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2013年长春市高三5.17五校联考理科试题及答案


吉林省五校高考高端命题研究协作体第二次联考 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间为 120 分钟,其 中第Ⅱ卷 22 题-24 题为选考题,其它题为必考题.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区 域内. 2. 选择题必须用 2

B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体 工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效; 在草稿纸、 试题卷上答题无效. 4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

4.已知数列 ? a n ? 是等差数列,且公差为 2,若 a 1 , a 3 , a 4 成等比数列,则 a 2 ? A. ? 8 B. ? 6 C. 8 D. 6

(

)

5. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学 生不能分到同一个班,则不同分法的种数为 A.72 B.66
(2)

( C. 36 D.30
开始
s ? 1, i ? 1



6.右图是把二进制数 11111

化为十进制数的一个程序框图,

判断框内应填入的条件是 ( ) A. i ? 4 B. i ? 4 C. i ? 5 D. i ? 5 7.已知函数 f ( x ) ? x ? bx ? c ,其中 0 ? b ? 4 , 0 ? c ? 4 ,
2

i ? i?1
s

? 1? 2? s

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一 ... 项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). . 1.已知 i ? ? 1 ,若 M ? { x | x ? i , n ? N } , N ? { x | x ? co s k ? , k ? R } , 则 M ? N =(
2

记函数 f ( x ) 满足条件: ? 的概率为( )

? f (2) ? 12 ? f (?2) ? 4

为事件 A,则事件 A 发生

否 输出 s 结束



n

)

A.

1 4

B.

5 8

C.
2

3 8

D.
?
8

1 2

A. ?? 1,1?

B. ?? 1, 0 ,1?

C. ?? 1,1 ?

D. ?1, 0 ? ( )

8. 将函数 f ( x ) ? co s( ? ? x ) (co s x ? 2 sin x ) ? sin x 的图象向左平移
g ( x ) 图象,则 g ( x ) 具有性质

个单位后得到函数的 ( )

2. 若命题 P : ? x 0 ? ?- 3 , 3 ?, x 02 ? 2 x 0 ? 1 ? 0 ,则命题 P 的否定是
2 A. ? x ? ?- 3 , 3 ?, x ? 2 x ? 1 ? 0

A.最大值为 2 ,图象关于直线 x ? C.在 ( ?
?
2

?
2

对称

B.周期为 ? ,图象关于 ( D.在 ( 0 ,
?
4

?
4

, 0 ) 对称

2 B. ? x ? ? - ? , - 3 ? ? ?3 , ?? ?, x ? 2 x ? 1 ? 0

, 0 ) 上单调递增,为偶函数
? 2x

) 上单调递增,为奇函数

2 C. ? x 0 ? ? - ? , - 3 ? ? ?3 , ?? ?, x 0 ? 2 x 0 ? 1 ? 0

9.已知抛物线 y 2

,过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A , B 两点,自 A , B 向准线作垂
2 3 3

2 D. ? x 0 ? ?- 3 , 3 ?, x 0 ? 2 x 0 ? 1 ? 0

3. 二项式 ( 2 ? A.-1

x ) 的展开式的所有项的系数和为
8

( C.1 D.2

)

线,垂足分别为 A 1 、 A 2 , A 1 F ?

, A 2 F ? 2 ,则 A1 A 2 ?

(

)

B.0

A.

3 3

B.

2 3 3

C. 3

D.

4 3 3

y

10. 已知四面体 ABCD 中三组对棱分别相等且长分别是 2 、 5 、 7 ,则该四面体外接球的半 径为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 ( )

16.如图, F 1 、 F 2 是双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

A
? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的左、右焦点,
B

过 F 1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于点 A 、 B .若 ? ABF 2 为 等边三角形,则双曲线的离心率为___ ___.

F1

F2 x

1 ? ?x ? ,x ? 0 2 11.已知函数 f ( x ) ? ? ,若关于 x 的方程 f x ? 2 x ? a 有六个不同的实根,则实 x ? x 3 ? 9, x ? 0 ?

?

?

三、

解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).

数 a 的取值范围是 A. ? 2 , 8 ? B. ? 2 , 9 ? C. ? 8, 9 ?
??? ? ??? ?

( D. ?8 , 9 ?
????



17. (本小题满分 12 分) 如图 A , B 是单位圆 O 上的动点,且 A , B 分别在第一,二象限.
C 是圆与 x 轴正半轴的交点, ? AOB 为正三角形. 若 A 点的 坐标为 ( x , y ) ,记 ? COA ? ? .
B
y A

12.已知点 G 是 ? A B C 的重心,点 P 是 ? G B C 内一点,若 A P ? ? A B ? ? A C , 则 ? ? ? 的取值 范围是 A. ( ,1)
2 1

( B. ( ,1)
3 2



(Ⅰ)若 A 点的坐标为 ( , ) ,求
5 5
2

3 4

sin cos

2 2

? ? sin 2 ? ? ? cos 2 ?

的值;

O

C. (1, )
2

3

C

x

D. (1,2) (Ⅱ)求 BC 的取值范围.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上).
? 13. 已知下列表格所示数据的回归直线方程为 y ? 3 . 8 x ? a ,则 a 的值为

.

x
y

2 251

3 254

4 257

5 262

6 266
1

18 . (本小题满分 12 分) 某中学参加一次社会公益活动 (以下简称活动) 该校合唱 . 团共有 100 名学生,他们参加活动的次数统计如图所示. (Ⅰ)求合唱团学生参加活动的人均次数; (Ⅱ)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数 恰好相等的概率. (Ⅲ)从合唱团中任选两名学生,用 ? 表示这两人参加活

参加人数

50 40 30 20 10 1 2 3
活动次数

14. 若删去正整数数列 1,2,3,?中的所有完全平方数,得到一个新数列, 这个新数列的第 2013 项是 _. 15.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .

1

1

正视图

侧视图

动次数之差的绝对值,求随机变量 ? 的分布列及数学期望
E? .

1

俯视图

19. (本小题满分 12 分) 如图,PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩形,PA=AB=1,PD 与平面 ABCD 所成角是 30° ,点 F 是 PB 的中点,点 E 是边 BC 上的动点. (Ⅰ)点 E 为 BC 的中点时,求证:EF//平面 PAC; (Ⅱ)BE 为何值时,二面角 P-DE-A 的大小为 45° .

P

如图,半圆 O 的直径 AB 的长为 4,点 C 平分弧 AE,过 C 作 AB 的 垂线交 AB 于 D,交 AE 于 F.
F

(Ⅰ)求证: CE
B E

2

? AE ? AF ;

A

(Ⅱ)若 AE 是 ? CAB 的角平分线,求 CD 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 1 的参数方程为 ?
? x ? 2 ? 3 sin ?

20. (本小题满分 12 分)
2 2 2

已知圆 M : ? x ? m ? ? ? y ? n ? ? r 及定点 N ?1, 0 ? ,点 P 是圆 M 上的动点,点 Q 在 NP 上,
?

D

C

? y ? 3 cos ? ? 2

? (其中 ? 为参数, ? R ) 在 .

?

?

?

点 G 在 MP 上,且满足 NP = 2 NQ , GQ ? NP ? 0 (Ⅰ)若 m ? ? 1, n ? 0 , r ? 4 , 求点 G 的轨迹 C 的方程. (Ⅱ)若动圆 M 和(1)中所求轨迹 C 相交于不同两点 A , B ,是否存在一组实数 m , n , r , 使得 直线 MN 垂直平分 AB ,若存在,求出这组实数,若不存在说明理由.

极坐标系(以坐标原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,曲线 C 2 的极坐标方 程为
? cos( ? ? ?
4 ) ? a.

(Ⅰ)把曲线 C 1 和 C 2 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线 C 1 上恰有三个点到曲线 C 2 的距离为 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? x ? a .
3 2

,求曲线 C 2 的直角坐标方程.

21. (本小题满分 12 分) 设 f ( x ) ? e ? a ( x ? 1) .
x

(Ⅰ)当 a ? ? 1 时,求不等式 f ( x ) ? x ? 1 ? 1 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ? f ( ? x ) ? 2 存在实数解,求实数 a 的取值范围.

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设 g ( x ) ? f ( x ) ?
a e
x

,且 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), ? x 1 ? x 2 ? ,是曲线 y ? g ( x ) 上任意两点,

若对任意的 a ? ? 1 ,直线 AB 的斜率恒大于常数 m ,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)求证: 1 ? 3 ? ? ? ( 2 n ? 1) ?
n n n

e e ?1

(2n) (n ? N ) .
n *

请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲
E C

F A D O B

吉林省五校高考高端命题研究协作体第二次联考
一、选择题 AACBDB 二、填空题 13. 四、 242.8 14. 2058 15.
1 3

(Ⅲ)从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加 1 次活动,另一人参加 2 次活动”为 事件 A,“这两人中一人参加 2 次活动,另一人参加 3 次活动”为事件 B,“这两人中一人参加 1 次活动,另一人参加 3 次活动”为事件 C.易知:
P (? ? 1) ? P ( A ) ? P ( B ) ? C 10 C 40 C 100
2 1 1

C 10 C 50 C 100
2

1

1

?

C 50 C 40 C 100
2

1

1

?

50 99

, ------------10 分

DDDACB

P (? ? 2 ) ? P ( C ) ?

?

8 99

? 的分布列:

16. 7

?

0
41 99

1
50 99
8 99 2 3

2
8 99

解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).
?3 4? , ? ?5 5?

P

17. 解: (Ⅰ)因为 A 点的坐标为 ?
0 ?? ?

,根据三角函数定义可知,
? 的数学期望: E ? ? 0 ?
41 99 ? 1? 50 99 ? 2? ?

?
2
2 2



------12 分

, sin ? ?

4 5

,得 c o s ?
2

?

3 5


? 20

..........2 分 ...........5 分
? 60
0

所以

sin ? ? sin 2 ? c o s ? ? c o s 2?



s in ? ? 2 s in ? c o s ? 3 cos ? ? 1
2

(Ⅱ)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ? A O B
co s ? C O B

, 所以 ...........6 分

= c o s( ? C O A ? 6 0 0 ) = co s(?
2 2 2

? 60 )

?

所以 | B C
?

| ? | O C | ? | O B | ? 2 | O C || O B | co s ? B O C

= 2 ? 2 c o s (?
?
3 ) ? cos

?

?
3

19. 解: 解法一:(Ⅰ)当点 E 为 B C 的中点时, ∵在 ? P B C 中, E 、 F 分别为 B C 、 P B 的中点,∴ E F ∥ P C 而 P C ? 平面 P A C ∴ E F ∥平面 P A C . (Ⅱ)过 A 作 A G ? D E 于 G ,连 P G , 又∵ DE ? PA ,则 DE ? 平面 PAG , 则 ? PGA 是二面角 P ? D E ? A 的平面角,
? ∴ ? PGA ? 45 ,

又 E F ? 平面 P A C , ???4 分

)

.........7 分

???10 分
z
? ?

?
6

?? ?

?
2

,?

?
2

?? ?

?
3

?

5 6

?

,

? cos

5 6

? ? c o s (? ?

?
2

, .........10 分 .........12 分

∵ PD 与平面 ABCD 所成角是 30 ,∴ ? PDA ? 30 , ∴ AD ?
3 , PA ? AB ? 1 .

P

即? ?

3 2

? c o s (? ?

?
3

)? 0

,

F
A (O )

? 2 ?| B C | ?
2

3?2

B

y

∴ AG ? 1 , DG ?

2 ,设 B E ? x ,则 G E ? x , C E ?
2

3? x,
D

18 . 解:由图可知,参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为 10、50 和 40.2 分 (Ⅰ)该合唱团 学生参加活动的人均次数为
1 ? 10 ? 2 ? 50 ? 3 ? 40 100 ? 2 .3 .

---4 分

在 R t ? D C E 中, ? 2 ? x ? ? 得 BE ? x ?
3? 2 .

?

3? x

?

G
2

E

?1 ,
2

x

C

(Ⅱ)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率为:
P0 ? C 10 ? C 50 ? C 40
2 2 2

???12 分 ???4 分 ???5 分

C 100

2

?

41 99



--------6 分

解法二:(向量法) (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系,

则 P ? 0 , 0 ,1 ? , B ? 0 ,1, 0 ? , F ? 0 ,
?

?

1 1 , 2 2

? ?,D ?

?

3 , 0, 0 .

?

?

x

2

?

y

2

?1

??? 4 分

4

3

(Ⅱ)1°当 MN 的斜率存在时,设为 k
l MN : y ? k ( x ? 1)

设 B E ? x , E ( x ,1, 0 ) ,
?? 则设平面 P D E 的法向量为 m ?

?

?? ? m ? PD ? 0 p , q ,1 ? ,由 ? ? ? , ? m ? PE ? 0 ?

得: m ? ?
?

??

? 1 3

,1 ?

x

? ,1 ? , 3 ?

???8 分

2 ? x 12 y1 ? ?1 ? ? 3 设 A ( x 1 , y 1 ) B ( x 2 , y 2 ) AB 中点 D ( x 0 , y 0 ) ? 42 2 x y ? 2 ? 2 ?1 ? 4 3 ?

?
?

( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 2 ) 4

?

( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) 3

? 0

而平面 ADE 的法向量为 AP ? ( 0 , 0 ,1) ,
? ?

???9 分
y1 ? y 2 x1 ? x 2

∵二面角 P ? D E ? A 的大小是 45 ,所以 cos 45 =

?

?

2 2

?

| m ? AP |
? ?



x1 ? x 2 ? x ? 1 ? 0 3x0 1 2 ? ? ? ? ? y ? y2 k 4 y0 k ? y0 ? 1 2 ?

| m || AP |


1

1 x ? ? ? ?1 ? ? ?1 3 ? 3 ?
2

?

1 2



???10 分

? y 0 ? k ( x 0 ? 1) ? 3x0 1 ? x0 ? 4 D 在 MN 直线上? ? ? ? 4 y0 k ?
? 弦 AB 的中点 D 在椭圆 C 内

? ?2 ? x0 ? 2

得 BE ? x ?

3?
?

2
?

或 BE ? x ?

3 ?

2 (舍) .

?????12 分

所以矛盾,所以不存在 2°当 MN 的斜率不存在时
x ?1
y1 ? y 2

??? 9 分 ??? 10 分

20. 解: (Ⅰ)? NP ? 2 NQ
? ?

? Q 为 PN 中点,

又? GQ ? NP ? 0

? GQ ? NP 或 G 点与 Q 点重合

, x 1 ? x 2 ? 2 代入椭圆 x 1 ? x 2 ? 0 ??? 11 分 ???12 分

? PG ? GN 又? GM ? GN ? GM ? GP ? PM
? 点 G 轨迹是以 M , N 为焦点的椭圆且 a ? 2 , c ? 1

? 4

? AB 是不同点,所以矛盾

当 MN 的斜率为零,存在无数组解,如 m ? 5 , r ? 4

解法 2: (2)设直线 AB 为 y ? kx ? b ( k ? 0 )

2 ?x2 y ? ?1 ? 2 2 2 ( 3 ? 4 k ) x ? 8 kbx ? 4 b ? 12 ? 0 3 ? 4 联立 ? y ? kx ? b ,得 ?

令: F ( x ) ? g ( x ) ? mx ,则函数 F ( x ) 在 R 上是增函数, 所以,对于任意 a ? ? 1, x ? R ,都有 F ? ( x ) ? g ? ( x ) ? m ? 0 恒成立 ???5 分
a e
x

-------6 分

x1 ? x 2 ? ? x1 x 2 ? 4b
2 2

8 kb 4k
2

?3

? 12

而 g ?( x ) ? e ? a ?
x

? 2 e ? (?
x

a e
x

) ? a ? ?a ? 2

?a ? 3

4k ? 3 ? 4 kb 3b ( , ) 2 2 中点 4 k ? 3 4 k ? 3 在直线 MN 上,
b ? ? 4k
2

所以 m ? 3 ???6 分 ???7 分 ???9 分 法二:设 x 1 , x 2 ? R ,且 x 1 ? x 2 ,由已知条件 k AB ? 故: g ( x 2 ) ? mx 2 ? g ( x 1 ) ? mx 1 令: F ( x ) ? g ( x ) ? mx ,则函数 F ( x ) 在 R 上是增函数, 所以,对于任意 a ? ? 1, x ? R ,都有 F ? ( x ) ? g ? ( x ) ? m ? 0 恒成立
a e 1 e
x x

--------8 分
g ( x 2 ) ? g ( x1 ) x 2 ? x1 ? m ,

?3

-------5 分


? ? 0

k

此时 ,故不存在 2°当 MN 的斜率不存在时
x ?1
y1 ? y 2

-------6 分

, x 1 ? x 2 ? 2 代入椭圆 x 1 ? x 2 ? 0 ??? 10 分 ??? 11 分 ???12 分

g ?( x ) ? e

x

?a?

? ? (1 ?

1 e
x

)a ? e

x

? AB 是不同点,所以矛盾

当 MN 的斜率为零,存在无数组解, 如 m ? 5, r ? 4

令 F ( a ) ? ? (1 ?

)a ? e

x

法 3: (2)由焦半径公式可得 x 1 ? x 2 ,则点 M 在 x 轴上,???10 分 如 m ? 5, r ? 4 21. (本小题满分 12 分)
x x 解: (Ⅰ)? f ( x ) ? e ? ( x ? 1), ? f ? ( x ) ? e ? 1 ,

关于 a 的一次函数单调递减,故 F ( a ) min ? F ( ? 1) ? 1 ? ???12 分 所以 m ? 3
x (Ⅲ)由(Ⅰ)知 e ? x ? 1 ,取 x ? ?

1 e
x

?e

x

? 3

-----------8 分
i 2n , ( i ? 1, , 3 , ? , 2 n ? 1 )

-------1 分 得, 1 ? --------3 分 累加得:
1 2n ) ?(
n

令 e ? 1 ? 0 得: x ? 0 当 x ? ( ?? , 0 ) , f ? ( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 为减函数; 当 x ? ( 0 , ?? ) , f ? ( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 为增函数.
x

i 2n

? e

?

i 2n

,即 (

2n ? i 2n

)

n

? e

?

i 2

-------10 分

(Ⅱ)设 x 1 , x 2 ? R ,且 x 1 ? x 2 ,由已知条件 k AB ? 故: g ( x 2 ) ? mx 2 ? g ( x 1 ) ? mx 1

g ( x 2 ) ? g ( x1 ) x 2 ? x1

? m ,

--------5 分

(

3 2n

) ?? ? (
n

2n ? 1 2n

)

n

? e

?

2 n ?1 2

?e

?

2n?3 2

?? ? e

?

1 2

?

1 2

?

e

(1 ? e
?1

?n

)

1? e

?

e e ?1

? 1 ? 3 ? ? ? ( 2 n ? 1)
n n

n

?

e e ?1

(2n)

n

-------12 分

24. (Ⅰ)解: a ? ? 1 时, f ( x ) ? x ? 1 ? x ? 1 ? 1 即:
x ?1 ? x ?1 ? 1

? A 22.解: (Ⅰ)证明:由已知 ? C ? C E ? ? A E C = ? E A C ,AC=CE,
? AB 为圆 C 的直径,且 CD ? AB 于点 D,? ? A C D = ? A E C = ? E A C ,

x ? ? 1 时, ? x ? 1 ? x ? 1 ? 1,? x ? ? 1

? ?AC F ∽ ?AEC ? AC

2

? A E ? A F ,即: C E

2

? AE ? AF

-------5 分

? 1 ? x ? 1 时, ? x ? 1 ? x ? 1 ? 1,? ? 1 ? x ? ? x ? 1 时, x ? 1 ? x ? 1 ? 1, 无解
1? ? ? x ? ? ?? , ? 2? ? ?

1 2

(Ⅱ)AE 是的角平分线,则 ? B A E = ? A E C = ? E A C =30?
1 ? ? ? B E ? C E ? C A , ? C A B =60?, ? AC=OA= AB=2 2

-------5 分

C D ? A C ? sin 6 0 ?= 2 ?

3 2

?

3

-------10 分 (Ⅱ) f ( x ) ? f ( ? x ) ? x ? a ? ? x ? a ? ( x ? a ) ? ( ? x ? a ) ? 2 a

23.解: (Ⅰ)曲线 C 1 :变形 3 sin ? ? 2 ? x , 3 co s ? ? y ? 2 两式的平方和为: ( x ? 2 ) ? ( y ? 2 ) ? 9
2 2

?

2a ? f ( x) ? f (? x) ? 2 ? ?1 ? a ? 1

-------10 分

曲线 C 2 :展开为
? x? y ?

2 2

( ? c o s ? ? ? s in ? ) ? a

2a

-------5 分
3 2

(Ⅱ)曲线 C 1 上恰有三个点到曲线 C 2 的距离为
R ? 3 2 ?3? 3 2 ? 3 2
3 2
3 2 2

,则圆 C 1 的圆心到直线 C 2 的距离为

由点到直线的距离公式得:

?

2?2? 1?1

2a

,? a ? ?

3 2

? 曲线 C 2 的直角坐标方程: x ? y ? ?

-------10 分


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