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2014-2015学年福建省南平市政和二中高三(上)第二次月考数学试卷(理科)


2014-2015 学年福建省南平市政和二中高三(上)第二次月考数 学试卷(理科)
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.已知命题 p:?x∈R,sinx≤1,则( A. ?p:?x∈R,sinx≥1 C. ?p:?x∈R,sinx>1 2.若复数 z 满足 zi=1﹣i,则 z 等于( A. ﹣1﹣i B. 1﹣i
x

) B.

?p:?x∈R,sinx≥1 D. ?p:?x∈R,sinx>1 ) C. ﹣1+i D. 1+i

3.设 f(x)=e +x﹣4,则函数 f(x)的零点所在区间为( ) A. (﹣1,0) B. (0,1) C. (1,2) 4.下列函数中,既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是( A. y=x+1 B. y=﹣x
3

D. (2,3) ) D. y=x|x|

C. y=

5.函数 y=loga(|x|+1) (a>1)的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

6.如图,在△ ABC 中,AD⊥AB,BC=

BD,AD=1,则

等于(



A.

B.

C.

D.

7.已知平面向量 、 的夹角为 60°,则 =( A. 2 B.

, 1) ,| |=1,则| +2 |═( C. 2 D. 2



8.若函数 f(x)的图象,只要将 y=sin2x 的图象( A. 向左平移 C. 向左平移 个单位长度 个单位长度 )

的最小正周期为 π,为了得到函数

B. 向右平移 D. 向右平移

个单位长度 个单位长度

9.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B 的一部分图象如图所示,如果 A>0,ω>0,|φ|< ( )

,则

A. A=4

B. ω=1

C. φ=

D. B=4

10.从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M(x,y) ,则点 M 取自阴影部分的概 率为( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(每题 4 分,共 20 分) 11.已知函数 ,则 f(2)= .

12.已知向量 为

, .

满足





,则向量

与向量

的夹角

13.如果 sin(α+π)cos(α﹣π)= ,则 tanα=



14.已知数列{an}满足 a1=0,a2=1,an+2=3an+1﹣2an,则通项公式 an= 15.下列命题: ①函数 y= 的单调区间是(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞) . )的一个单调递增区间是 图象关于直线
x



②函数 y=2sin(2x﹣ ③函数

; 对称. 垂直的切线,

④已知函数 f(x)=e ﹣mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y= 则实数 m 的取值范围是 m>2. 其中正确命题的序号为



三、解答题(6 题 80 分) 16.已知在等差数列{an}中,a2=11,a5=5. (1)求通项公式 an; (2)求前 n 项和 Sn 的最大值. 17. △ ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 向量 m= (2sinB, 2﹣cos2B) , n= (1+sinB, ﹣1) ,且 m⊥n. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 不是钝角三角形,且 a= ,b=1,求△ ABC 的面积. 18.已知函数 f(x)= (Ⅰ)当 x∈[﹣ , sin2x﹣cos x﹣ ,x∈R. ]时,求函数 f(x)的最小值和最大值; ,f(C)=0,sinB=2sinA,求 a,b 的值.
2

(Ⅱ)设△ ABC 的对边分别为 a,b,c,若 c=

19.已知数列{an}满足 a1=3, (1)证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 20.已知函数 f(x)=mx﹣lnx(m∈R) (Ⅰ)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在 x=2 处切线方程; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间.

,数列{bn}满足



21.已知 f(x)=(x +ax+a)e (a≤2,x∈R) . (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的极大值为 3?若存在,求出 a 的值,若不存在,说明理由.

2

﹣x

2014-2015 学年福建省南平市政和二中高三(上)第二次 月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.已知命题 p:?x∈R,sinx≤1,则( A. ?p:?x∈R,sinx≥1 C. ?p:?x∈R,sinx>1

) B. ?p:?x∈R,sinx≥1 D. ?p:?x∈R,sinx>1

考点:命题的否定. 专题:阅读型. 分析:本题所给的命题是一个特称命题, 存在性命题的否定是一个全称合理, 把存在符号变 为任意符号,将结论否定即可 解答: 解:∵p:?x∈R,sinx≤1,∴p:?x∈R,sinx>1 考查四个选项,D 正确 故选 D 点评:本题考查命题的否定, 求解本题的关键是正确理解含有量词的命题的否定的书写格式 与规则,即特称命题的否定是全称命题,全称命题的否定是特称命题. 2.若复数 z 满足 zi=1﹣i,则 z 等于( A. ﹣1﹣i B. 1﹣i 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:由复数 z 满足 zi=1﹣i,可得 z= 解答: 解:∵复数 z 满足 zi=1﹣i, ∴z= = =﹣1﹣i, = ,运算求得结果. ) C. ﹣1+i D. 1+i

故选 A. 点评:本题主要考查两个复数代数形式的除法, 两个复数相除, 分子和分母同时乘以分母的 共轭复数,虚数单位 i 的幂运算性质,属于基础题. 3.设 f(x)=e +x﹣4,则函数 f(x)的零点所在区间为( ) A. (﹣1,0) B. (0,1) C. (1,2) 考点:函数零点的判定定理. 专题:函数的性质及应用. 分析:直接利用零点定理判断即可.
x

D. (2,3)

解答: 解:f(x)=e +x﹣4, ﹣1 f(﹣1)=e ﹣1﹣4<0, 0 f(0)=e +0﹣4<0, 1 f(1)=e +1﹣4<0, 2 f(2)=e +2﹣4>0, 3 f(3)=e +3﹣4>0, ∵f(1)?f(2)<0, ∴由零点判定定理可知,函数的零点在(1,2) . 故选:C. 点评:本题考查函数的零点判定定理的应用,基本知识的考查. 4.下列函数中,既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是( A. y=x+1 B. y=﹣x
3

x

) D. y=x|x|

C. y=

考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:函数的性质及应用. 分析:分别判断四个函数是否是奇函数,且在定义域内为增函数即可. 解答: 解:A.y=x+1 在定义域内非奇非偶函数,不满足条件. 3 B.在定义域内 y=﹣x 是奇函数,且在定义域内单调递减,不满足条件. C.在定义域内 y= 是奇函数,且在定义域内不是单调函数,不满足条件.

D.y=x|x|=

是奇函数,在其定义域上是增函数,满足条件.

故选:D 点评:本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断, 要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性 的性质. 5.函数 y=loga(|x|+1) (a>1)的图象大致是( )

A.

B.

C.

D. 考点:对数函数的图像与性质. 专题:数形结合.

分析:先画 y=logax, 然后将 y=logax 的图象向左平移 1 个单位得 y=log( , 再保留 y=loga a x+1) (x+1)图象在 y 轴的右边的图象,y 轴左边的图象与之对称即得到函数 y﹣loga(|x|+1) (a >1)的大致图象. 解答: 解:先画 y=logax, 然后将 y=logax 的图象向左平移 1 个单位得 y=loga(x+1) , 再保留 y=loga(x+1)图象在 y 轴的右边的图象, y 轴左边的图象与之对称即得到函数 y﹣loga(|x|+1) (a>1)的大致图象. 故选 B. 点评:本题考查对数函数的图象和性质,解题时要注意图象的变换.

6.如图,在△ ABC 中,AD⊥AB,BC=

BD,AD=1,则

等于(



A.

B.

C.

D.

考点:向量在几何中的应用. 专题:解三角形;平面向量及应用. 分析:利用平面向量的基本运算与解三角形的基础知识,求解向量的数量积即可. 解答: 解: ∵| ∴ |=1, ? = cos∠DAC=| +∠DAC, |?cos∠DAC, = cos∠DAC,

∵∠BAC=

∴cos∠DAC=sin∠BAC, ? = cos∠DAC=| = |?cos∠DAC=| |sin∠BAC,

在△ ABC 中,由正弦定理得 ? = cos∠DAC=| = ,

变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB, |?cos∠DAC=| |sin∠BAC,

=|BC|sinB=|BC|?

故选:B. 点评:本题考查平面向量的数量积,向量在几何中的应用,平面向量的身影,且均属于中等 题或难题,应加强平面向量的基本运算的训练,尤其是与三角形综合的问题

7.已知平面向量 、 的夹角为 60°,则 =(

, 1) ,| |=1,则| +2 |═(



A. 2

B.

C. 2

D. 2

考点:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题:计算题. 分析:根据 的坐标求出它的模,利用数量积运算求出所求向量的模. 解答: 解:由 =( 则| +2 |= ,1)得,| |=2, = =2 ,

故选 C. 点评:本题考查两个向量的数量积坐标运算公式的应用, 利用向量坐标形式进行运算求出对 应向量的模.

8.若函数 f(x)的图象,只要将 y=sin2x 的图象( A. 向左平移 C. 向左平移 个单位长度 个单位长度 )

的最小正周期为 π,为了得到函数

B. 向右平移 D. 向右平移

个单位长度 个单位长度

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:计算题. 分析:利用已知条件求出 ω,得到函数的解析式,然后利用左加右减的原则,确定平移的方 向与单位. 解答: 解:因为函数 所以 ω= , , 个单位长长度即可. 的最小正周期为 π,

所以函数的解析式为:

为了得到函数 f(x)的图象,只要将 y=sin2x 的图象向左平移

故选 C. 点评:本题考查函数的解析式的求法,函数的图象的变换,考查计算能力.

9.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B 的一部分图象如图所示,如果 A>0,ω>0,|φ|< ( )

,则

A. A=4

B. ω=1

C. φ=

D. B=4

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:计算题. 分析:先根据函数的最大值和最小值求得 A 和 B,然后利用图象中 期,求得 ω,最后根据 x= 时取最大值,求得 φ. 求得 A=2,B=2 ﹣ 求得函数的周

解答: 解:如图根据函数的最大值和最小值得 函数的周期为( 当 x= ﹣ )×4=π,即 π= ,ω=2

时取最大值,即 sin(2×

+φ)=1,2×

+φ=2kπ+

φ=2kπ﹣ ∵ ∴φ= 故选 C. 点评:本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.考查了学生基础知识 的运用和图象观察能力. 10.从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M(x,y) ,则点 M 取自阴影部分的概 率为( )

A.

B.

C.

D.

考点:定积分在求面积中的应用;几何概型. 专题:计算题. 分析:欲求所投的点落在叶形图内部的概率,须结合定积分计算叶形图(阴影部分)平面区 域的面积,再根据几何概型概率计算公式易求解. 解答: 解:可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型, 由图可知基本事件空间所对应的几何度量 S(Ω)=1, 满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量: S(A)= = .

所以 P(A)=



故选:B. 点评:几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这 个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件 A 的 基本事件对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据 P= 求解.

二、填空题(每题 4 分,共 20 分) 11.已知函数 ,则 f(2)= 2 .

考点:函数的值. 专题:计算题. 分析:考查对分段函数的理解程度,因为 2≥0,所以用上面一个式子代入得到:f(2)=2 ﹣2=2, 2 解答: 解:∵当 x≥0 时,f(x)=x ﹣x, 2 ∴f(2)=2 ﹣2=2. 故答案为:2. 点评:此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型,主要考查学生对“分段函数 在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解.
2

12.已知向量 60° .

, 满足





,则向量

与向量

的夹角为

考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:计算题;平面向量及应用.

分析:由 与向量 的夹角大小.

算出

=

, 再由平面向量的夹角公式, 即可算出向量

解答: 解:∵ 可得 ∵ ,∴ =

,∴



设向量

与向量

的夹角为 θ,则 cosθ=

=

∵θ∈[0°,180°],∴θ=60° 故答案为:60° 点评:本题给出向量互相垂直,求向量 量积公式及其应用的知识,属于基础题. 与向量 的夹角大小.着重考查了平面向量的数

13.如果 sin(α+π)cos(α﹣π)= ,则 tanα= 1 .

考点:运用诱导公式化简求值;同角三角函数间的基本关系. 专题:三角函数的求值. 分析:直接利用诱导公式化简,然后弦切互化求解即可. 解答: 解:由 sin(α+π)cos(α﹣π)= ,得 sinαcosα= , 则 = ,即 = ,解得:tanα=1.

故答案为:1. 点评:本题考查诱导公式的应用,三角函数的化简求值,考查计算能力. 14.已知数列{an}满足 a1=0,a2=1,an+2=3an+1﹣2an,则通项公式 an= 2
n﹣1

﹣1



考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:通过数列的递推关系式,推出新数列是等比数列,然后求解通项公式,利用累加法求 解即可. 解答: 解:∵an+2=3an+1﹣2an,∴an+2﹣an+1=2(an+1﹣an) , ∴ ,

∴数列{an+1﹣an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,∴







,…,



∴ ∴
n﹣1

, ,

故答案为:2 ﹣1. 点评:本题考查等比数列的证明方法;累加法求通项公式;等比数列的求和公式,考查分析 问题解决问题的能力. 15.下列命题: ①函数 y= 的单调区间是(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞) . )的一个单调递增区间是 图象关于直线
x

②函数 y=2sin(2x﹣ ③函数

; 对称. 垂直的切线,

④已知函数 f(x)=e ﹣mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y= 则实数 m 的取值范围是 m>2. 其中正确命题的序号为 ②④ . 考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析: ①函数 y=

,只讨论在(﹣∞,﹣1)和(﹣1,+∞)的单调性;

②③根据三角形函数的图象和性质判断; ④求出曲线 C:f(x)的导数,即 C 的切线斜率,因与直线 y= x 垂直,可得 m 的取值范 围. 解答: 解:对于①函数 y= =1﹣ 在区间(﹣∞,﹣1)和(﹣1,+∞)都是增函

数,但在(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞)上不是增函数.故①错误; 对于②函数 y=2sin(2x﹣ +kπ≤x≤kπ+ 对于③函数 k=1 收,x= ,当 k=0 时,x= )的单调递增,﹣ ≤x≤ +2kπ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,即﹣

,当 k=0 时,即为,即﹣

,故②正确; =kπ+ ,即 x= + ,当

图象的对称轴为 2x+ ,故③错误;

对于④∵曲线 C 的方程: f (x) =e ﹣mx+1, ∴f′ ( x) =e ﹣m, 由曲线 C 的切线与直线 y= x 垂直,得(e ﹣m)? =﹣1,∴m=e +2>2,故④正确; 故答案为:②④. 点评:本题通过命题真假的判定, 考查了函数的单调性, 三角函数的性质, 导数知识的应用, 是容易出错的题目,属于中档题. 三、解答题(6 题 80 分) 16.已知在等差数列{an}中,a2=11,a5=5. (1)求通项公式 an; (2)求前 n 项和 Sn 的最大值. 考点:等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:(1)设等差数列{an}的公差为 d,可得
2 x x

x

x

,解之代入通项公式可得; (2)

由(1)可得 Sn=﹣(n﹣7) +49,由二次函数的最值可得. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 ,解得

∴an=13+(n﹣1) (﹣2)=﹣2n+15 (2)由(1)可得 Sn=13n+ =﹣n +14n=﹣(n﹣7) +49 当 n=7 时,Sn 有最大值,为 S7=49 点评:本题考查等差数列的通项公式和求和公式,属基础题. 17. △ ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 向量 m= (2sinB, 2﹣cos2B) , n= (1+sinB, ﹣1) ,且 m⊥n. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 不是钝角三角形,且 a= ,b=1,求△ ABC 的面积. 考点:正弦定理;平面向量数量积的运算. 专题:解三角形. 分析: (Ⅰ)由两向量垂直时满足的关系列出关系式,求出 sinB 的值,即可确定出角 B 的大小; (Ⅱ)法 1:由三角形不为钝角三角形,求出 B 的度数,再由 a 与 b 的值,利用正弦定理求 出 sinA 的值,确定出 A 的度数,进而得到 C 为直角,即可求出三角形 ABC 面积;法 2: 由三角形不为钝角三角形,求出 B 的度数,利用余弦定理求出 c 的值,再利用三角形面积 公式即可求出三角形 ABC 面积. 解答: 解: (Ⅰ)∵ =(2sinB,2﹣cos2B) , =(1+sinB,﹣1) ,且 ⊥ ,
2 2

∴2sinB+2sin B+cos2B﹣2=2sinB+2sin B﹣2sin B+1﹣2=0,即 sinB= , ∵B 为三角形内角, ∴B= 或 ;

2

2

2

(Ⅱ)法 1:∵△ABC 不是钝角三角形, ∴B= ,

由正弦定理 ∴A= ,即 C=

= , ;

得:sinA=

=

=



则 S△ ABC= ab=

法 2:∵△ABC 不是钝角三角形, ∴B= ,
2 2 2

由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB, 2 ∴1=3+c ﹣3c, ∴c=1 或 c=2, 经检验,当 c=1 时,△ ABC 是钝角三角形,不符合题意,舍去, 则 S△ ABC= acsinB= .

点评:此题考查了正弦定理,平面向量的数量积运算,以及余弦定理,熟练掌握定理是解本 题的关键. sin2x﹣cos x﹣ ,x∈R. ]时,求函数 f(x)的最小值和最大值; ,f(C)=0,sinB=2sinA,求 a,b 的值.
2

18.已知函数 f(x)= (Ⅰ)当 x∈[﹣ ,

(Ⅱ)设△ ABC 的对边分别为 a,b,c,若 c=

考点:余弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题:解三角形. 分析: (Ⅰ)f(x)解析式利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后再利用两角和与差的 正弦函数公式化为一个角的正弦函数, 由 x 的范围求出这个叫哦的范围, 利用正弦函数的值 域即可确定出 f(x)的最小值和最大值; (Ⅱ)由 f(C)=0,以及第一问确定的函数解析式,求出 C 的度数,利用正弦定理化简 sinB=2sinA,得到 b=2a,再利用余弦定理列出关系式,将 b=2a,c,以及 cosC 的值代入求 出 a 与 b 的值即可. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)= sin2x﹣ ﹣ = sin2x﹣ cos2x=sin(2x﹣ )﹣1,

∵x∈[﹣ ∴2x﹣ ∴﹣

, ∈[﹣

], , ], )≤1, )﹣1≤0, ,最大值为 0; )﹣1=0,

≤sin(2x﹣

即﹣1﹣

≤sin(2x﹣

∴f(x)的最小值为﹣1﹣

(Ⅱ)由 f(C)=0,得 f(C)=sin(2C﹣ 即 sin(2C﹣ ∵C∈(0,π) , ∴2C﹣ ∴2C﹣ 即 C= ∈(﹣ = , , , ) , )=1,

由正弦定理化简 sinB=2sinA,得:b=2a, 由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC, 将 c= ,b=2a,cosC= ,
2 2 2 2 2 2 2

代入得:3=a +4a ﹣2a =3a , 解得:a=1, 则 a=1,b=2a=2. 点评:此题考查了正弦、余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,二倍角的余弦函数公式, 以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

19.已知数列{an}满足 a1=3, (1)证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 考点:数列递推式;等差数列的通项公式;数列的求和. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 ,可得

,数列{bn}满足



,然后检验 bn+1﹣bn 是否为常数即可证明,进

而可求其通项 (2)由题意可先求 an,结合数列的通项的特点,考虑利用错位相减求和即可求解

解答: 解(1)证明:由

,得





﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分)

所以数列{bn}是等差数列,首项 b1=1,公差为 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ∴ (2) ﹣(7 分) ∴Sn=a1+a2+…+an=3×1+4×3+…+(n+2)×3 ∴ (9 分) ①﹣②得 =2+1+3+3 +…+3
2 n﹣1 n﹣1

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣①

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

﹣(n+2)×3 =

n

﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评:本题主要考查了利用数列的递推公式证明等差数列,及等差数列的通项公式的应用, 数列的错位相减求和方法的应用. 20.已知函数 f(x)=mx﹣lnx(m∈R) (Ⅰ)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在 x=2 处切线方程; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间. 考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先将 m=1 代入函数的表达式,求出函数的导数,从而求出切点的坐标以及 直线的斜率,代入点斜式方程整理即可; (Ⅱ)先求出函数的导数,通过讨论 m 的符号,从而得到函数的单调区间. 解答: 解: (Ⅰ)m=1 时,f(x)=x﹣lnx, ∴f′(x)=1﹣ ,f′(2)= ,f(2)=2﹣ln2, ∴切线方程为:y﹣2+ln2= (x﹣2) , 即:x﹣2y﹣2ln2+2=0. (Ⅱ)∵f′(x)=m﹣ = , (x>0) ,

①m>0 时,令 f′(x)>0,解得:x> , 令 f′(x)<0,解得:0<x< , ∴f(x)在(0, )递减,在( ,+∞)递增, ②m<00 时,f′(x)<0, ∴f(x)在(0,+∞)递减. 点评:本题考查了函数的单调性,导数的应用,考查曲线的切线方程问题,是一道中档题. 21.已知 f(x)=(x +ax+a)e (a≤2,x∈R) . (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的极大值为 3?若存在,求出 a 的值,若不存在,说明理由. 考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题. 分析: (1)把 a=1 代入,对函数求导,分别解不等式 f′(x)>0,f′(x)<0,从而可求 函数的单调区间 (2)先假设 f(x)的极大值为 3.仿照(1)研究函数的单调区间,由单调区间求出函数的 极大值,结合条件进行判断. 解答: 解: (1)当 a=1 时,f(x)=(x +x+1)e ;f′(x)=e (﹣x +x) (2 分) 当 f′(x)>0 时,0<x<1.当 f′(x)<0 时 x>1 或 x<0 ∴f(x)的单调递增区间为(0,1) , 单调递减区间为(﹣∞,0) (1,+∞) (4 分) (2)f′(x)=(2x+a)e ﹣e (x +ax+a)=e [﹣x +(2﹣a)x](6 分) 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2﹣a,列表如下:
﹣x ﹣x

2

﹣x

2

﹣x

﹣x

2

2

﹣x

2

由表可知 f(x)极大=f(2﹣a)=(4﹣a)e (8 分) a﹣2 a﹣2 设 g(a)=(4﹣a)e ,g′(a)=(3﹣a)e >0(10 分) a﹣2 ∴g(a)在(﹣∞,2)上是增函数,∴g(a)≤g(2)=2<3∴(4﹣a)e ≠3 ∴不存在实数 a 使 f(x)最大值为 2 分) 点评: 本题主要考查了导数的基本运用: 由函数的导数的符号变化研究函数的单调区间与 极值,试题的难度一般不大,属于基础试题 .而存在性问题常是先假设存在,再由假设推导,看是否产生矛盾.

a﹣2


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