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陕西省长安一中2013届高三第一次模拟考试数学(理)试题


陕西长安一中 2013 届高三 4 月模拟考试

数学(理)试题
第 I 卷 (选择题,共 50 分)
一、选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. ) 1.已知 f ( x) ? ?

?1 ? x, x ? R ,则 f ( f (1 ? i )) ? ?(1 ? i ) x, x ? R

/>D.0

A.3+1 B.3 C.-3 2.“非空集合 M 不是 P 的子集”的充要条件是( ) A. ?x ? M , x ? P C. ?xo ? M , xo ? P B. ?x ? P, x ? M D. ?xo ? M , xo ? P

3.下列函数中,在区间(-l,1)内有零点且单调递增的是( ) A.y = sinx B.y = -x3 C.y=(

1 x ) -1 2


D.y=log2(x+3)

4.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是( A.10 B.40 C.

40 3

D.

80 3

5.已知 min( a, b) ? ?

? a, ( a ? b) 1 ,设 f(x)= min{x3, },则由 x ?b, (a ? b)


函数 f(x)的图像与 x 轴、直线 x=e 所围成的封闭图形的面积为( A.10 B.40 C. 6.函数 f(x)=3sin

?
2

40 3

D.

80 3


x-log2x-

1 的零点个数为( 2

A.2 B.3 C.4 D.5 2 o 7.过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 且倾斜角为 60 的直 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A、B 两点,则 A.5

AF BF

?(
B.4

) C.3 D.2

8.已知 f(x)= sin(x+

?
2

) ,g(x)= cos(x-

?
2

) ,则下列结论中正确的是(



A.函数 y=f(x)· g(x)的周期为 2; B.函数 y=f(x)· g(x)的最大值为 l; C.将 f(x)的图象向左平移 D.将 f(x)的图象向右平移

? ?
2 2

个单位后得到 g(x)的图象; 个单位后得到 g(x)的图象;

x2 y2 9.过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为点 A,与 a b
另一条渐近线交于点 B,若 FB ? 2 FA ,则此双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C.2 D. 5 ) ’

10.f(x)=x2-2x,g(x)= ax+2(a>0) .对 ? x1∈[-l,2], ?x o ∈[-l,2],使 g(x1)=f(xo), 则 a 的取值范围是( A. ? 0, ? 2 ) B. ? ,3? 2

? ?

1? ?

?1 ? ? ?

C. ?3,?? ?

D. ?0,3?

第Ⅱ卷 (非选择题,共 100 分)
二、填空题(本题共 5 小题,每小置 5 分,满分 25 分) . 11. (1+x+x2) (x-

1 6 ) 的展开式中的常数项为____ x

. .

12.设向量 a,b 满足:|a|=1,|b|=2,a· (a+b=0,则 a 与 b 的夹角是____ 13.已知等差数列{an}中,有

a11 ? a12 ? ? ? a20 a1 ? a2 ? ? ? a30 成立,类似地,在等比数 ? 10 30

列{bn}中,有 成立. 14.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x)且 f(x)在[-1,0]上是增函数,给出 下列四个命题:①f(x)是周期函数:②f(x)的图像关于 x=l 对称: ③f(x)在[l,2l 上是减函数;④f(2)=f(0) ,其中正确命题的序号是 . (请把正确命题的 序号全部写出来) l5.注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅计分) A. (选修 4-4 坐标系与参数方程)已知圆 C 的圆心为(6,

?
2

) ,半径为 5,直线 。

? ? ?(

?
2

? ? ? ? , ? ? R) 被圆截得的弦长为 8,则 ? =

B. (选修 4-5 不等式选讲)如果关于 x 的不等式|x-3|-|x-4|<a 的解集不是空集,则实 数 a 的取值范围是____ C. (选修 4-1 几何证明选讲) ,AB 为圆 O 的直径,弦 AC、BD 交于点 P,若 AB=3,CD=l, 则 sin ∠APD= 。

三、解答题(本题共 6 小题.75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 16. (12 分)在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别是 a、b、c,且满足 cos

A 2 5 = , 5 2

b+c=6, AB ·AC =3. (I)求 a 的值;

2 sin( A ?
(Ⅱ)求

?

4 1 ? cos 2 A

) sin( B ? C ?

?
4

)

17. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 Sn=n2+ 2n. (I)求数列{an}的通项公式: (Ⅱ)数列{bn}中,b1=1,bn=ab-1(n≥2) ,求{bn}的通项公式.

18. (12 分)在如图所示的三个游戏盘中(图(1)是正方形,E、F 分别是所在边中点,图(2) 是半径分别为 2 和 4 的两个同心圆,图(3)是正三角形,点 P 为其中心)各有一个玻璃 小球,依次摇动三个游戏盘后,将它们水平放置,就完成了一局游戏. (1)一局游戏后,这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少? (Ⅱ)用随机变量 ? 表示一局游戏后,小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影 部分的事件数之差的绝对值,求随机变量 f 的分布列及数学期望.

19. 分) (12 如图, 已知四棱锥 E-ABCD 的底面为菱形, 且∠ABC=60o, AB= EC=2, AE= BE= 2 . (I)求证;平面 EAB⊥平面 ABCD。 (Ⅱ)求二面角 E-AD-C 的余弦值.

20. (13 分)在平面直角坐标系中,点 P 到两点(0,- 3 , (0, 3 )的距离之和等于 4,设 点 P 的轨迹为 C. (I)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过点(0, 3 )作两条互相垂直的直线 l1,l2 分别与曲线 C 交于 A,B 和 C.D.求 四边形 ABCD 面积的取值范围.

21. (14 分)已知函数 f(x)=lnx-px+l. (I)求函数 f(x)的极值点; (Ⅱ)若对任意的 x>0,恒有(x) ? 0.求 p 的取值范围; (Ⅲ)证明:

1n 2 1n3 1nn 2n 2 ? n ? 1 ? 2 ??? 2 ? (n ? N , n ? 2) 。 2(n ? 1) 22 3 n


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