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《走向高考》2014高三数学二轮专题复习课件:9-1几何证明选讲


走向高考· 数学
新课标版 ·二轮专题复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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专题九

选 内 考 容

专题九 选考内容

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专题


第一讲 几 证 选 何 明 讲

专题九

第一讲

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考向聚焦

3

高频考点

核心整合

4

课后强化作业

专题九

第一讲

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考向聚焦

专题九

第一讲

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考向分析 () 考查相似三角形的判定与性质及平行截割定理; 1 () 考查圆幂定理及其应用. 2 命题规律 主要以大题形式考查与圆有关的定理和相似三角形.

专题九

第一讲

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核心整合

专题九

第一讲

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知识方法整合 1.相似三角形的判定及有关性质 () 平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上 1 截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等. () 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 2 所得的线段对应成比例.

专题九

第一讲

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() 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必经过三 3 角形第三边的中点. () 经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线必经过梯 4 形另一腰的中点. () 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) 5 所得的对应线段成比例.

专题九

第一讲

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() 相似三角形的性质定理:相似三角形的对应角相 6 等.相似三角形的对应边成比例.相似三角形对应高的比、 对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比;相似三角 形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似 比;相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的 平方.

专题九

第一讲

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() 相似三角形的判定定理:如果一个三角形的两个角与 7 另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似; 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应 成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似; 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应 成比例,那么这两个三角形相似.

专题九

第一讲

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() 直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两 8 条直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在 斜边上的射影与斜边的比例中项.

专题九

第一讲

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2.直线与圆的位置关系 () 圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆 1 心角度数的一半. () 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 2 () 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 3

专题九

第一讲

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() 圆内接四边形的性质定理与判定定理: 4 圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形的外角等于它 的内对角的度数. 如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶 点在同一个圆上; 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个 四边形的四个顶点在同一个圆上.

专题九

第一讲

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() 切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. 5 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线. () 相交弦定理:圆内两条相交弦,被交点分成两条线段 6 长度的积相等. () 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长 7 是这点到割线与圆的两个交点的线段的比例中项.

专题九

第一讲

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() 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,两切线长 8 相等;圆心和这点的连线平分两切线的夹角. () 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等 9 的圆周角所对的弧相等. (0 半圆(或直径)所 的 周 是 角 1) 对圆角直; 对的弦是直径. 90° 的圆周角所

专题九

第一讲

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(1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点 1) 且垂直于切线的直线必经过圆心. (2 从圆外一点引圆的两条割线,这点到每条割线与圆的 1) 两个交点的两条线段长的积相等.

专题九

第一讲

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疑难误区警示 1.相似三角形对应角所对的边是对应边,写比例关系 时,一定要注意对应. 2.应用直角三角形射影定理、切割线定理时,对应的线 段要找准. 3.与圆有关的问题,注意通过圆心角、圆周角、弦切 角、圆内接四边形的外角实现角之间的传递转化.

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第一讲

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高频考点

专题九

第一讲

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相似三角形的判定及性质
(文)(2012· 吉林省实验中学模拟)如图,BA是⊙ O的直径,AD是切线,BF、BD是割线,求证:BE· BF= BC· BD.

专题九

第一讲

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[解析] AD,

证法1:连接CE,过B作⊙O的切线BG,则BG∥

∴∠GC =∠F B ,又∠GC =∠CB , B D B E ∴∠CB =∠F B . E D 又∠CE 是△B E 和△B F 的公共角, B C D BC BE ∴△B E ∽△B F ,∴BF=BD, C D 即BE· BF=BC· BD.

专题九

第一讲

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证 2: 接 AC、AE,∵AB是 径 法 连 直 , AD是 线 切, ∴AB⊥AD,AC⊥BD,∠CB =∠CB . E A

专题九

第一讲

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∵在△ABC中,∠CB =90° A -∠CA ,在△BAD中,∠ B D=90° -∠CA , B ∴∠CB =∠D,∴∠CB =∠D, A E ∴C,E,F,D四点共圆, ∴BE· BF=BC· BD. 证法3:连接AC、AE, ∵AB是直径,AD是切线,

专题九

第一讲

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∴AB⊥AD,AC⊥BD,AE⊥BF, 由射影定理有AB2=BC· BD,AB2=BE· BF, ∴BE· BF=BC· BD.

专题九

第一讲

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[点评]

三形似证方很,题应据 角相的明法多解时根条

件,结合图形选择恰当的方法.一般的思考程序是:先找两 对内角对应相等;若只有一个角对应相等,再判定这个角的 两邻边是否对应成比例;若无角对应相等,就要证明三边对 应成比例.

专题九

第一讲

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(理)02 ( 1· 2

山西 高 联 模 省考合拟

)如 , 形 图梯

AC 内 于 BD 接 P,

圆O,AD∥BC, 点 C作 O的 线 交 过 圆 切, 交AD的 长 于 延线点 E.

BD的 长 于 延线点

() 求 : AB2=DE· 1 证 BC; () 若BD=9,AB=6,BC=9, 切 2 求 线 PC的 . 长

专题九

第一讲

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[解析]

() ∵AD∥BC,∴AB=DC, 1

∴∠E C =∠B D , D C 又PC与⊙O相切,∴∠E D =∠DC . C B CD DE ∴△C E ∽△B D ,∴ = , D C BC CD ∴CD2=DE· BC,即AB2=DE· BC.

专题九

第一讲

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AB2 62 () 由() 知DE= 2 1 = =4, BC 9 PD DE 4 ∵△P E ∽△PBC,∴ PB =BC=9, D 36 81 ∵PB-PD=9,∴PD= ,PB= , 5 5 36 81 542 ∴PC2=PD· PB= 5 × 5 = 52 , 54 ∴PC= . 5

专题九

第一讲

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(0 3· 21 江苏,2A 如 , AB和BC分别与圆O相切于点D, 1) 图 C,AC经过圆心O,且BC=2OC.

求证:AC=2AD.

专题九

第一讲

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[解析]

连接OD,因为AB和BC分别与圆O相切于点D,

C,所以∠A O =∠A B =9° D C 0 . 又因为∠A=∠A,所以Rt△A O ∽Rt△A B . D C

BC AC 所以OD=AD. 又BC=2OC=2OD,故AC=2AD.
专题九 第一讲

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与圆有关的比例线段及圆的有关性质

(文)如图,圆O的直径AB=d,P是AB延长线上一 点,BP=a,割线PCD交圆O于点C、D,过点P作AP的垂 线,交直线AC于点E,交直线AD于点F.

专题九

第一讲

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() 求证:∠PEC=∠P F ; 1 D () 求PE· 2 PF的值.

专题九

第一讲

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[解析]

() 连接BC, 知 ∠A B =∠APE=9° 即P、 1 易 C 0 .

B、C、E四点共圆. ∴∠PEC=∠CA . B 又A、B、C、D四点共圆,∴∠CA =∠P F , B D ∴∠PEC=∠P F . D () ∵∠PEC=∠P F ,∴F、E、C、D四点共圆. 2 D ∴PE· PF=PC· PD=PB· PA=a(a+d).

专题九

第一讲

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[点评]

() 比 线 常 平 线 生 因 研 比 线 1 例段由行产,而究例

段问题应注意平行线的作用,在没有平行线时,可以添加平 行线而促成比例线段的产生.() 利用平行线转移比例是常用 2 的证题技巧,当题中没有平行线条件而有必要转移比例时, 也常添引辅助平行线,从而达到转移比例的目的.() 在有关 3 圆的问题中,若遇到比例线段,常常要考查相似三角形和圆 幂定理(即切线长定理、切割线定理、相交弦定理),寻找是否 为相交弦或切割线,或有关圆周角、弦切角、圆心角的相等 关系,就是主要考虑方向.
专题九 第一讲

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(理)02 ( 1· 2

河洛统 南阳考

)如图,在△ABC和△A D 中,∠ C

A B =∠A C =90° C D ,∠BAC=∠CD ,⊙O是以AB为直径的 A 圆,DC的延长线与AB的延长线交于点E.

() 求证:DC是⊙O的 线 1 切; () 若EB=6,EC=6 2,求BC的长. 2

专题九

第一讲

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[解析]

() ∵AB是⊙O的直径,∠A B =90° 1 C ,

∴点C在⊙O上. 连接OC,可得∠O A =∠OC =∠DC , C A A ∴OC∥AD.又∵AD⊥DC,∴DC⊥OC. ∵OC为⊙O半径,∴DC是⊙O的切线.

专题九

第一讲

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() ∵DC是⊙O的 线 2 切 , ∴EC2=EB· EA. 又∵EB=6,EC=6 2,∴EA=12,AB=6. 又∠E B =∠EAC,∠CB =∠AEC, C E ∴△E B ∽△EAC, C BC EC 2 ∴AC=EA= 2 ,即AC= 2BC. 又∵AC2+BC2=AB2=36,∴BC=2 3.

专题九

第一讲

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(03 21·

榆林一中模拟)已知Rt△ABC的 条 角 两直边

AC,BC

的长分别为3mc c 4m , 的值为________.

,以AC为直径的圆与AB交于点D,则BD

[答案]

16 5

专题九

第一讲

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[解析] ∴AB=5,

∵Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∠C为直角,

∵AC为⊙O的直径,∴∠A C 为直角, D BC2 16 ∴BC2=BD· AB,∴BD= = . AB 5

专题九

第一讲

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圆的两条弦AB、CD交于点F,从F点引BC的平 行线和直线DA的延长线交于点P,再从点P引这个圆的切线, 切点是Q.求证:PF=PQ.

专题九

第一讲

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[分析]

要证PF=PQ, 为 PQ为圆的切线,∴PQ2= 因

PA· PD,故只须证PF2=PA· PD,观察图形及条件可以发现, PF与PA在△APF中,PF与PD在△EPD中 若 证 这 个 ,能得两三 角形相似,则问题获解,由于两个三角形有公共角∠APF, 只须再找一角相等即可.由圆的几何性质不难证得∠AFP= ∠A F ,故△APF∽△FPD. D

专题九

第一讲

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[证 ] 明

因 A,B,C,D四 共 , 为 点圆

所 ∠A F =∠ABC. 以 D 因 PF∥BC, 以 ∠AFP=∠ABC, 为 所 所 ∠AFP=∠A F . 以 D 又 为 ∠APF=∠FPD, 因 PF PD 所 △APF∽ FPD, 以 PA = PF , 以 △ 所 所 PF2=PA· 以 PD. 因 PQ与 相 , 以 为 圆切所 PQ2=PA· PD.

所 PF2=PQ2, 以 PF=PQ. 以 所
专题九 第一讲

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(03 21·

新课标Ⅰ,22)如图,直线AB为圆的切线,切点为

B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE 交圆于点D.

专题九

第一讲

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() 证明:DB=DC; 1 () 设圆的半径为1,BC= 3 ,延长CE交AB于点F,求△ 2 B F 外接圆的半径. C

专题九

第一讲

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[解析]

() 连接DE,交BC于点G. 1

由弦切角定理得,∠ABE=∠B E . C 而∠ABE=∠CE ,故∠CE =∠B E ,BE=CE. B B C

专题九

第一讲

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又∵DB⊥BE,∴DE为 径 直 , ∠D E =90° C , 由勾股定理可得DB=DC. () 由() 知,∠C E =∠B E ,DB=DC, 2 1 D D 3 故DG是BC边的中垂线,所以BG= . 2 设DE的中点为O,连接BO,则∠B G =6° 从而∠ABE O 0 . =∠B E =∠CE =30° C B ,所以CF⊥BF, 故Rt△B F 外 圆 径 于 C 接半等 3 . 2

专题九

第一讲

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圆内接四边形的判定与性质
如图,已知A、B、C、D四点共圆,延长AD和 BC相交于点E,AB=AC.

() 证明:AB2=AD· 1 AE; () 若EG平分∠AEB, 与 AB、CD分别相交于点G、 2 且 F,证明:∠CG =∠B F . F G

专题九

第一讲

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[解析]

() 如图,连接BD. 1

因为AB=AC,所以∠ABC=∠A B . D 又因为∠BAD=∠EAB, 所以△ABD∽△AEB, AB AE 所以 = ,即AB2=AD· AE. AD AB

专题九

第一讲

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() 因为A、B、C、D四 共 , 以 2 点圆所

∠ABC=∠E F . D

又因为∠DF =∠BEG,所以∠DE =∠B F . E F G 又因为∠DE =∠CG ,所以∠CG =∠B F . F F F G

专题九

第一讲

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(03 21·

新课标Ⅱ,22)如图,CD为△ABC外接圆的切线,

AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的 点,且BC· AE=DC· AF,B,E,F,C四点共圆.

专题九

第一讲

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() 证明:CA是△ABC外接圆的直径; 1 () 若DB=BE=EA, 过 B,E,F,C四点的圆的面积与 2 求 △ABC外接圆面积的比值.

专题九

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[解析]

() 因为CD为△ABC外接圆的切线, 1

所以∠D B =∠A, C BC DC 由题设知 FA = EA , 故△C B ∽△AEF,所以∠DC =∠EA . D B F 因为B,E,F,C四点共圆,所以∠CE =∠DC , F B 故∠EA =∠CE =90° F F ,

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所以∠CA =90° B ,因此CA是△ABC外 圆 直 . 接的径

专题九

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() 连接CE,因为∠CE =90° 2 B ,所以过B,E,F,C四点 的圆的直径为CE, 由DB=BE,有CE=DC, 又BC2=DB· BA=2DB2, 所以CA2=4DB2+BC2=6DB2. 而CE2=DC2=DB· DA=3DB2, 故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的 1 比值为2.

专题九

第一讲

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[方法规律总结] 这一部分主要命题方式是将圆的有关角、比例线段或圆 内接四边形和三角形相似结合,求角,求线段长等,注意依 据条件和结论选择思维方向,如:①给出切线时,常作辅助 线是作过切点的半径,考虑方向是切割线定理,直角三角形 射影定理、弦切角与圆周角的互化等;②给出平行线时,主 要考虑角的关系及三角形相似;③有关圆的问题,求线段长 时,常考虑相交弦定理、切割线定理、射影定理、垂径定 理;④证明比例线段,主要通过三角形相似.
专题九 第一讲

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