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2014年北京市高考数学试卷(理科)


2014 年北京市高考数学试卷(理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1. (5 分) (2014?北京)已知集合 A={x|x2 ﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩ B=( ) A. {0} B. {0,1} C. {0,2} D.{0,1,2} 2. (5 分) (2014?北京)

下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A. y= B. y=(x﹣1)
2

) D.y=log0.5 (x+1)

C. y=2

﹣x

3. (5 分) (2014?北京)曲线 A. 在直线 y=2x 上

(θ 为参数)的对称中心(

) D.在直线 y=x+1 上 )

B. 在直线 y=﹣2x 上

C. 在直线 y=x﹣1 上

4. (5 分) (2014?北京)当 m=7,n=3 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 的值为(

A. 7

B. 42

C. 210

D.840 )

5. (5 分) (2014?北京)设{an }是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}”为递增数列的( A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6. (5 分) (2014?北京)若 x,y 满足

且 z=y﹣x 的最小值为﹣4,则 k 的值为(



A. 2

B. ﹣2

C.

D.



7. (5 分) (2014?北京)在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,D(1 ,1, ) ,若 S1 ,S2 ,S3 分别表示三棱锥 D﹣ABC 在 xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则( A. S1 =S2 =S3 B. S2 =S1 且 S2 ≠S3 C. S3 =S1 且 S3 ≠S2 D.S3 =S2 且 S3 ≠S1 )

8. (5 分) (2014?北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语 文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没

有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,则这一组学生最多有 ( ) A. 2 人 B. 3 人 C. 4 人 D.5 人

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分) (2014?北京)复数( ) =
2

_________



10. (5 分) (2014?北京)已知向量 , 满足| |=1, =(2,1) ,且

+ = (λ∈R) ,则|λ|=

_________



11. (5 分) (2014?北京) 设双曲线 C 经过点 (2 , 2) , 且与 渐近线方程为 _________ .

﹣x2 =1 具有相同渐近线, 则 C 的方程为

_________



12. (5 分) (2014?北京)若等差数列{an }满足 a7 +a8 +a9 >0,a7 +a10 <0,则当 n= 最大.

_________

时,{an }的前 n 项和

13. (5 分) (2014?北京)把 5 件不同产品摆成一排,若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻,则不同 的摆法有 _________ 种. ]

14. (5 分) (2014?北京)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ( A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0)若 f(x)在区间[ 上具有单调性,且 f( )=f( )=﹣f( ) ,则 f(x)的最小正周期为 _________ .



三、解答题(共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 15. (13 分) (2014?北京)如图,在△ ABC 中,∠ B= (1)求 sin∠ BAD; (2)求 BD, AC 的长. ,AB=8,点 D 在边 BC 上,且 CD=2,cos ∠ ADC= .

16. (13 分) (2014?北京)李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立) ; 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场 1 主场 2 主场 3 主场 4 主场 5 22 15 12 12 12 8 客场 1 客场 2 客场 3 18 13 21 8 12 7

客场 4 23 8 18 15 客场 5 24 20 25 12 (1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率; (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6 的概率;

(3)记 是表中 10 个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明在这场比赛中的命中次数,比 较 EX 与 的大小(只需写出结论) . 17. (14 分) (2014?北京)如图,正方形 AMDE 的边长为 2,B,C 分别为 AM,MD 的中点,在五棱锥 P﹣ABCDE 中,F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD,PC 分别交于点 G,H. (1)求证:AB∥ FG; (2)若 PA⊥ 底面 ABCDE,且 PA=AE,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并求线段 PH 的长.

18. (13 分) (2014?北京)已知函数 f(x)=xcosx﹣sinx,x∈[0, (1)求证:f(x)≤0; (2)若 a< <b 对 x∈(0,

]

)上恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值.

19. (14 分) (2014?北京)已知椭圆 C:x2 +2y2 =4, (1)求椭圆 C 的离心率 (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥ OB,求直线 AB 与圆 x2 +y2 =2 的位置关系, 并证明你的结论. 20. (13 分) (2014?北京) 对于数对序列 P: (a1 , b1 ) , (a2 , b2 ) , …, (an , bn ) , 记 T 1(P) =a1 +b1 , Tk(P) =bk +max{T k (P ) ,a1 +a2 +…+ak }(2≤k≤n) ,其中 max{Tk ﹣1(P) ,a1 +a2 +…+ak }表示 T k ﹣1(P)和 a1 +a2 +…+ak 两个数中最大的数, (Ⅰ )对于数对序列 P: (2,5) , (4,1) ,求 T1 (P) ,T 2 (P)的值; (Ⅱ )记 m 为 a,b,c ,d 四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b) , (c ,d)组成的数对序列 P: (a,b) , (c,d)
﹣1

和 P′ : (c ,d) , (a,b) ,试分别对 m=a 和 m=d 两种情况比较 T2 (P)和 T2 (P′ )的大小; (Ⅲ )在由五个数对(11,8) , (5,2) , (16,11) , ( 11,11) , (4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列 P 使 T 5 (P)最小,并写出 T5 (P)的值(只需写出结论) .

2014 年北京市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1. (5 分) (2014?北京)已知集合 A={x|x ﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩ B=( A. {0} B. {0,1} C. {0,2} 考点: 交集及其运算.
2

) D.{0,1,2}

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专题: 集合. 分析: 解出集合 A,再由交的定义求出两集合的交集. 解答: 解:∵ A={x|x2 ﹣2x=0}={0,2},B={0,1,2}, ∴ A∩ B={0,2} 故选 C 点评: 本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键. 2. (5 分) (2014?北京)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A. y= B. y=(x﹣1)2 C. y=2﹣x 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据基本初等函数的单调性,判断各个选项中函数的单调性,从而得出结论. 解答: 解:由于函数 y= 在(﹣1,+∞)上是增函数,故满足条件, 由于函数 y=(x﹣1) 在(0,1)上是减函数,故不满足条件, ﹣ 由于函数 y=2 x 在(0,+∞)上是减函数,故不满足条件, 由于函数 y=log0.5 (x+1)在(﹣1,+∞)上是减函数,故不满足条件, 故选:A. 点评: 本题主要考查函数的单调性的定义和判断,基本初等函数的单调性,属于基础题.
2

) D.y=log0.5 (x+1)

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3. (5 分) (2014?北京)曲线 A. 在直线 y=2x 上

(θ 为参数)的对称中心(

) D.在直线 y=x+1 上

B. 在直线 y=﹣2x 上

C. 在直线 y=x﹣1 上

考点: 圆的参数方程. 专题: 选作题;坐标系和参数方程.
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分析: 曲线 解答: 解:曲线 故选:B. 点评: 本题考查圆的参数方程,考查圆的对称性,属于基础题. 4. (5 分) (2014?北京)当 m=7,n=3 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 的值为( ) (θ 为参数)表示圆,圆心为(﹣1,2) ,在直线 y=﹣2x 上, (θ 为参数)表示圆,对称中心为圆心,可得结论.

A. 7 考点: 循环结构.

B. 42

C. 210

D.840

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专题: 计算题;算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求 S=7×6×…×k 的值,根据条件确定跳出循环的 k 值,计算输出 S 的值. 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S=7×6×…×k 的值, 当 m=7,n=3 时,m﹣n+1=7﹣3+1=5, ∴ 跳出循环的 k 值为 4, ∴ 输出 S=7×6×5=210. 故选:C. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键. 5. (5 分) (2014?北京)设{an }是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}”为递增数列的( A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析: 根据等比数列的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
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解答: 解:等比数列﹣1,﹣2,﹣4,…,满足公比 q=2>1,但“{an }”不是递增数列,充分性不成立. 若 an =﹣1 为递增数列,但 q= >1 不成立,即必要性不成立,

故“q>1”是“{an }”为递增数列的既不充分也不必要条件, 故选:D. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用等比数列的性质,利用特殊值法是解决本题的关键.

6. (5 分) (2014?北京)若 x,y 满足

且 z=y﹣x 的最小值为﹣4,则 k 的值为(



A. 2

B. ﹣2

C.

D.



考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合.

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分析: 对不等式组中的 kx﹣y+2≥0 讨论,当 k≥0 时,可行域内没有使目标函数 z=y﹣x 取得最小值的最优解,k<0 时

若直线 kx﹣y+2=0 与 x 轴的交点在 x+y﹣2=0 与 x 轴的交点的左边,z=y﹣x 的最小值为﹣2,不合题意,由 此结合 约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标, 代入目标函数得答案. 解答: 解:由约束条件 作出可行域如图,

由 kx﹣y+2=0,得 x= ∴ B(﹣ ) .



由 z=y﹣x 得 y=x+z. 由图可知,当直线 y=x+z 过 B(﹣ 此时 故选:D. 点评: 本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 7. (5 分) (2014?北京)在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,D(1 ,1, ) ,若 S1 ,S2 ,S3 分别表示三棱锥 D﹣ABC 在 xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则( A. S1 =S2 =S3 B. S2 =S1 且 S2 ≠S3 C. S3 =S1 且 S3 ≠S2 D.S3 =S2 且 S3 ≠S1 考点: 空间直角坐标系.
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)时直线在 y 轴上的截距最小,即 z 最小.

,解得:k=﹣ .



专题: 空间向量及应用. 分析: 分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论. 解答: 解:设 A(2,0,0) , B(2,2,0) ,C(0,2,0) , D(1,1, C' ,D' , ) ,则各个面上的射影分别为 A' ,B' , .

在 xOy 坐标平面上的正投影 A'(2,0,0) ,B'(2,2,0) ,C'(0,2,0) ,D'(1,1,0) ,S1 = 在 yOz 坐标平面上的正投影 A'(0, 0, 0) , B'(0, 2, 0) , C'(0, 2, 0) , D'(0, 1, 在 zOx 坐标平面上的正投影 A'(2, 0, 0) , B'(2, 0, 0) , C'(0, 0, 0) , D'(1, 0, 则 S3 =S2 且 S3 ≠S1 , 故选:D. 点评: 本题主要考查空间坐标系的应用,求出点对于的投影坐标是解决本题的关键. ) , S2 =. ) , S3 =



8. (5 分) (2014?北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语 文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没 有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,则这一组学生最多有 ( ) A. 2 人 B. 3 人 C. 4 人 D.5 人

考点: 进行简单的合情推理.

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专题: 推理和证明. 分析: 分别用 ABC 分别表示优秀、及格和不及格,根据题干中的内容推出文成绩得 A, B,C 的学生各最多只有 1 个,继而推得学生的人数. 解答: 解:用 ABC 分别表示优秀、及格和不及格,显然语文成绩得 A 的学生最多只有 1 个, 语文成绩得 B 得也最多只有一个, 得 C 最多只有一个, 因此学生最多只有 3 人, 显然(AC) ( BB) ( CA)满足条件, 故学生最多有 3 个. 故选:B. 点评: 本题主要考查了合情推理,关键是找到语句中的关键词,培养了推理论证的能力. 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分) (2014?北京)复数( ) =
2

﹣1 .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由复数代数形式的除法运算化简括号内部,然后由虚数单位 i 的运算性质得答案. 解答:
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解: (

)2 =



故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了虚数单位 i 的运算性质,是基础题.

10. (5 分) (2014?北京)已知向量 , 满足| |=1, =(2,1) ,且

+ = (λ∈R) ,则|λ|=



考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析:

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设 =(x,y) .由于向量 , 满足| |=1, =(2,1) ,且

+ = (λ∈R) ,可得

,解出即

可. 解答: 解:设 =(x,y) . ∵ 向量 , 满足| |=1, =(2,1) ,且 ∴ + = (λ∈R) ,

=λ(x,y)+(2,1)=(λx+2,λy+1) ,



,化为 λ =5.

2

解得 . 故答案为: . 点评: 本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法,属于基础题.

11. (5 分) (2014?北京) 设双曲线 C 经过点 (2, 2) , 且与 渐近线方程为 y=±2x .

﹣x2 =1 具有相同渐近线, 则 C 的方程为



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
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分析: 利用双曲线渐近线之间的关系,利用待定系数发即可得到结论. 解答: 解:与 ﹣x2 =1 具有相同渐近线的双曲线方程可设为 ﹣x2 =m, (m≠0) ,

∵ 双曲线 C 经过点(2,2) , ∴ m=
2



即双曲线方程为

﹣x =﹣3,即



对应的渐近线方程为 y=±2x, 故答案为: ,y=±2x.

点评: 本题主要考查双曲线的性质,利用渐近线之间的关系,利用待定系数法是解决本题的关键,比较基础. 12. (5 分) (2014?北京)若等差数列{an }满足 a7 +a8 +a9 >0,a7 +a10 <0,则当 n= 考点: 等差数列的性质.
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8

时,{an}的前 n 项和最大.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: 可得等差数列{an }的前 8 项为正数,从第 9 项开始为负数,进而可得结论. 解答: 解:由等差数列的性质可得 a7 +a8+a9 =3a8 >0, ∴ a8 >0,又 a7 +a10=a8 +a9 <0,∴ a9 <0, ∴ 等差数列{an }的前 8 项为正数,从第 9 项开始为负数, ∴ 等差数列{an }的前 8 项和最大, 故答案为:8. 点评: 本题考查等差数列的性质和单调性,属中档题. 13. (5 分) (2014?北京)把 5 件不同产品摆成一排,若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻,则不同 的摆法有 36 种. 考点: 排列、组合的实际应用;排列、组合及简单计数问题.

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专题: 排列组合. 分析: 分 3 步进行分析:① 、用捆绑法分析 A、B,② 、将 AB 与剩余的 2 件产品全排列,③ 、分析 C 插入空位的情

况,由分步计数原理计算可得答案. 解答: 解:根据题意,分 3 步进行分析: ① 、产品 A 与产品 B 相邻,将 AB 看成一个整体,考虑 AB 之间的顺序,有 A2 2 =2 种情况, ② 、将 AB 与剩余的 2 件产品全排列,有 A3 =6 种情况, ③ 、产品 A 与产品 C 不相邻,C 有 3 个空位可选,即有 3 种情况, 故不同的摆法有 12×3=36 种, 故答案为:36. 点评: 本题考查分步计数原理的应用,要优先分析受到限制的元素,如本题的 A、 B、 C. 14. (5 分) (2014?北京)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ( A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0)若 f(x)在区间[ 上具有单调性,且 f( )=f( )=﹣f( ) ,则 f(x)的最小正周期为 π . , ]
3

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由 f( f( ) )=f( )求出函数的一条对称轴,结合 f(x)在区间[ ,

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]上具有单调性,且 f(

)=﹣

可得函数的半周期,则周期可求. 解答: 解:由 f( 则 x= 又 f( ∴ x= )=f( ) ,可知函数 f(x)的一条对称轴为 x= . , ]上具有单调性, ,

离最近对称轴距离为 )=﹣f( ) ,且 f(x)在区间[ .

离最近对称轴的距离也为

函数图象的大致形状如图,

∴ 则 T=π. 故答案为:π.



点评: 本题考查 f(x)=Asin(ωx+φ)型图象的形状,考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力,是中档题. 三、解答题(共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 15. (13 分) (2014?北京)如图,在△ ABC 中,∠ B= (1)求 sin∠ BAD; ,AB=8,点 D 在边 BC 上,且 CD=2,cos ∠ ADC= .

(2)求 BD, AC 的长.

考点: 余弦定理的应用. 专题: 解三角形.

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分析: 根据三角形边角之间的关系,结合正弦定理和余弦定理即可得到结论. 解答: 解: (1)在△ ABC 中,∵ cos ∠ ADC= , ∴ sin∠ ADC= , × ﹣ = .

则 sin∠ BAD=sin(∠ ADC﹣∠ B)=sin∠ ADC?cosB﹣cos ∠ ADC?sinB=

(2)在△ ABD 中,由正弦定理得 BD=

=



在△ ABC 中,由余弦定理得 AC2 =AB2 +CB2 ﹣2AB? BCcosB=82 +52 ﹣2×8× 即 AC=7.

=49,

点评: 本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键,难度不大. 16. (13 分) (2014?北京)李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立) ; 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场 1 主场 2 主场 3 主场 4 主场 5 22 15 12 12 12 8 客场 1 客场 2 客场 3 18 13 21 8 12 7

客场 4 23 8 18 15 客场 5 24 20 25 12 (1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率; (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6 的概率; (3)记 是表中 10 个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明在这场比赛中的命中次数,比 较 EX 与 的大小(只需写出结论) . 考点: 离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据概率公式,找到李明在该场比赛中超过 0.6 的场次,计算即可, (2)根据互斥事件的概率公式,计算即可. (3)求出平均数和 EX,比较即可. 解答: 解: (1)设李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率为事件 A,由题意知,李明在该场比赛中超过 0.6 的场次有:主场 2,主场 3,主场 5,客场 2,客场 4,共计 5 场 所以李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率 P(A)= ,

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(2)设李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6 的概率为事件 B,同理可知,李明主场命中率超过

0.6 的概率

,客场命中率超过 0.6 的概率

, ;

故 P(B)=P1 ×(1﹣P2 )+P2 ×(1﹣P1 )=

(3)EX= 点评: 本题主要考查了概率的计算、数学期望,平均数,互斥事件的概率,属于中档题. 17. (14 分) (2014?北京)如图,正方形 AMDE 的边长为 2,B,C 分别为 AM,MD 的中点,在五棱锥 P﹣ABCDE 中,F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD,PC 分别交于点 G,H. (1)求证:AB∥ FG; (2)若 PA⊥ 底面 ABCDE,且 PA=AE,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并求线段 PH 的长.

考点: 直线与平面所成的角.

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专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得; (2)由于 PA⊥ 底面 ABCDE,底面 AMDE 为正方形,建立如图的空间直角坐标系 Axyz,分别求出 A, B, C,E ,P,F,及向量 BC 的坐标,设平面 ABF 的法向量为 n=(x,y,z) ,求出一个值,设直线 BC 与平面 ABF 所成的角为 α, 运用 sinα=|cos 用 λ 表示 H 的坐标,再由 n |, 求出角 α; 设H (u, v, w) , 再设 ,

=0,求出 λ 和 H 的坐标,再运用空间两点的距离公式求出 PH 的长.

解答: (1)证明:在正方形 AMDE 中,∵ B 是 AM 的中点, ∴ AB∥ DE,又∵ AB?平面 PDE,∴ AB∥ 平面 PDE, ∵ AB?平面 ABF,且平面 ABF∩ 平面 PDE=FG, ∴ AB∥ FG; (2)解:∵ PA⊥ 底面 ABCDE,∴ PA⊥ AB,PA⊥ AE, 如图建立空间直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0) , B(1,0,0) , C(2,1,0) ,P(0,0,2) , E(0,2,0) ,F(0,1,1) , 设平面 ABF 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 即 , ,

令 z=1,则 y=﹣1,∴ n=(0,﹣1,1) , 设直线 BC 与平面 ABF 所成的角为 α,则

sinα=|cos

|=|

|= ,

∴ 直线 BC 与平面 ABF 所成的角为

, ,

设 H(u,v,w ) ,∵ H 在棱 PC 上,∴ 可设

即(u,v,w ﹣2)=λ(2,1,﹣2) ,∴ u=2λ,v=λ,w=2﹣2λ,∵ n 是平面 ABF 的法向量, ∴ n ∴ PH= =0,即(0,﹣1,1)?(2λ,λ,2﹣2 λ)=0,解得 λ= ,∴ H( =2. ) ,

点评: 本题主要考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面平行、垂直的判定和性质,同时考查直线与平 面所成的角的求法,考查运用空间直角坐标系求角和距离,是一道综合题. 18. (13 分) (2014?北京)已知函数 f(x)=xcosx﹣sinx,x∈[0, (1)求证:f(x)≤0; (2)若 a< <b 对 x∈(0, )上恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. ]

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求出 f′ (x)=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx,判定出在区间∈(0,
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)上 f′ (x)=﹣xsinx<0,得 f(x)

在区间∈[0,

]上单调递减,从而 f(x)≤f(0)=0. >a”等价于“sinx﹣ax>0”,“ <b”等价于“sinx﹣bx<0”构造函数 g(x)=sinx

(2)当 x>0 时,“

﹣cx,通过求函数的导数讨论参数 c 求出函数的最值,进一步求出 a,b 的最值. 解答: 解: (1)由 f(x)=xcosx﹣sinx 得 f′ (x)=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx, 此在区间∈(0, )上 f′ (x)=﹣xsinx<0,

所以 f(x)在区间∈[0, 从而 f(x)≤f(0)=0. (2)当 x>0 时,“

]上单调递减,

>a”等价于“sinx﹣ax>0”,“

<b”等价于“sinx﹣bx<0”

令 g(x)=sinx﹣cx,则 g′ (x)=cosx﹣c , 当 c ≤0 时,g(x)>0 对 x∈(0, 当 c ≥1 时,因为对任意 x∈(0, 所以 g(x)在区间[0, )上恒成立, ) ,g′ (x)=cosx﹣c <0,

]上单调递减, )恒成立,

从而,g(x)<g(0)=0 对任意 x∈(0, 当 0<c <1 时,存在唯一的 x0 ∈(0, g(x)与 g′ (x)在区间(0, x g′ (x) g(x) + ↑

)使得 g′ (x0 )=cosx0 ﹣c=0,

)上的情况如下: x0 ﹣ ↓ )恒成立, (x0 , )

(0,x0 )

因为 g(x)在区间(0,x0 )上是增函数, 所以 g(x0 )>g(0)=0 进一步 g(x)>0 对任意 x∈(0, 当且仅当 综上所述当且仅当 时,g(x)>0 对任意 x∈(0, )恒成立, ,b 的最小值为 1 )恒成立,

当且仅当 c ≥1 时,g(x)<0 对任意 x∈(0, 所以若 a< <b 对 x∈(0,

)上恒成立,则 a 的最大值为

点评: 本题考查利用导数求函数的单调区间;利用导数求函数的最值;考查解决不等式问题常通过构造函数解决 函数的最值问题,属于一道综合题. 19. (14 分) (2014?北京)已知椭圆 C:x2 +2y2 =4, (1)求椭圆 C 的离心率 (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥ OB,求直线 AB 与圆 x2 +y2 =2 的位置关系, 并证明你的结论. 考点: 圆与圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

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分析: (1)化椭圆方程为标准式,求出半长轴和短半轴,结合隐含条件求出半焦距,则椭圆的离心率可求; (2)设出点 A, B 的坐标分别为(x0 ,y0 ) , (t,2) ,其中 x0 ≠0,由 OA⊥ OB 得到 的圆心到 AB 的距离和圆的半径相等说明直线 AB 与圆 x2 +y2 =2 相切. ,用坐标表示

后把 t 用含有 A 点的坐标表示, 然后分 A, B 的横坐标相等和不相等写出直线 AB 的方程, 然后由圆 x2 +y2 =2

解答: 解: (1)由 x +2y =4,得椭圆 C 的标准方程为 ∴ a =4,b =2,从而 c =a ﹣b =2. 因此 a=2,c= . 故椭圆 C 的离心率 e=
2 2 2 2 2 2 2 2 2





(2)直线 AB 与圆 x +y =2 相切. 证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为(x0 ,y0 ) , (t,2) ,其中 x0 ≠0. ∵ OA⊥ OB, ∴ ,即 tx0 +2y0 =0,解得 .

当 x0 =t 时,

,代入椭圆 C 的方程,得

. .

故直线 AB 的方程为 x= ,圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2 2 此时直线 AB 与圆 x +y =2 相切. 当 x0 ≠t 时,直线 AB 的方程为 即(y0 ﹣2)x﹣(x0 ﹣t)y+2x0 ﹣ty0 =0. 圆心 O 到直线 AB 的距离 d= . ,



,t=





=



此时直线 AB 与圆 x +y =2 相切. 点评: 本题考查椭圆的简单几何性质,考查了圆与圆锥曲线的综合,训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的 位置关系,体现了分类讨论的数学思想方法,考查了计算能力和逻辑思维能力,是压轴题. 20. (13 分) (2014?北京) 对于数对序列 P: (a1 , b1 ) , (a2 , b2 ) , …, (an , bn ) , 记 T 1(P) =a1 +b1 , Tk(P) =bk +max{T k (P ) ,a1 +a2 +…+ak }(2≤k≤n) ,其中 max{Tk ﹣1(P) ,a1 +a2 +…+ak }表示 T k ﹣1(P)和 a1 +a2 +…+ak 两个数中最大的数, (Ⅰ )对于数对序列 P: (2,5) , (4,1) ,求 T1 (P) ,T 2 (P)的值; (Ⅱ )记 m 为 a,b,c ,d 四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b) , (c ,d)组成的数对序列 P: (a,b) , (c,d)
﹣1

2

2

和 P′ : (c ,d) , (a,b) ,试分别对 m=a 和 m=d 两种情况比较 T2 (P)和 T2 (P′ )的大小; (Ⅲ )在由五个数对(11,8) , (5,2) , (16,11) , ( 11,11) , (4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列 P 使 T 5 (P)最小,并写出 T5 (P)的值(只需写出结论) . 考点: 分析法和综合法.
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专题: 新定义;分析法. 分析: (Ⅰ )利用 T 1 (P)=a1 +b1 ,Tk (P)=bk +max{T k ﹣1 (P) ,a1 +a2 +…+ak}(2≤k≤n) ,可求 T1 (P) ,T 2 (P)的

值; (Ⅱ )T 2 (P)=max{a+b+d,a+c+d},T2 (P′ )=max{c+d+b,c+a+b},分类讨论,利用新定义,可比较 T 2 (P)和 T2 (P′ )的大小; (Ⅲ )根据新定义,可得结论. 解答: 解: (Ⅰ )T 1 (P)=2+5=7,T2 (P)=1+max{T 1 (P) ,2+4}=1+max{7,6}=8; (Ⅱ )T 2 (P)=max{a+b+d,a+c+d},T2 (P′ )=max{c+d+b,c+a+b}. 当 m=a 时,T2 (P′ )=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b, ∵ a+b+d≤c+d+b,且 a+c+d≤c+b+d,∴ T2 (P)≤T 2 (P′ ) ; 当 m=d 时,T 2 (P′ )=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b, ∵ a+b+d≤c+a+b,且 a+c+d≤c+a+d,∴ T2 (P)≤T2 (P′ ) ; ∴ 无论 m=a 和 m=d,T2 (P)≤T2 (P′ ) ; (Ⅲ )数对(4,6) , (11,11) , (16, 11) , (11,8) , (5,2) ,T 5 (P)最小; T 1 (P)=10,T 2 (P)=26;T3 (P)42,T 4 (P)=50,T5 (P)=52. 点评: 本题考查新定义,考查学生分析解决问题的能力,正确理解与运用新定义是解题的关键.


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