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2017届河南省新乡市第一中学高三上学期第一次周练数学(理)试题


2017 届河南省新乡市第一中学高三上学期第一次周练数学(理)试题
一、选择: 1 已知 p:(a-1)2≤1,q:?x∈R,ax2-ax+1≥0,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

2 已知 p:?x∈R,mx2+1≤0,q:?x∈R,x2+mx+1>0,若 p∨q 为假命题,则实数 m 的取值范围为( A.m≥2 C.m≤-2 或 m≥2 B.m≤-2 D.-2≤m≤2 )

?log2x,x>0, ? 3 函数 f(x)=? x 有且只有一个零点的充分不必要条件是( ? ?-2 +a,x≤0

A.a<0 1 C. <a<1 2

1 B.0<a< 2 D.a≤0 或 a>1 )

4 已知函数 y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则实数 a 的取值范围是( A.(0,1] C.[1,+∞) 5 已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x 的大小关系为( )
-m|

B.[1,2] D.[2,+∞) -1(m 为实数)为偶函数,记 a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则 a,b,c

A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 1? 6 已知函数 f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1,则 f(lg 2)+f? ?lg2?等于( A.-1 B.0 C.1 D.2 7 已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),x1<x2,x1+x2=1-a,则( A.f(x1)=f(x2) B.f(x1)<f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 8 已知 x=ln π,y=log52,z=e A.x<y<z C.z<y<x
? 1 2

)

)

,则(

) B.z<x<y D.y<z<x )

ax+b 9 函数 f(x)= 的图象如图所示,则下列结论成立的是( ?x+c?2 A.a>0,b>0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0

试卷第 1 页,总 9 页

10 偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且当 x∈[0,1]时,f(x)=-x+1,则关于 x 的方程 f(x)=lg(x+1)在 x∈[0,9]上解的 个数是( )

A.7 B.8 C.9 D.10 11 过点 (1,?1) 且与曲线 y ? x 3 ? 2 x 相切的直线方程为( A. x ? y ? 2 ? 0 或 5 x ? 4 y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 或 4 x ? 5 y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 )

12 设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的 是( )

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) xf′?x?-f?x? 13 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 f(2)=0, 当 x>0 时, 有 <0 恒成立, 则不等式 x2f(x)>0 的解集是( x2 A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,0)∪(0,2) D.(-∞,-2)∪(0,2) )

试卷第 2 页,总 9 页

答题卷 班级: 二、填空: 14 设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(?UA)∩B=?,则 m 的值是__________. 15 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0 时,f(x)=________.
? ??2-a?x+1,x<1, f?x1?-f?x2? 16 已知 f(x)=? x 满足对任意 x1≠x2,都有 >0 成立,那么 a 的取值范围是________. x1-x2 ?a ,x≥1 ?

姓名:

考号:

k-2x 17 若函数 f(x)= 在定义域上为奇函数,则实数 k=________. 1+k· 2x 18 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x 为 m. 19 若函数 f(x)=x3-3x 在(a,6-a2)上有最小值,则实数 a 的取值范围是________. ln x ln x ln x2 20 设 1<x<2,则 ,( )2, 2 的大小关系是__________________.(用“<”连接) x x x

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三、解答题: 21 已知函数 f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R). (1)当 a=2 时,求 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程; 1 (2)若函数 g(x)=f(x)-ax+m 在[ ,e]上有两个零点,求实数 m 的取值范围. e

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1 a 22 设函数 f(x)= x3- x2+bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=1. 3 2 (1)求 b,c 的值; (2)设函数 g(x)=f(x)+2x,且 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求 a 的取值范围. (3)若 g(x)在(-2,-1)内为减函数,如何求解? (4)若 g(x)在(-2,-1)上不单调,求 a 的取值范围.

试卷第 5 页,总 9 页

附加题: 1.已知函数 f ( x) ? x(ln x ? 1) (1)求函数 f ( x) 的最小值; (2)设 F ( x) ? ax2 ? f ' ( x)(a ? R) ,讨论函数 F ( x) 的单调性; (3)若斜率为 k 的直线与曲线 y ? f ' ( x) 交于 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 两点,求证: x1 ?

1 ? x2 . k

试卷第 6 页,总 9 页

答案: 选择:AAACB DBDCC ADD 1 3 填空 14:1 或 2 15:- x(x+1). 16:[ ,2) 2 2 解答题: 2 21(1)当 a=2 时,f(x)=2ln x-x2+2x,f′(x)= -2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率 k=f′(1)=2,则切线方程 x 为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. (2)g(x)=2ln x-x2+m, -2?x+1??x-1? 2 则 g′(x)= -2x= . x x 1 ∵x∈[ ,e], e ∴当 g′(x)=0 时,x=1. 1 当 <x<1 时,g′(x)>0; e 当 1<x<e 时,g′(x)<0. 故 g(x)在 x=1 处取得极大值 g(1)=m-1. 1 1 又 g( )=m-2- 2,g(e)=m+2-e2, e e 1 1 g(e)-g( )=4-e2+ 2<0, e e 1 则 g(e)<g( ), e 1 ∴g(x)在[ ,e]上的最小值是 g(e). e 1 g(x)在[ ,e]上有两个零点的条件是 e g?1?=m-1>0, ? ? ? 1 1 ?g?e?=m-2-e2≤0, ? 1 解得 1<m≤2+ 2, e 1 ∴实数 m 的取值范围是(1,2+ 2]. e 22 解 (1)f′(x)=x2-ax+b,
? ? ?f?0?=1, ?c=1, 由题意得? 即? ?f′?0?=0, ? ? ?b=0.

17:± 1 18:20

ln x ln x ln x2 19:[-2,1) 20:( )2< < 2 x x x

(2)g′(x)=x2-ax+2, 依题意,存在 x∈(-2,-1), 使不等式 g′(x)=x2-ax+2<0 成立,

试卷第 7 页,总 9 页

2 即 x∈(-2,-1)时,a<(x+ )max=-2 2, x 2 当且仅当 x= 即 x=- 2时等号成立. x 所以满足要求的 a 的取值范围是(-∞,-2 2). (3)解 方法一 ∵g′(x)=x2-ax+2,且 g(x)在(-2,-1)内为减函数,

∴g′(x)≤0,即 x2-ax+2≤0 在(-2,-1)内恒成立,
?g′?-2?≤0, ?4+2a+2≤0, ? ? ∴? 即? ? ? ?g′?-1?≤0, ?1+a+2≤0,

解之得 a≤-3, 即实数 a 的取值范围为(-∞,-3]. (4)由引申探究 1 知 g(x)在(-2,-1)上为减函数,a 的范围是(-∞,-3], 2 2 若 g(x)在(-2,-1)上为增函数,可知 a≥x+ 在(-2,-1)上恒成立,又 y=x+ 的值域为(-3,-2 2 ], x x ∴a 的范围是[-2 2,+∞), ∴函数 g(x)在(-2,-1)上单调时,a 的取值范围是 (-∞,-3]∪[-2 2,+∞), 故 g(x)在(-2,-1)上不单调,实数 a 的取值范围是 (-3,-2 2). 附加:1. (1) ? 【解析】 试题分析: (1)由题已知函数 f ( x) ? x(ln x ? 1) ,可先求导数(注意定义域) ,再求出单调区间,判断出极值,则 可求出函数的最值。 (2)由题函数 F ( x) ? ax2 ? f ' ( x)(a ? R) ,可先写出它的函数解析式,再求出导数(注意定义域) ,然后对 a 进行 分类讨论(导数为含 a 的二次函数,分为大于零,小于零) ,可求出单调区间。

1 e2

(2)见解析

(3)见解析

x2 ?1 x1 x x2 ? x1 1? ? 2; (3) 欲证明不等式, 可联系斜率为 k 的几何意义, 转化为证明;x1 ? 再变形为; ? x2 . , x x1 ln x2 ? ln x1 ln 2 x1
整 体 换 元 为 1?

t ?1 ?t 转 而 证 l n t ? t ? 1? t l n t t ? (; 建 1 ) 立 函 数 为 g (t ) ? t ? 1 ? ln t (t ? 1) 和 1nt

h(t ) ? t ln t ? (t ? 1)(t ? 1) ;运用导数确定单调性,可证得。
试题解析: (1) f ?( x) ? ln x ? 2( x ? 0), 令f ?( x) ? 0, 得x ?

1 . e2

1 1 )时,f `( x) ? 0;当x ? ( 2 , ??)时,f `( x) ? 0 . 2 e e 1 1 +?)上递增 则 f ( x)在(0, 2 )上递减,在( 2 , e e 当x ? (0,
试卷第 8 页,总 9 页

?当x ?

1 1 1 1 时, f ( x) min ? 2 (ln 2 ? 1) ? ? 2 . 2 e e e e
2

(2) F ( x) ? ax ? ln x ? 2, F ?( x) ? 2ax ?

1 2ax 2 ?1 ? ( x ? 0). x x

当a ? 0 时,恒有 F ?( x) ? 0 , F ( x) 在 (0,??) 上是增函数;

当a ? 0 时, 令F ?( x) ? 0,即2ax2 ? 1 ? 0, 解得0 ? x ? ? 1 ;
2a

令F ?( x) ? 0,即2ax2 ? 1 ? 0, 解得x ? ?

1 ; 2a

综上,当 a ? 0 时, F ( x) 在 (0,??) 上是增函数;

当a ? 0 时, F ( x) 在 (0, ?

1 1 ) 上单调递增,在 ( ? ,??) 上单调递减 2a 2a
2

(3) k ?

f ' ( x2 ) ? f ' ( x1 ) ln x2 ? ln x1 ? . 要证 : x1 ? 1 ? x2 ,即证 : x1 ? x ? x1 ? x2 . x2 ? x1 x2 ? x1 k ln x2 ? ln x1

x2 ?1 x1 x x 等价于 : 1 ? ? 2 .令t ? 2 . x x1 x1 ln 2 , x1

t ?1 ? t ,由 t ? 1, 知ln t ? 0, 故等价于证: ln t ? t ? 1 ? t ln t (t ? 1) (*) 1nt 1 ? ① 设g (t ) ? t ? 1 ? ln t (t ? 1), 则g (t ) ? 1 ? t ? 0(t ? 1),? g (t )在(1, ??)上是增函数,
则只要证: 1 ?

当t ? 1时,g (t ) ? t ? 1 ? ln t ? g (1) ? 0, ? t ? 1 ? ln t.
② 设h(t ) ? t ln t ? (t ?1)(t ? 1), 则h (t ) ? ln t ? 0(t ? 1),

?

? h(t )在(1, ??)上是增函数, ?当t ? 1时, h(t ) ? t ln t ? (t ? 1) ? h(1) ? 0,
?t ln t ? t ? 1(t ? 1),
由①②知(*)成立,? x1 ?

1 ? x2 . k

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