量量 x 、 y 、 之间的函数关系。 z……之间的函数关系。 之间的函数关系

已测得矩形宽、 已测得矩形宽、长结果分别是 a = 10.0 ± 0.1cm 求周长L的不确定度? b = 20.0 ± 0.1cm 求周长L的不确定度?

解: L = 2( a + b ) = 2(10.0 + 20.0 ) = 60.0( cm )
? ?L ? ? ?L ? σL = ? σa ? +? σb ? ? ?a ? ? ?b ?
2 2

=

(2σa )2 + (2σb )2

= 2 0.12 + 0.12
= 0.3( cm )

周长L 周长L的不确定度 σ L = 0 . 3 cm

测量结果表达式: 五、测量结果表达式:
N = N ±σ (单 ) 位
N = N ± 2σ (单 ) 位

P = 0.683

P = 0.954
P = 0.997

N = N ± 3σ (单 ) 位

六、传递公式的应用
1.计算间接测量量的不确定度 1.计算间接测量量的不确定度 2.分析主要误差来源 2.分析主要误差来源 3.在设计性实验中进行误差分配 3.在设计性实验中进行误差分配 4.帮助正确选择仪器及确定测量条件 4.帮助正确选择仪器及确定测量条件

4M 测量铜圆柱体的密度。 根据公式 ρ = πD 2 H 测量铜圆柱体的密度。

已知: 已知:M=45.038±0.004(g), D=1.2420±0.0004(cm), ± ± H=4.183±0.003(cm). 试评定 ρ 的不确定度 σ ρ . ± 计算测量值 解: 1.计算测量值
4M 4 × 45.038 ρ= 2 = = 8.886( gcm?3 ) πD H 3.14159×1.24202 × 4.183

2.先计算相对不确定度 先计算相对不确定度
2 2 2 σρ ?σM ? ? σD ? ?σH ? = ? ? +?2 ? +? ? M ? ? D ? ? H ? ρ ?

? 0.004 ? ? 0.0004 ? ? 0.003 ? = ? ? + ? 2× ? +? ? 45.038 ? ? 1.2420 ? ? 4.183 ? ? = 9.6 ×10?4

2

2

2

3.求 ρ 的不确定度 求

σρ ?4 ?3 = 8.886 × 9.6 ×10 = 0.008( gcm ) σρ = ρ ρ
4.测量结果表示: 测量结果表示: 测量结果表示

ρ = 8.886 ± 0.008( gcm )
?3

测边长 a ≈10mm 的立方体体积V,要求 的立方体体积V 问用下列哪种游标卡尺最恰当? EV ≤ 0.6% ,问用下列哪种游标卡尺最恰当?

解 :V =a

(1)10分度 分度
3

(2)20分度

(3)50分度

3σ a ? lnV ? ln a3 EV = σa = σa = a ?a ?a

( )

3σ 由条件: 由条件: EV = a ≤ 0.6% a

3σ a 则: ≤ 0.6% 10

得: σ a ≤ 0.02mm 又: ?仪 = σa 3 ≤ 0.02× 3 = 0.03mm 故合适的仪器为50分度的游标卡尺( 故合适的仪器为50分度的游标卡尺( ?仪 = 0.02mm) 50分度的游标卡尺


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