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直线和圆基础习题和经典习题加答案


【知识网络】 综合复习和应用直线和圆的基础知识,解决对称问题、轨迹问题、最值问题,以及直线 与圆和其他数学知识的综合问题,提高分析问题和解决问题能力. 【典型例题】 [例 1](1)直线 x+y=1 与圆 x2+y2-2ay=0(a>0)没有公共点,则 a 的取值范围是 ( ) A. (0, 2 -1) B. 2 -1, 2 +1) ( C. (- 2 -1, 2 -1) D. (0, 2 +1 2 2 (2)圆(x-1) +(y+ 3 ) =1 的切线方程中有一个是 ( ) A.x-y=0 B.x+y=0 C.x=0 D.y=0 (3)“a=b”是“直线 y ? x ? 2与圆( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 2相切 ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 2 2 (4)已知直线 5x+12y+a=0 与圆 x +y -2x=0 相切,则 a 的值为
2 2



(5)过点(1, 2 )的直线 l 将圆(x-2) +y =4 分成两段弧,当弧所对的圆心角最小时, 直线 l 的斜率 k= . [例 2] 设圆上点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上,且圆与直线 x-y+1=0 相交的弦长为 2 2 ,求圆的方程.

[例 3] 已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C:x2+y2=1,动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ| 的比等于 λ(λ>0) .求动点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.

[例 4] 已知与曲线 C:x2+y2-2x-2y+1=0 相切的直线 l 叫 x 轴,y 轴于 A,B 两点, |OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2). (1)求证: (a-2)(b-2)=2; (2)求线段 AB 中点的轨迹方程; (3)求△AOB 面积的最小值.

【课内练习】 1.过坐标原点且与圆 x2+y2-4x+2y+ 5 =0 相切的直线的方程为 2 ( )

A.y=-3x 或 y=

1 x 3

B.y=3x 或 y=- D.y=3x 或 y=

1 x 3

1 C.y=-3x 或 y=- x 3

1 x 3

2.圆(x-2)2+y2=5 关于原点(0,0)对称的圆的方程为 ( ) A.(x+2)2+y2=5 B.x2 +(y-2)2=5 C. (x-2)2+(y-2)2=5 D.x2 +(y+2)2=5 3.对曲线|x|-|y|=1 围成的图形,下列叙述不正确的是 ( ) A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点轴对称 D.关于 y=x 轴对称 2 2 4.直线 l1:y=kx+1 与圆 x +y +kx-y-4=0 的两个交点关于直线 l2:y+x=0 对称,那么 这两个交点中有一个是 ( ) A. (1,2) B. (-1,2) C. (-3,2) D. (2,-3) 2 2 5. 若直线 y=kx+2 与圆 (x-2) +(y-3) =1 有两个不同的交点, k 的取值范围是 则 . 6.已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A、 两点,且|AB|= 3 , OA? OB B 则 = .

7.直线 l1:y=-2x+4 关于点 M(2,3)的对称直线方程是 . 8.求直线 l1:x+y-4=0 关于直线 l:4y+3x-1=0 对称的直线 l2 的方程.

9.已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0 (1)若 C 的切线在 x 轴,y 轴上的截距的绝对值相等,求此切线方程; (2)从圆 C 外一点 P(x1,y1)向圆引一条切线,切点为 M,O 为原点,且有|PM|=|PO|,求 使|PM|最小的 P 点的坐标.

10.由动点 P 引圆 x2+y2=10 的两条切线 PA,PB,直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2. (1)若 k1+k2+k1k2=-1,求动点 P 的轨迹方程; (2)若点 P 在直线 x+y=m 上,且 PA⊥ PB,求实数 m 的取值范围.

11.5 直线与圆的综合应用

A组
1.设直线过点(0,a) ,其斜率为 1,且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的值为 ( ) A.± 2 B.± 2 C.± 2 2 D.± 4 2.将直线 2x-y+λ=0,沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x2+y2+2x-4y=0 相切, 则实数 λ 的值为 A.-3 或 7 B.-2 或 8 C.0 或 10 D.1 或 11 3.从原点向圆 x2+y2-12y+27=0 作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( A.π B. 2π C. 4π D. 6π )

4.若三点 A(2,2) ,B(a,0),C(0,b)(a,b 均不为 0)共线,则

1 1 ? 的值等于 a b



5.设直线 ax-y+3=0 与圆(x-1)2+(y-2)2=4 有两个不同的交点 A,B,且弦 AB 的长为 2 3 ,则 a 等于 . 7 6.光线经过点 A(1, ) ,经直线 l:x+y+1=0 反射,反射线经过点 B(1,1) . 4 (1)求入射线所在的方程; (2)求反射点的坐标.

7.在△ABC 中,BC 边上的高所在的直线方程为 x-2y+1=0,∠ 的平分线所在直线方程为 A y=0,若 B 点的坐标为(1,2) ,求点 A 和点 C 的坐标. y A ? B? O C x

?

8.过圆 O:x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点 A 作这个圆的切线 l,M 为 l 上任意一点,过 M 作圆 O 的另一条切线, 切点为 Q, 当点 M 在直线 l 上移动时, 求△MAQ 垂心 H 的轨迹方程.

B组
1.已知两定点 A(-2,0) ,B(1,0) ,如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所包围 的图形的面积等于 ( )

A.π B.4π C.8π D.9π 2 2 2.和 x 轴相切,且与圆 x +y =1 外切的圆的圆心的轨迹方程是 ( ) 2 2 2 2 A.x =2y+1 B.x =-2y+1 C.x =2y-1 D.x =2|y|+1 3.设直线的方程是 Ax ? By ? 0 ,从 1,2,3,4,5 这五个数中每次取两个不同的数作为 A、 B 的值,则所得不同直线的条数是 A.20 B.19 C.18 D.16 ( )

4.设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 相交于点 A、B,则弦 AB 的垂直平分 线方程是 . 5.已知圆 M: (x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1,直线 l:y=kx,下面四个命题 A.对任意实数 k 和 θ,直线 l 和圆 M 都相切; B.对任意实数 k 和 θ,直线 l 和圆 M 有公共点; C.对任意实数 θ,必存在实数 k,使得直线 l 和圆 M 相切; D.对任意实数 k,必存在实数 θ,使得直线 l 和圆 M 相切. 其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号) . 6.已知点 A,B 的坐标为(-3,0)(3,0) 为线段 AB 上的任意一点,P,Q 是分别 , ,C 以 AC,BC 为直径的两圆 O1,O2 的外公切线的切点,求 PQ 中点的轨迹方程. 7.已知△ABC 的顶点 A(-1,-4) ,且∠ 和∠ 的平分线分别为 lBT:y+1=0,lCK:x+y+ B C 1=0,求 BC 边所在直线的方程. 8.设 a,b,c,都是整数,过圆 x2+y2=(3a+1)2 外一点 P(b3-b,c3-c)向圆引两条切线,试证 明:过这两切点的直线上的任意一点都不是格点(纵横坐标均为整数的点) .

11.5 直线与圆的综合应用
【典型例题】 例 1 (1)A.提示:用点到直线的距离公式. (2)C.提示:依据圆心和半径判断. (3)A.提示:将直线与圆相切转化成关于 ab 的等量关系. (4)-18 或 8.提示:用点到直线的距离公式,注意去绝对值符号时的两种可能情况. (5) 2 .提示:过圆心(2,0)与点(1, 2 )的直线 m 的斜率是- 2 ,要使劣弧所 2

对圆心角最小,只需直线 l 与直线 m 垂直. 例 2、设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆 上,说明圆心在直线 x+2y=0 上,a+2b=0,又(2-a)2+(3-b)2=r2,而圆与直线 x-y+1=0 a ? b ?1 2 相交的弦长为 2 2 , ,故 r2-( ) =2,依据上述方程解得: 2



b1=-3 a1=6 或 r12=52



b2=-7 a2=14 r22=244

∴ 所求圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52,或(x-14)2+(y+7)2=224. 例 3 、 设 切 点 为 N , 则 |MN|2=|MO|2 - |ON|2=|MO|2 - 1 , 设 M ( x,y), 则 (x x 2 ? y 2 ? 1 ? ? ( x ? 2)2 ? y 2 ,整理得(λ2-1) 2+y2)-4λx+(1+4λ2)=0

5 当 λ=1 时,表示直线 x= ; 4 当 λ≠1 时, 方程化为 ( x ?

2? 2 2? 2 2 1 ? 3? 2 1 ? 3? 2 ,0) , , 它表示圆心在 ( 2 半径为 ) ? y2 ? 2 ? ?1 ?2 ?1 (? ? 1)2 | ? 2 ? 1|

的一个圆. 例 4、 (1)设出直线方程的截距式,用点到直线的距离等于 1,化减即得; 1 (2)设 AB 中点 M(x,y),则 a=2x,b=2y,代入(a-2)(b-2)=2,得(x-1)(y-1)= (x>1,y> 2 1); (3)由(a-2)(b-2)=2 得 ab+2=2(a+b)≥4 ab ,解得 ab ≥2+ 2 ( ab ≤2- 2 不合,舍 去) ,当且仅当 a=b 时,ab 取最小值 6+4 2 ,△AOB 面积的最小值是 3+2 2 . 【课内练习】 1.A.提示:依据圆心到直线的距离求直线的斜率. 2.D.提示:求圆心关于原点的对称点. 3.C.提示:画张图看,或考虑有关字母替代规律. 4.A.提示:圆心在直线 l2 上. 4 5.0<k< .提示:直接用点到直线的距离公式或用△法. 3 6. ?

1 .提示:求弦所对圆心角. 2

7.2x+y-10=0.提示:所求直线上任意一点(x,y)关于(2,3)的对称点(4-x,6-y)在 已知直线上. 8.2x+11y+16=0.提示:求出两直线的交点,再求一个特殊点关于 l 的对称点,用两点式 写 l2 的方程;或直接设 l2 上的任意一点,求其关于 l 的对称点,对称点在直线 l1 上.求对称 点时注意,一是垂直,二是平分. 9. (1)提示:∵ 切线在 x 轴,y 轴上的截距的绝对值相等,∴ 切线的斜率是± 1.分别依据斜 率设出切线的斜率,用点到直线的距离公式,或△法,解得切线的方程为:x+y-3=0, x+y +1=0, x-y+5=0, x-y+1=0. (2)将圆的方程化成标准式(x+1)2+(y-2)2=2,圆心 C(-1,2) ,半径 r= 2 , ∵ 切线 PM 与 CM 垂直,∴ |PM|2=|PC|2-|CM|2, 又∵ |PM|=|PO|,坐标代入化简得 2x1-4y1+3=0. |PM|最小时即|PO|最小,而|PO|最小即 P 点到直线 2x1-4y1+3=0 的距离,即

3 5 . 10

9 ? 2 2 3 3 ? x1 ? y1 ? 从而解方程组 ? . 20 ,得满足条件的点 P 坐标为(-10 ,5 ) ? 2 x1 ? 4 y1 ? 3 ? 0 ?

10. (1)由题意设 P(x0,y0)在圆外,切线 l:y-y0=k(x-x0), ∴ 02-10)k2-2x0·0k+y02-10=0 (x y

| kx0 ? y0 | k2 ?1

? 10 ,

由 k1+k2+k1k2=-1 得点 P 的轨迹方程是 x+y± 5 =0. 2 (2)∵ P(x0,y0)在直线 x+y=m 上,∴ 0=m-x0,又 PA⊥ y PB,∴ 1k2=-1, k x02+y02=20,将 y0=m-x0 代入化简得,2x02-2mx0+m2-20=0 ∵ ≥0,∴ △ -2 10 ≤m≤2 10 ,又∵ 02+y02>10 恒成立,∴ x m>2,或 m<-2 5 ∴ 的取值范围是[-2 10 ,-2 5 ]∪ m (2 5 ,2 10 ]

y0 2 ? 10 ? ?1 ,即: x0 2 ? 10

11.5 直线与圆的综合应用 A组
1.B.提示:用点到直线的距离公式或用△法. 2.A.提示:先求出向左平移后直线的方程,再用点到直线的距离公式. 3.B.提示:考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角. 1 4. .提示:由三点共线得两两连线斜率相等,2a+2b=ab,两边同除以 ab 即可. 2 5.0.提示:依据半径、弦长、弦心距的关系求解. 2 1 6. (1)入射线所在直线的方程是:5x-4y+2=0; (2)反射点(- ,- ) .提示:用入 3 3 射角等于反射角原理. 7.点 A 既在 BC 边上的高所在的直线上,又在∠ 的平分线所在直线上,由 A
?x-2y+1=0 ? ?y=0

得 A(-1,0)

∴ AB=1 k 又∠ 的平分线所在直线方程为 y=0 A ∴ AC=-1 k ∴ 边所在的直线方程为 y=-(x+1) AC ① 又 kBC=-2, ∴ 边所在的直线方程为 y-2=-2(x-1) BC ② ① 联列得 C 的坐标为(5,-6) ② 8.设所求轨迹上的任意一点 H(x,y),圆上的切点 Q(x0,y0) ∵ QH⊥ l,AH⊥ MQ,∴ AH∥ OQ,AQ∥ QH.又|OA|=|OQ|,∴ 四边形 AOQH 为菱形. ∴ 0=x,y0=y-2. x ∵ Q(x0,y0)在圆上,x02+y02=4 点 ∴ 点的轨迹方程是:x2+(y-2)2=4(x≠0). H

B组
1.B.提示:直接将动点坐标代如等式,求得点的轨迹是一个以(2,0)为圆心,2 为半径 的圆. 2.D.提示:设圆心(x,y),则 x 2 ? y 2 ?| y | ?1 3.C.提示:考虑斜率不相等的情况. 4. 3x ? 2 y ? 3 ? 0 .提示:弦的垂直平分线过圆心.

5. B,D.提示:圆心到直线的距离 d ?

| ?k cos? ? sin ? | 1? k2

?

1 ? k 2 | sin(? ? ? ) | 1? k2

=|sin(θ+ ? )

|≤1. 6.作 MC⊥ 交 PQ 于 M,则 MC 是两圆的公切线. AB |MC|=|MQ|=|MP|,M 为 PQ 的中点. 设 -3+x 3+x M(x,y),则点 C,O1,O2 的坐标分别为(x,0),( ,0),( ,0) 2 2 连 O1M,O2M,由平面几何知识知∠ 1MO2=90° O . 2 2 2 2 ∴ 1M| +|O2M| =|O1O2| ,代入坐标化简得:x +4y2=9(-3<x<3) |O 7.∵ BT,CK 分别是∠ 和∠ 的平分线,∴ A 关于 BT,CK 的对称点 A′,A″必在 BC 所在 B C 点 直线上,所以 BC 的方程是 x+2y-3=0. 8.线段 OP 的中点坐标为( b)]2+[y- 1 1 1 (b3-b), (c3-c)),以 OP 为直径的圆的方程是[x- (b3- 2 2 2

1 3 1 1 (c -c)]2=[ (b3-b)]2+[ (c3-c)]2……① 2 2 2

将 x2+y2=(3a+1)2 代入① (b3-b)x+(c3-c)y=(3a+1)2 得: 这就是过两切点的切线方程. 因 b3-b=b(b+1)(b-1),它为三个连续整数的乘积,显然能被整除. 同理,c3-c 也能被 3 整除. 于是(3a+1)2 要能被 3 整除,3a+1 要能被 3 整除,因 a 是整数,故这是不可能的. 从而原命题得证.


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