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3.1.1两角差的余弦公式(不用向量知识)


不查表能否求出15°的余弦值? 15°=45°-30° cos15°= cos(45°-30°)
如何用任意角α、β的余弦值表示cos(α-β)?

∠POP1=β, 作角∠P1Ox=α , 则θ=∠POx =α -β
? 在Rt ?OAP 中, OP ? 1 OA AP 则 cos ? ? ? OA, sin ? ? ? AP OP O

P OB 又在 Rt ?OAB中, cos? ? , OA 则OB ? OA cos? ? cos ? cos? ? PA ? OP1于A ? ?PAC ? ?OAB ? 90 ? 在Rt ?OAB中, ? ? ?OAB ? 90 ? ? ?PAC ? ? 在Rt ?OAB和Rt ?CP A中, ??PAC ? ? ? ??AOB ? ?PCA ? 90 ? ??CPA ? ?OAB ? ? Rt ?OAB Rt ?CP A AB CP ? ? ? sin ? , CP ? AP sin ? ? sin ? sin ? OA AP

y
A
β ? O

P1
C

P

B M

x

找线
OM ? OB ? BM ? OB ? PC ? cos? cos? ? sin? sin? 在以 为单位的单位圆里, 1 OM cos? ? cos( ? ? ) ? ? ? OM 1 ? OM ? OB ? PC 即cos( ? ? ) ? cos? cos? ? sin? sin? ?

对任意角α、β有

cos(α -β)=cosα cosβ+sinα sinβ

想一想:这条公式有何特点?你如何记忆?

C

?α -β ? ?

CC ? SS

应用

已知四个单角函数值求差角的余弦。

例1,利用差角余弦公式求cos15°的值. 分析:怎样把15°表示成两个特殊角的差?

cos 解: 15? ? cos( 45? ? 30?)

? cos45? cos30? ? sin45? sin30?
2 3 2 1 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 6? 4 2

变式:

求sin75°的值.

sin 解: 75? ? sin( 90? ? 15?) ? cos15?
6? 2 cos15 ? ? 4 6? 2 即sin 75? ? 4

已知两个单角函数值求差角的余弦。 ? 4 ,α∈( ,?),cosβ= 5 例2, 已知sinα= , β是 2 5 13 第三象限角,求cos(α-β)的值。 分析:由Cα-β和本题的条件,要计算cos(α-β), 还应求什么? 4 ? 解:由sinα= 5 α∈( ,?),得 , 2
3 ?4? cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5?
2 2

应用

所以cos(α-β)= cosβcosα+sinβsinα

12 ? 5 ? sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? 1 ? ? ? ?? ? 13 ? 13 ?

- 5 ,β是第三象限的角,得 又由cosβ= 13

33 ? 3 ? ? 5 ? 4 ? 12 ? ? ?? ???? ? ? ??? ? ? ? 65 ? 5 ? ? 13 ? 5 ? 13 ?

应用

公式的逆用

cosα -β)=cosα sinβ=cos(α -β) cos(αcosβ+sinα cosβ+sinα sinβ cos12 +sin27° sin12° 的值 例3: 求 cos27° °
求cosxcos(x+15° +sinx sin(x+15° ) )的值

6? 4
1 练习:1. cos175 cos 55 ? sin 175 sin 55 ? ? 2
0 0 0 0

2

2. cos( ? 21 ) cos( ? 24 ) ? sin( ? 21 ) sin( ? 24 ) ? ? ? ? ?
0 0 0 0

2 2

α 思考题:已知 , β
5 cos ? +β ? ? ? α 13

4 都是锐角,cosα = 5 ,

求 cosβ 的值

变角: β = ? +β α

? ?α

分析: cos ?

? cos??? ? ? ? ? ? ?

? cos? ?βcosα sin? ?βsinα α ? ? α ?
5 4 12 3 ? ? ? ? ? ? 16 13 5 13 5 65

作业:P137

1(3)和3


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