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天津市新四区示范校2014-2015学年高一下学期期末联考数学试题


天津市新四区示范校 2014—2015 学年度第二学期高一年级期末联考 数学试卷 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的. 1.如果 a ? b ? 0 ,则下列不等式中成立的只有( )

? x ? y ? 2, 2. 已知变量 x,y 满足约束条件 ? 则目标函数 z ? 2

x ? y 的最小值是( ) ? x ? y ? 2, ?0 ? y ? 3, ?

a B. ab ? 1 ?1 b A. 7 B. ? 5 C. 4
A.

C .

a ?1 b D. ? 7
)

D.

1 1 ? a b

3.图 1 是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶 图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( A. 62
甲 5 3 3 4 6 8 7 9 1 1 2 3 4 图1 4 2 5 5 6 7 3 7 8

B . 63


C. 64

D. 65

第4题 图 4.如图所示程序框图中,输出 S A. 45 B. 66

?(

) C.

?66

D. ?55

5.已知关于 x 的方程 x 2 ? (b cos A) x ? a cos B ? 0 的两根之积等于两根之和,且边 a, b 为

?ABC 的两内角 A, B 所对的边,则 ?ABC 是(
A.等腰三角形 B.等边三角形

) D.等腰直角三角形

C.直角三角形

6.已知数列 {an } 为等差数列,其公差为 ? 2 ,且 a 5 是 a2 与 a7 的等比中项, S n 为 {an } ( n ? N ? )的前 n 项和,则 S8 的 值为( ) A. ? 104 7. 下列命题正确的是( ①函数 y ? sin( 2 x ? B. ? 108 ) C. 108 D. 104

?
6

) ? 1 的一个对称中心是 (

?
12

, 0) ;

②从装有 2 个红球和 2 个白球的袋内任取 2 个球,则事件“至少有 1 个红球”和事件“全是白球”是互斥而不对立 的两个事件;

? 个单位长度, 即得到函数 y ? sin 2 x 的图象; 4 8 2 2 ④若函数 y ? (k ? 4k ? 5) x ? 4(1 ? k ) x ? 3 的图象都在 x 轴上方,则实数 k 的取值范围是
③ 将 f ( x ) ? sin(2 x ?

?

) 的图象向右平移

[1,19) .

A.①③

B.①④

C.②④

D.③④

8.对于实数 x 和 y ,定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若对任意 x ? 1 ,不等式 ( x ? m) ? x ? 1 都成立,则实数 m 的取值范围是( A. [?1, 3] B. ( ?? , 3] ) C. (?? , ? 1] ? [3 , ? ?) D. [3 , ? ?)

二、填空题:本大题共 6 小题.每小题 4 分,共 24 分. 9.利用计算机产生区间 (0 ,1) 内的均匀随机数 a ,则事件“ 3a ? 1 ? 0 ”的概率为 10.如图是某学校抽取的 n 个学生体重的频率分布直方图,已知图中从左到右的前 3 个小组 的频率之比为 1 : 2 : 3 ,第 3 小组的频数为 18 ,则 n 的值是

第 10 题图

第 13 题图

11.已知 x , y 的取值如表所示:若 y 与 x 呈线性相关, 且
? 7 12.回归方程为 y ? b x ? ,则 b 等于 2

?

?

x y

2 5

3 4

4 6

13.正项等比数列 {a n } 中,若 log2

( a2 a98 )

? 4 ,则 a40 a60 =

14.如图 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上, AD ? AC , sin ?BAC ? 2 2 , AB ? 3 2 , 3 AD ? 3 ,则 BD 的长为 14.在 ?ABC 中, E 为边 AC 上一点,且 AC ? 3 AE , P 为 BE 上一点,且满足 AP ? m AB ? n AC(m ? 0, n ? 0) ,则

m ? n ? mn 的最小值为 mn
三、解答题:本大题共 5 小题,满分 56 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 8 分)一个盒子中装有 5 张卡片,每张卡片上编有一个数字,分别是 1 , 2 3,4,5 ,现从盒子中随机抽取卡片 (I)若一次抽取 3 张卡片,求所抽取的三张卡片的数字之和大于 9 的概率 (II)若从编号为 1、2、3、4 的卡片中抽取,第一次抽一张卡片,放回后再抽取一张卡片, 求两次抽取至少一次抽到数字 3 的卡片的概率。 16.(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? 2sin (I)求函数 f ( x) 的表达式并求 f ? x ? 在区间 [?
2

?x
2

(? ? 0) 的最小正周期为 3? ,

? 3?

, ] 上的最小值; 4 2

(II)在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,且 a ? b ? c , 3a ? 2c sin A , 求角 C 的大小;

17.(本小题满分 12 分)已知关于 x 的不等式 ax ? 3x ? 2 ? 0 ( a ? R )
2

(I)若不等式 ax ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 {x | x ? 1或x ? b} ,求 a,b 的值.
2

(II)求不等式 ax ? 3x ? 2 ? 5 ? ax ( a ? R ) 的解集
2

1 8.( 本 小 题 满 分 l2 分 ) 已 知 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 满 足 S n ?

n 2 9n ? . 数 列 { bn } 满 足 2 2

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0( n ? N* ) ,且 b1 ? 5 ,{ bn }前 8 项和为 124.
(I)求数列{ a n }、{ bn }的通项公式; (II)设 cn ?

3 1 ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,并证明 Tn ? . (2an ? 9)(2bn ? 1) 3

* 19.(本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 满足 4an ? an?1 ? 3 (n ? 2, 且 n ? N ) ,且 a1 ? ?

设 bn ? 2 ? 3 log1
4

( an ?1)

(n ? N * ) ,数列 ?cn ? 满足 cn ? (an ? 1)bn .

3 , 4

(I)求证 {an ? 1} 是等比数列并求出数列 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 {c n } 的前 n 项和 S n ; (III)对于任意 n ? N , t ? [0 ,1], cn ? tm ? m ?
2 ?

1 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2

天津市新四区示范校 2014——2015 学年度第二学期 高一年级期末联考数学答案 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1-4 C B C A 5-8 A D D B 二、填空题:本大题共 6 小题.每小题 4 分,共 24 分 9.

2 3

10. 48

11.

1 2
5? 2 3

12. 16

13.

3

14.

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 56 分. 15.(本小题满分 8 分) 解: (1)令事件 A “三张卡片之和大于 9” 且从 5 张卡片中任取三张所有结果共十种: (1,2,3) (1,2,4) (1,2,5) (1,3,4,) (1,3,5) (1,4,5) (2,3,4) (2,3,5) (2,4,5) (3,4,5)

?三张卡片之和大于 9 的概率 P(A)= 2
5
(2)令事件 B 为“两次抽取至少一次抽到数字 3” 则其对立事件 B “两次都没抽到数字 3”

????4 分

第一次抽一张卡片,放回后再抽取一张卡片共 16 种结果: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) , (2,1) (2,2) (2,3) (2,4),(3,1) (3,2) (3,3) (3,4),(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)

?两次抽取至少一次抽到数字 3 的概率是 7 。
16
16.(本小题满分 10 分) 解(I) f ( x) ?

9 7 ? P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ? 16 ? 16

????8 分

1 ? cos ? x ? ? 2sin(? x ? ) ? 1 2 6 2? 2 ? 3? , 解得 ? ? . 函数 f ( x)的最小正周期为 3? , 即 ? 3 2 ? ? f ( x )? 2 s i n x (? ? ) 1 3 6 ? 3? 2 x ? 7? 0? ? ? 因为 ? ? x ? 4 2 3 6 6 1 2x ? ? ? sin( ? ) ? 1 2 3 6 3 sin ? x ? 2 ?

??2 分

????3 分 ????4 分 ????5 分 ????6 分

?

?

? ? 2 ? f ( x) ? 1 ,

f ( x)min ? ?2

(II)因为 3a ? 2c sin A ,由正弦定理得

? a ? 2 sin A = sin A
c

????8 分

3

sin C

又 sin A ? 0

? sin C ?

3 2

????9 分

又因为 a ? b ? c ,所以 C ? 17.(本小题满分 12 分) (1)将 x ? 1 代入 ax ? 3x ? 2 ? 0,
2

2? 3

????10 分

则a ?1

????1 分

? 不等式为 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 即 ( x ? 1)(x ? 2) ? 0

?不等式解集为{x ?b ? 2
2

x ? 2 或 x ?1}
????3 分

(2)不等式为 ax ? (a ? 3) x ? 3 ? 0 ,即 (ax ? 3)(x ? 1) ? 0 当 a ? 0 时,原不等式解集为 x x ? ?1 } 当 a ? 0 时,方程 (ax ? 3)(x ? 1) ? 0 的根为 x1 ?

?

????5 分 ????6 分

3 , x 2 ? ?1 , a

????7 分

3 ?①当 a ? 0 时, 3 ? ?1 ,?{x x ? a 或 x ? ?1}

a

②当 ? 3 ? a ? 0 时, ③当 a ? ?3 时,

3 ? ?1 , a

3 ? ?1 , a 3 ④当 a ? ?3 时, ? ?1 , a

??

3 ? x ? ?1} ?{x a

3 } ?{x ? 1 ? x ? a

????11 分

综上所述,原不等式解集为①当 a ? 0 时, { x x ?

3 或 x ? ?1} a 3 ②当 ? 3 ? a ? 0 时, { x ? x ? ?1} a
③当 a ? ?3 时, ? ④当 a ? ?3 时, { x ? 1 ? x ?

3 } a

⑤ 当 a ? 0 时,原不等式解集为 x x ? ?1 }

?

????12 分

18.(本小题满分 12 分)

n 2 9n ? (1)因为 S n ? 2 2
∴ S n ?1 ?



1 9 (n ? 1) 2 ? (n ? 1)( n ? 2) 2 2

② ????2 分

∴①-②得

an ? n ? 4(n ? 2)

且当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 5 ∴ an ? n ? 4(n ? N * ) ????3 分

由已知 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0( n ? N* ) ∴数列 {bn } 为等差数列,令其公差为 d 又 b1 ? 5 ∴ 40 ? 28d ? 124 ∴ bn ? 3n ? 2 (2)∴ cn ? ∴ Tn ? ∴d ? 3 ????6 分

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

????8 分

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ?? ? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 ? (1 ? ) ????10 分 2 2n ? 1 1 函数 f ( x) ? 为 (0 , ? ?) 的单调递减函数(另:因为 cn ? 0 ,∴ Tn 单调递增) 2x ?1

∴ Tn 为单调递增, Tn ? T1 ? ∴ Tn ?

1 3
????12 分

1 3

19.(本小题满分 14 分) 解: (1)因为 4an ? an?1 ? 3 ∴ 4an ? 4 ? an?1 ? 1, (an ? 1) ?

1 (an ?1 ? 1) ????2 分 4

∴ {an ? 1} 是等比数列,其中首项是 a1 ? 1 ? ∴ an ? 1 ? ( )

1 1 ,公比为 4 4
??????4 分

1 4

n

, an ? ( ) ? 1
n

1 4

(2) bn ? 2 ? 3 log1
4

( an ?1)

(n ? N * ) ? bn ? 3n ? 2

?????5 分

1 n 1 n 由(1)知, an ? 1 ? ( ) ,? bn ? 3n ? 2 ? c n ? (3n ? 2) ? ( ) , (n ? N *) ?????6 分 4 4 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 ? S n ? 1 ? ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 ???7 分 ? S n ? 1 ? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? 7 ? ( ) 4 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 4 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 两式相减得 S n ? ? 3[( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4 1 1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 . 2 4 2 (3n ? 2) 1 n ? Sn ? ? ( ) ????9 分 3 3 4 1 n ?1 1 n ?1 1 n (3)? c n ?1 ? c n ? (3n ? 1) ? ( ) ? (3n ? 2) ? ( ) ? 9(1 ? n) ? ( ) , ( n ? N *) ?10 分 4 4 4 1 ∴当 n ? 1 时, c2 ? c1 ? 4
当 n ? 2时, cn?1 ? cn ,即c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn ∴当 n ? 1 或 n ? 2 时,

c n 取最大值是
只须

1 4
即 tm ? m ?
2

????12 分

1 1 ? tm 2 ? m ? 4 2

3 ? 0 对于任意 t ?[0 ,1] 恒成立 4

3 ? 2 m ?m? ?0 ? ? 4 即? ?m ? 3 ? 0 ? 4 ?
?m ? ? 3 4
????14 分


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