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高三一模填选难题解析(2)(闵行、徐汇、松江、青浦、金山、奉贤)


高三一模客观压轴题汇编(2) (闵行、徐汇、松江、青浦、金山、奉贤) 填空题
1.(2014 年闵行一模理 12)设 i, j 依次表示平面直角坐标系 x 轴、 y 轴上的单位向量, 且 a ? i ? a ? 2 j ? 5 ,则 a ? 2i 的取值范围是 答案: [

6 5 ,3] 5

详解:根据题意, a ? i ?

a ? 2 j ? 5 的几何意义为一个点到 (1, 0) 的距离加上这个点到 (0, 2) 的距离 等于 5 ,如下图所示,即到 A 点的距离加上到 B 的距离等于 5 ,而 AB 就等于 5 ,所以这个点的轨迹 即线段 AB ,而我们要求的取值范围的几何意义即转化成线段 AB 上的点到点 (?2, 0) 的距离的取值范围, 最短距离即下图中的 CD 的长度,用点到直线的距离公式或者等面积法可求得 CD ? 因为 BC ? 2 2 , AC ? 3 ,所以距离的最大值为 3

6 5 , 5

教法指导:用代数的方法计算,因为有根号,过程会很繁杂,结合向量的模的几何意义,转化成图形问题, 简洁明了,易于理解,教学过程中注意引导数形结合的使用

? log 2 x (0 ? x ? 4) ? 2.(2014 年闵行一模理 13) f ( x) ? ? 2 2 ,若 a, b, c, d 互不相同, 70 ( x ? 4) ? 3 x ? 8x ? 3 ?
且 f (a) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) ,则 abcd 的取值范围是 答案: (32,35) 详解:根据题意,如图所示, ab ? 1 , abcd ? cd ? c(12 ? c) ? 12c ? c , 4 ? c ? 5 ,所以答案为 (32,35)
2

1

BSC SH

教法指导:这类题出现较多,典型的数形结合题型,要让学生熟悉各类函数图象,以及相应的性质, 尤其是对称性和周期性;在草稿纸上作图的时候,虽然是草图,但有必要做出一些特殊点 进行定位;写区间的时候,务必考虑区间的开闭情况 变式练习 (2014 年闵行区一模文科 13)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? 1 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? t (t ? R) 恰有四个互 不相等的实数根 x1 , x2 , x3 , x4 ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 的取值范围是 答案: (3, 4) 详解:根据题意,如图所示 x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x3 ? x4 ? x3 ? (4 ? x3 ) ? 4x3 ? x32 , x3 ? (1, 2)

3.(2014 年闵行一模理 14)

? 1 1 ? Ak ? ? x x ? kt ? , 2 ? t ? 1? ,其中 k ? 2,3,......, 2014 ,则所有 Ak 的交集为 kt k ? ?
答案: [2, ] 详解:因为 k ? 2,3,......, 2014 ,所以

5 2

1 1 1 ? ? 1 ,结合耐克函数的图像,如图所示,当 2 ? t ? 1 时, 2 k k k

1 1 5 Ak ? [2, k ? ] ,因为 k ? 2,3,......, 2014 时, k ? 递增,所以所有 Ak 的交集为 [2, ] k 2 k

2

BSC SH

教法指导:本题考查了耐克函数的图像与性质,结合图像以及函数的定义域,处理函数的值域问题; 难度不大,但学生可能会因为含有参数 k 而产生畏难心理,可以让学生先求 A2 , A3 , A4 , 发现一般规律,再总结归纳 变式练习 (2014 年闵行区一模文科 14)已知 f ( x) ? 乘积为 答案:

x 4 ? kx 2 ? 1 ( k 是实常数) ,则 f ( x ) 的最大值与最小值的 x4 ? x2 ? 1

k +2 3

4.(2014 年徐汇一模理 12) 如图所示,已知点 G 是△ ABC 的重心,过 G 作直线与 AB 、 AC 两边分别交于 M 、 N 两点, 且 AM ? xAB, AN ? yAC ,则

xy 的值为 x? y

答案:

1 3

详解: 解法一: ∵ M , G, N 三点共线, 假设 AG ? ? AM ? ? AN , 有 ? ? ? =1 , ∵ AM ? xAB, AN ? yAC , ∴ AG ? ? AM ? ? AN = ? xAB+? y AC ,因为 G 是重心,所以 AG ? 即 ? x =? y ?

1 1 AB ? AC 3 3

1 1 xy 1 1 ? ? 1 ,化简 ,∵ ? ? ? =1 ,∴ = 3 x? y 3 3x 3 y
3 BSC SH

解法二:特殊值法,取 x ? y ?

2 3

教法指导:作为填空题,本题的第一做法应是解法二,但对于一些特别认真的学生,一定会问具体做法的, 要求我们能够写出具体过程;注意向量一些常用知识点,以及一些转化技巧

5. (2014 年徐汇一模理 13) 一个五位数 abcde 满足 a ? b, b ? c ? d , d ? e, 且 a ? d , b ? e (如 37201,45412),则称这个五位数符合“正弦规律”.那么,共有 答案:2892 详解:根据题意,第二位最大,第四位最小,其他三个数介于二者之间;由此可以展开分类 ① 第二位数与第四位数相差 2,情况为 1 ? 8 种;
3

个五位数符合“正弦规律”

② 第二位数与第四位数相差 3,情况为 2 ? 7 种;
3

③ 第二位数与第四位数相差 4,情况为 3 ? 6 种;
3

?? 以此类推,总共的情况为 1 ? 8+2 ? 7+3 ? 6+4 ? 5+5 ? 4+6 ? 3+7 ? 2+8 ?1=2892 种
3 3 3 3 3 3 3 3

教法指导:特殊元素优先原则,这里面最大的第二位数与最小的第四位数最特殊,由此可以展开分类;这 类题型学生一般不知道从何下手,我们要教会学生发现规律,找出特殊元素或特殊位置,从而合理分类 6.(2014 年徐汇区一模理科 14)定义区间 ? c, d ? 、 ? c, d ? 、 ? c, d ? 、 ? c, d ? 的长度均为 d ? c ? d ? c ? . 已知实数 a, b ? a ? b ? .则满足 答案:2 详解:因为求的是区间的长度,原不等式

1 1 ? ? 1 的 x 构成的区间的长度之和为 x ?a x ?b 1 1 ? ? 1 (a ? b) 的解的区间长度和 x ?a x ?b

不等式

1 1 ? ? 1 (t ? 0) 的解的区间长度是一样的,因为只是图像发生了平移,移项通分 x?t x



t ? 2 ? t2 ? 4 t ? 2 ? t2 ? 4 x 2 ? tx ? 2 x ? t ] ? (t , ], ? 0 ,因式分解后用数轴标根法解得 x ? (0, 2 2 x( x ? t ) t ? 2 ? t2 ? 4 t ? 2 ? t2 ? 4 ? ?t ? 2 2 2

区间长度之和为

教法指导:因为含有两个字母,不等式不好解,所以我们要化归成一个字母的不等式问题,因为描述的是 区间长度,根据题意,图像平移并不改变区间长度,就转化成一个字母,然后解出不等式即可求区间长度, 注意转化化归的领会;当然,这道题也可以用特殊值法,不再赘述 7.(2014 年松江一模理 11) 对 于 任 意 实 数 x , x 表 示 不 小 于 x 的 最 小 整 数 , 如 1.2 ? 2, ?0.2 ? 0 . 定 义 在 R 上 的 函 数

4

BSC SH

f ( x) ? x ? 2x ,若集合 A ? ? y y ? f ( x ), ?1 ? x ? 0? ,则集合 A 中所有元素的和为
答案: ?4 详解: x ? ?1 时, f ( x) ? ?3 ; ?1 ? x ? ?0.5 , f ( x) ? ?1 ; ?0.5 ? x ? 0 , f ( x) ? 0 ; A ? ??3, ?1,0? 教法指导:根据题目定义,引导学生发现规则,用枚举法列出所有元素即可,重在理解

8.(2014 年松江一模理 13)已知函数 f ( x) ? log a 1 ? x (a ? 0, a ? 1) ,若 x1 ? x2 ? x3 ? x4 , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ,则 答案:2
?t ?t ?t 详解:解法一:设 f ( x ) ? log a 1 ? x ? t ,∴ loga 1 ? x ? ?t , 1 ? x ? a , x ? 1 ? ?a ? x ? 1 ? a

1 1 1 1 ? ? ? ? x1 x2 x3 x4

四个根为 1 ? a , 1 ? a , 1 ?
t t

1 1 1 ?1 at at 1 ? , ,它们的倒数为 , , , at at a t ? 1 a t ? 1 at ? 1 at ? 1

倒数之和等于 2 解法二:特殊值,例如 a ? 2 ,令 f ( x) ? 1 ,解出四个根即可 教法指导:本题直接求出四个解,并不难,就怕有些学生认为没这么简单,从而去从其他角度分析,反而 复杂了,当然,本题可以借助数形结合的方法进行理解,作为填空题,特殊值不失为一种好方法

9(2014 年松江一模理 14) 设集合 A ? {1, 2,3,

, n} ,若 B ? ? 且 B ? A ,记 G ( B ) 为 B 中元素的

最大值与最小值之和,则对所有的 B , G ( B ) 的平均值= 答案: n ? 1 详解:当最大值为 n 时,最小值可以为 1,2,3? n ,G ( B ) 个数为 n ,G ( B ) 之和为 1 ? 2 ? ... ? n ? n ? n =

n(1 ? n) 3 1 ? n 2 ? n 2 ? n ;同理当最大值为 n ? 1 时, G ( B ) 个数为 n ? 1 , 2 2 2
和为

3 1 n(1 ? n) (n ? 1) 2 ? ( n ? 1) ;以此类推,所有 G ( B ) 的个数为1 ? 2 ? ... ? n ? , 2 2 2

所有 G ( B ) 的和为

1 1 1 1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ? ? n(n ? 1) 2 2 2 2

n(1 ? n) 3 2 1 (1 ? 22 ? ... ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? ... ? n) =,除以 G ( B ) 的个数 2 2 2
就是 G ( B ) 的平均值=

1 1 (2n ? 1) ? ? n ? 1 2 2

教法指导:本题可以举一些 A ? {1, 2,3,

, n} 的子集,让学生理解 G ( B ) 的意思,然后按最大值或者最小

值进行分类,注意 B 可能是个单元素集合,不要遗漏这种情况;这类题目注意培养学生的耐心

5

BSC SH

10.(2014 年青浦一模理 13)已知直角坐标平面上任意两点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ,定义

? ? x ?x d ( P, Q ) ? ? 2 1 ? ? y2 ? y1

x2 ? x1 ? y2 ? y1 为 P, Q 两点的“非常距离” ,当平面上动点 M ( x, y ) x2 ? x1 ? y2 ? y1

到定点 A(a, b) 的距离满足 MA ? 3 时,则 d ( M , A) 的取值范围是 答案: [

3 2 ,3] 2

详解:根据题意,通过比较两点的水平距离和垂直距离,较大的为“非常距离” , A 为定点, M 的轨迹 是 A 为圆心,3 为半径的圆,根据下图,例如 A, M1 两点的垂直距离较大,那么此时 A, M 的非常距离为 图中的绿色线段部分, 而 A, M 2 两点的水平距离相比垂直距离更大, 那么非常距离为图中的紫色线段部分, 可以得出 M 与 A 的水平距离或垂直距离最大为 3,当水平距离等于垂直距离的时候取到最小值 即图中取 M 4 的时候

3 2 , 2

教法指导:理解性的题型,注意引导学生如何理解题意,讲解时,一定要辅以图像帮助理解

11.(2014 年青浦一模理 14) 若不等式 (?1) a ? 3 ?
n

(?1) n ?1 对任意自然数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是 n ?1

答案: [?3, 2) 详解:当 n 为奇数时, ? a ? 3 ?

1 1 ) ,因为是恒成立,大于最大值,不等式右边的 , a ? ?(3 ? n ?1 n ?1 1 ,小于最小值,因为 n ? N , n ? 0 时 n ?1

最大值永远小于 ?3 ,所以 a ? ?3 ;当 n 为偶数时, a ? 3 ? 取最小值 2

教法指导:恒成立问题均为最值问题,注意分类讨论,并且 n 是自然数,讨论 n 为偶数的时候, n 是可以 取 0 的,学生可能会取 2,这是个易错点,需要给学生强调

12(2014 年金山一模理 13)如图,已知直线 l : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,抛物线 C : y ? 4x 图像上的一个动点 P
2

6

BSC SH

到直线 l 与 y 轴的距离之和的最小值是 答案:1 详解:如下图, PH ? PA ? PH ? PB ? 1 ? PH ? PF ? 1 ? PH '? 1 ? 1 , PH ' 用点到直线距离公式求

教法指导:这是 2012 长宁区二模题,注意圆锥曲线相关定义,进行巧妙的转化,结合图像引导学生分析

13.(2014 年金山一模理 14) 在三棱锥 P ? ABC 中,PA 、PB 、PC 两两垂直,且 PA ? 3, PB ? 2, PC ? 1 .设 M 是底面 ABC 内一点, 定义 f ( M ) ? (m, n, p) , 其中 m 、n 、 p 分别是三棱锥 M ? PAB 、 三棱锥 M ? PBC 、 三棱锥 M ? PCA 的体积.若 f ( M ) ? ( , 2 x, y ) ,且 答案: 6 ? 4 2 详解: 依题意得,2 x ? y ?

1 2

1 a ? ? 8 恒成立,则正实数 a 的最小值为 x y

1 1 1 1 1 ? 16 x) , ,y ? ? 2 x , 将不等式中的 a 分离得 a ? (8 ? )( ? 2 x) ? 6 ? ( 2 2 x 2 2x

右边的最大值为 6 ? 4 2 ,所以 a ? 6 ? 4 2 教法指导:这是 2012 长宁区二模题,主要是理解题意,得出 2 x ? y 是个定值,要引导学生看透看似复杂 的表象,抓住条件的本质,然后就是一道常见的恒成立题型 14.(2014 年奉贤一模理 13)已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 对任意的 x 都满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,
3 当 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? loga x 只有 4 个零点,则 a 的取值范围是

答案: ( , ) ? (3,5) 详解:根据已知条件, f ( x ) 周期为 4,先画 f ( x ) 一个周期图像,当 1 ? x ? 3 时,

1 1 5 3

f ( x ? 2) ? ( x ? 2)3 ? ? f ( x) , f ( x) ? ?( x ? 2)3 ,由此画出 [?1,3) 的图像,此为一个周期,
图像如下, g ( x) ? f ( x) ? loga x 只有 4 个零点,即 f ( x ) 与 y ? loga x 只有 4 个交点,因为 a 是未知的, 需要分类讨论: ①当 0 ? a ? 1 时,有两个界值,如下图,此时 5 个交点,代入点 (?5, ?1) ,解出 a ?

1 5

7

BSC SH

此时 3 个交点,代入点 (3, ?1) ,解得 a ?

1 3

②当 a ? 1 时,也有两个界值,如下图,此时 3 个交点,代入点 (?3,1) ,解得 a ? 3

此时 5 个交点,代入点 (5,1) ,解得 a ? 5

教法指导:数形结合的题型,一定要结合图像分析,并且一些用于定位的特殊点要善于把握;另一方面, 必须熟悉初等函数的所有性质以及函数图像的变换

15.(2014 年奉贤一模理 14) 已知函数 y ? f ( x) ,任取 t ? R ,定义集合: At ? y y ? f ( x), 点P(t , f (t )), Q( x, f ( x)), PQ ? 2 , 设 M t , mt 分别表示集合 At 中元素的最大值和最小值,记 h(t ) ? M t ? mt ,则(1)若函数 f ( x) ? x , 则 h(1) ? (2)若函数 f ( x ) ? sin

?

?

?
2

x ,则 h(t ) 的最大值为

答案: (1)2; (2)2 详解:定义的意思是函数 y ? f ( x) 在以定点 P (点 P 在函数图像上)为圆心半径为 2 的圆内的部分, 这部分函数图像的值域即 At ,第一问, t ? 1 ,定点 P (1,1) ,如下图,蓝色实线段部分为符合定义的图像 部分,这部分图像最大值为 2,最小值为 0,所以 h(1) ? 2

8

BSC SH

第二问,对于 f ( x ) ? sin

?
2

x ,函数最大值与最小值之差为 2,如下图,通过理解观察,可得出 At 能够

同时包含最大值和最小值,所以 h(t ) 的最大值为 2,此时 t ? 2k , k ? Z

教法指导:这是一道理解性的定义题型,理解题目的定义很重要,然后结合函数图像进行分析就不难了

选择题
1.(2014 年奉贤一模理 18)设双曲线 nx ? (n ? 1) y ? 1 ( n ? N )上动点 P 到定点 Q(1, 0) 的距离的
2 2
*

最小值为 dn ,则 lim d n 的值为(
n ???



A.

2 2

B.

1 2

C. 0

D. 1

答案:A 详解:双曲线方程两边同时除 n ,得到 x ? (1 ? ) y ?
2 2

1 n

1 1 ,当 n ?? ? , ? 0 ,即方程 ? x2 ? y 2 ? 0 , n n

这就是方程的极限位置,即求点 Q(1, 0) 到直线 y ? ? x 的距离,所以选 A 教法指导:这是一类要考虑极限位置的极限题型,在高考题中出现过类似题型,一般找到了极限位置,题 目是很容易解的,很多学生不会做是因为没有想到极限位置,而是想把 dn 用 n 表示出来,这就复杂了

2(2014 年徐汇一模理 18) 已知集合 M ?

?? x, y ? y ? f ? x ?? ,若对于任意 ? x , y ? ? M ,存在
1 1

? x2 , y2 ? ? M ,使得 x1x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:
9 BSC SH

① M ? ?? x, y ? y ?

? ?

1? ?; x?
2

②M ?

?? x, y ? y ? sin x ? 1? ;

③M ?

?? x, y ? y ? log x? ;
B. ②③

④M ? )

?? x, y ? y ? e

x

?2 .

?

其中是“垂直对点集”的序号是( A.①② 答案:D

C. ①④

D. ②④

详解:根据题意,对于图像上任意点 A,图像上存在点 B,使得 OA⊥OB,所以用排除法,①中(1,1)点 不符合,③中(1,0)点不符合,所以选 D 教法指导:这类题型,重在理解题意;作为选择题,排除法与特殊值法是要学生能够灵活运用

3(2014 年青浦一模理 18) 对于函数 f ( x ) ,若在定义域内存在实数 x ,满足 f (? x) ? ? f ( x) ,称 f ( x ) 为“局部奇函数” , 若 f ( x) ? 4x ? m2x?1 ? m2 ? 3 为定义域 R 上的“局部奇函数” ,则实数 m 的取值范围是( A. 1 ? 3 ? m ? 1 ? 3 C. ?2 2 ? m ? 2 2 答案:B 详解:因为存在实数 x ,满足 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 4 化简得:
?x



B. 1 ? 3 ? m ? 2 2 D. ?2 2 ? m ? 1 ? 3

? m2? x?1 ? m2 ? 3 ? ?4x ? m2x?1 ? m2 ? 3 ,

1 1 1 ? 4 x ? 2m( x ? 2 x ) ? 2m 2 ? 6 ? 0 ,换元 t ? x ? 2 x ( t ? 2 )得: t 2 ? 2mt ? 2m2 ? 8 ? 0 , x 2 4 2

根据题意,此方程在 t ? [2, ??) 上有解,设 h(t ) ? t 2 ? 2mt ? 2m2 ? 8 ,按对称轴分类讨论: ①当 m ? 2 , h(2) ? 0 ,且 ? ? 0 ,解得 1 ? 3 ? m ? 2 ;②当 m ? 2 , ? ? 0 即可,解得 2 ? m ? 2 2 两种情况取并集,综上所述,所以选 B 教法指导:本题要透过抽象的定义,看到它的本质,本质上还是一道方程在定义域内有解的问题,是平时 练习过程中经常碰到的题型,按对称轴分类讨论即可;讲解的时候,要让学生区分开“恒成立”与“有解” (或者“能成立”的情况) ,讨论根的分布情况时,最好结合图像帮助理解

x2 ? y 2 ? 1 (m ? 1) 和双曲线 4.(2014 年金山一模理 18)已知有相同两焦点 F1 , F2 的椭圆 m x2 ? y 2 ? 1 (n ? 0) ,点 P 是它们的一个交点,则△ F1PF2 面积的大小是( n
10



BSC SH

A.

1 2

B.

2 2

C. 1

D. 2

答案:C 详解:结合下图,依题意得: c ? m ? 1 ? n ? 1 , PF 1 ? PF 2 ? 2 m , PF 1 ? PF 2 ?2 n,
2

两式平方相减得: PF 1 ? PF 2 ? m?n ? 2 ,
2 2 2 2 2 ∴ PF 1 ? PF2 1 ? PF 2 ? ( PF 1 ? PF 2 ) ? 2PF 1 ? PF 2 ? 4m ? 4 ? 4c ? F 1F 2 ,即 PF

教法指导:熟悉圆锥曲线的定义非常重要,根据条件找到变量之间恒定的关系,做数学题,很多时候都需 要辩证思考,透过变化的表象,发现不变的内在联系,动静结合,有机分析,以静制动,以不变应万变

11

BSC SH


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