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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1教案:第2章 知识归纳:平面向量与空间向量


知识归纳:平面向量与空间向量
平面向量及其运算 一、知识导学 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1.模(长度) :向量 AB 的大小,记作| AB |。长度为0的向量称为零向量,长度 等于1个单位长度的向量,叫做单位向量。 2.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,又叫做共线向量。 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量。 ? ? 4.相反向量:我们把与

向量 a 长度相等,方向相反的向量叫做 a 的相反向量。记 ? 作- a 。 5.向量的加法:求两个向量和的运算。

? ? ? ? 已知 a ,b 。在平面内任取一点,作 AB = a , BC = b ,则向量 AC 叫做 a 与 b 的
? ? 和。记作 a + b 。

6. 向量的减法:求两个向量差的运算。

? ? ? ? ? ? 已知 a , b 。在平面内任取一点 O,作 OA = a , OB = b ,则向量 BA 叫做 a 与 b
? ? 的差。记作 a - b 。

7.实数与向量的积:
? ? (1)定义: 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a ,并规定: ? ? ? ①λ a 的长度|λ a |=|λ |·| a |; ? ? ②当 λ >0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同; ? ? 当 λ <0 时,λ a 的方向与 a 的方向相反; ? ? 当 λ =0 时,λ a = 0

(2)实数与向量的积的运算律:设 λ 、μ 为实数,则 ? ? ? ? ? ① λ (μ a )=(λ μ ) a ② (λ +μ ) a =λ a +μ a
? ? λ ( a + b )=λ a +λ b



? ? 8.向量共线的充分条件:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实 ? ? 数 λ ,使得 b =λ a 。

-1-

? ? ? ? 另外,设 a =(x1 ,y1), b = (x2,y2),则 a // b ? x1y2-x2y1=0
? ? 9.平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这
? 一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 λ 1、λ
2

使

? ? ? a =λ 1 e1 +λ 2 e2 ,

? ? 其中不共线向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
10.定比分点 设 P1,P2 是直线 l 上的两点,点 P 是不同于 P1,P2 的任意一点则存在一个实数 λ , 使P 1P 2 =λ P 1P 2 ,λ 叫做分有向线段所成的比。若点 P1、P、P2 的坐标分别为(x1, y1),(x,y),

(x2,y2) ,则有

x1 ? x2 ? ?x ? 2 特别当 λ =1,即当点 P 是线段 P1P2 的中点时,有 ? y ? y2 ?y ? 1 2 ?
11.平面向量的数量积

? ? ? ? (1)定义:已知两个非零向量 a 和 b ,它们的夹角为 θ ,则数量| a || b |cosθ 叫
? ? ? ? ? ? ? 做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a · b ,即 a · b =| a || b |cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积是 0。 ? ? ? ? ? ? ? (2)几何意义:数量积 a · b 等于 a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影| b |cosθ 的乘积。

? ? ? ? ? ? (3)性质:设 a ,b 都是非零向量,e 是与 b 方向相同的单位向量,θ 是 a 与 e 的夹
? ? ? ? ? 角,则 e · a = a · e =| a |cosθ

? ? ? ? , a ⊥ b ? a · b =0

? ? ? ? ? ? 当 a 与 b 反向时, a · b =-| a || b | ? ? ? ? ? 2 ? ? ? a ?b 特 别 地 , a · a = | a | 或 | a | = a?a cosθ = ? ? a?b ? ? ? ? | a · b |≤| a || b |
-2-

? ? ? ? ? ? 当 a 与 b 同向时, a · b =| a || b |

(4) 运算律:

? ? ? ? a · b = b · a ( 交换律 )

? ? ? ? (λ a )· b = λ ( b · a ) =

? ? a ·(λ b )
? ? ? ? ? ? ? ( a + b )· c = a · c + b · c
(5)平面向量垂直的坐标表示的充要条件: ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a · b =| a |·| b |cos90°=0 设 a =(x1 ,y1), b = (x2,y2),则

? ? a ? b ? x1x2+y1y2=0
12.平移公式:设 P(x,y)是图形 F 上的任意一点,它在平移后图形 F 上对应 点为 P/(x/,y/) ,且设 PP/ 的坐标为(h,k) ,则由 OP / = OP + PP/ ,得: (x/, y/)=(x,y)+(h,k) 二、疑难知识导析 1.向量的概念的理解,尤其是特殊向量“零向量” 向量是既有大小,又有方向的量.向量的模是正数或 0,是可以进行大小 比较的, 由于方向不能比较大小, 所以向量是不能比大小的. 两个向量的模相等, 方向相同,我们称这两个向量相等,两个零向量是相等的,零向量与任何向量平 行,与任何向量都是共线向量; 2. 在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点; 3.对于坐标形式给出的两个向量,在运用平行与垂直的充要条件时,一定要 区分好两个公式,切不可混淆。因此,建议在记忆时对比记忆; 4.定比分点公式中则要记清哪个点是分点;还有就是此公式中横坐标和纵坐 标是分开计算的; 5.平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式,故在使用的过程中须将 起始点的坐标给出,同时注意顺序。 三、经典例题导讲 [例 1] 和 a = (3,-4)平行的单位向量是_________; 错解:因为 a 的模等于 5,所以与 a 平行的单位向量就是 错因:在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。 3 4 1 a ,即 ( ,- ) 5 5 5
/

-3-

正解:因为 a 的模等于 5,所以与 a 平行的单位向量是 ? 3 4 , ) 5 5

3 4 1 a ,即( ,- )或(- 5 5 5

点评:平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和 a = (3, -4)垂直的单位向量” ,结果也应该是两个。 [例 2]已知 A(2,1) ,B(3,2) ,C(-1,4) ,若 A、B、C 是平行四边形的三个顶 点,求第四个顶点 D 的坐标。 错解:设 D 的坐标为(x,y) ,则有 x-2=-1-3,y-1=4-2 , 即 x=-2,y=3。故所求 D 的坐标为(-2,3) 。 错因:思维定势。习惯上,我们认为平行四边形的四个顶点是按照 ABCD 的顺序。 其实,在这个题目中,根本就没有指出四边形 ABCD。因此,还需要分类讨论。 正解:设 D 的坐标为(x,y) 当四边形为平行四边形 ABCD 时,有 x-2=-1-3,y-1= 4-2 , 即 x= -2,y= 3。解得 D 的坐标为(-2,3) ; 当四边形为平行四边形 ADBC 时,有 x-2=3-(-1) ,y-1= 2-4 , 即 x= 6,y= -1。解得 D 的坐标为(6,-1) ; 当四边形为平行四边形 ABDC 时,有 x-3=-1-2,y-2= 4-1 , 即 x= 0,y= 5。解得 D 的坐标为(0,5) 。 故第四个顶点 D 的坐标为(-2,3)或(6,-1)或(0,5) 。 [例 3]已知 P1(3,2),P2(8,3) ,若点 P 在直线 P1P2 上,且满足|P1P|=2|PP2|,求 点 P 的坐标。 错解:由|P1P|=2|PP2|得,点 P 分 P1P2 所成的比为 2,代入定比分点坐标公式得 P (
19 8 , ) 3 3

错因:对于|P1P|=2|PP2|这个等式,它所包含的不仅是点 P 为 P1,P2 的内分点这 一种情况,还有点 P 是 P1,P2 的外分点。故须分情况讨论。 正解:当点 P 为 P1,P2 的内分点时,P 分 P1P2 所成的比为 2,此时解得 P(
19 8 , ) ; 3 3

当点 P 为 P1,P2 的外分点时,P 分 P1P2 所成的比为-2,此时解得 P(13,

-4-

4) 。 则所求点 P 的坐标为(
19 8 , )或(13,4) 。 3 3

点评:在运用定比分点坐标公式时,要审清题意,注意内外分点的情况。也就是 分类讨论的数学思想。

? ? ? ? ? ? [例 4] 设向量 a ? ( x1 , y1 ) ,b ? ( x2 , y2 ) ,b ? 0 ,则“ a // b ”是“ x1 y 2 ? x2 y1 ”
的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

分析:根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可. ? ? ? ? ? ? 解:若 a // b ,∵ b ? 0 ,则 a ? rb , 代入坐标得:( x1 , y1 ) ? r ( x2 , y2 ) , 即 x1 ? rx 2 且 y1 ? ry 2


消去 r , 得 x1 y 2 ? x2 y1 ;

反之,若 x1 y 2 ? x2 y1 ,则 x1 ? rx 2 且 y1 ? ry 2 ,即 ( x1 , y1 ) ? r ( x2 , y2 )

? ? ? ? 则 a ? rb ,∴ a // b ? ? 故“ a // b ”是“ x1 y 2 ? x2 y1 ”的充要条件.
答案:C 点评:本题意在巩固向量平行的坐标表示. ? ? ? ? ? [例 5].已知 a =(1,-1), b =(-1,3), c =(3,5),求实数 x、y,使 c =x a

? +y b .
分析:根据向量坐标运算和待定系数法,用方程思想求解即可. 解:由题意有 ? ? x a +y b =x(1,-1)+y(-1,3)=(x-y,-x+3y).
? 又 c =(3,5)

∴x-y=3 且-x+3y=5 解之得 x=7 且 y=4 点评:在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法.

-5-

[例 6]已知 A(-1,2),B(2,8), AC = 向量 CD 的坐标.

1 1 AB , DA = - BA ,求点 C、D 和 3 3

分析:待定系数法设定点 C、D 的坐标,再根据向量 AC AB , DA 和 CD 关系进 行坐标运算,用方程思想解之. 解:设 C、D 的坐标为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,由题意得

AC =( x1 ? 1, y1 ? 2 ), AB =(3,6), DA =( ? 1 ? x2 ,2 ? y 2 ), BA =(-3,-6)
1 1 AB , DA = - BA 3 3 1 1 ∴( x1 ? 1, y1 ? 2 )= (3,6), ( ? 1 ? x2 ,2 ? y 2 )=- (-3,-6) 3 3

又 AC =

即 ( x1 ? 1, y1 ? 2 )=(1,2) , ( ? 1 ? x2 ,2 ? y 2 )=(1,2) ∴ x1 ? 1 ? 1 且 y1 ? 2 ? 2 , ? 1 ? x2 ? 1 且 2 ? y 2 ? 2 ∴ x1 ? 0 且 y1 ? 4 ,且 x2 ? ?2 y 2 ? 0 ∴点 C、D 和向量 CD 的坐标分别为(0,4)、(-2,0)和(-2,-4) 小结:本题涉及到方程思想,对运算能力要求较高. 四、典型习题导练 1. a ? AB, A(2, y), B(?3,2), 若 a ? ( x,1) ,则有( A. x ? ?1, y ? ?1 C. x ? 5, y ? ?1 B. x ? ?5, y ? 1 D. x ? ?5, y ? 3
?

?

?



2. (2006 年高考浙江卷) 设向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 , a ? b,| a |? 1,| b |? 2 ,则 | c |2 ? (A)1 (B)2 (C)4 (D)5

3. 将函数 y= 4x-8 的图象 L 按向量 a 平移到 L/,L/的函数表达式为 y= 4x,则向 量a= 4. 从点 A(2,?1) 沿向量 a ? 3 i ? 6 j 方向取线段 AB,使 | AB |? 5 ,则 B 点坐标为 5. m 、 n 是单位向量, m 与 n 的夹角为
? ?

?

?
?

?

?

?

?
3

, a ? 2 m ? n , b ? m ? 2 n ,以 a 、 b 为邻

?

?

?

?

?

?

?

?

-6-

边作平行四边形。求平行四边形对角线的长。 6.(2006 年高考辽宁卷)已知 ?ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向 量 p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p // q ,则角 C 的大小为 (A)

? 6

(B)

? 3

(C)

? 2

(D)

2? 3

平面向量与代数、几何的综合应用 一、知识导学 1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和,减去这两边与它 们夹角的余弦的积的 2 倍,即
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

2.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 接圆的直径,即 二、疑难知识导析 1.初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。 如当 C =
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

? 时, cos C =0,此时有 c 2 ? a 2 ? b 2 ; 2

2.由于本节内容与代数、几何联系比较紧,故读者需对解斜三角形、解析几何 中的圆锥曲线等知识非常熟悉方可。 三 经典例题导讲 [例 1]在 ABC 中,已知 a2=b2+bc+c2,则角 A 为( A. )

? 3

B.

? 6

C.

2? 3

D.

? 2? 或 3 3

错解:选 A 错因:公式记不牢,误将余弦定理中的“减”记作“加”。 正解:∵a2=b2+bc+c2=b2+c2-2bc(-
2? 3 1 2? )=b2+c2-2bc·cos ∴∠A= 2 3

选 C.
-7-

[例 2]在△ABC 中,已知 a cos A ? b cos B ,试判别其形状。 错解:等腰三角形。 错因:忽视了两角互补,正弦值也相等的情形。 直接由 a cos A ? b cos B 得, sin A cos A ? sin B cos B , 即 sin 2 A ? sin 2 B ,则 2 A ? 2 B 。接着下结论,所求三角形为等腰三角形 正解:由 a cos A ? b cos B 得, sin A cos A ? sin B cos B ,即 sin 2 A ? sin 2 B 则 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2B ? 1800 ,故三角形为直角三角形或等腰三角形。 [例 3]在 ?ABC 中 ?C ? 30?, c ? 6 ? 2 ,试求 ?ABC 周长的最大值。并判断此时三 角形的形状。 错解:由于题目中出现了角和对边,故使用余弦定理,进一步想使用不等式或二 次函数求最值 错因:其实这种思路从表面上看是可行的,实际上处理过程中回遇到无法进行下 去的困难。 正解:由正弦定理,得 a=2( 6 ? 2 )sinA, b=2( 6 ? 2 )sinB.
A? B A? B cos 2 2

a+b=2( 6 ? 2 )(sinA+sinB)=4( 6 ? 2 )sin sin
A? B 6? 2 =sin75o= 2 4

a+b=( 6 ? 2 )2 cos

A? B ≤( 6 ? 2 )2=8+4 3 . 2

当 a=b 时,三角形周长最大,最大值为 8+4 3 + 6 ? 2 . 此时三角形为等腰三 角形 [例 4]在 ?ABC 中,?A ? 60?, | AC |:| AB |? 8 : 5 ,其内切圆面积为 12? ,求 ?ABC 面 积。 分析:题中涉及到内切圆,而内切圆直接与正弦定理联系起来了,同时正弦定理 和余弦定理又由边联系起来了。 解:由已知,得内切圆半径为 2 3 . 由余弦定理,得三角形三边分别为 16,10,14. [例 5]已知定点 A(2,1)与定直线 l :3x-y+5=0,点 B 在 l 上移动,点 M 在线段 AB 上,且 分 AB 的比为 2,求点 M 的轨迹方程.
-8? ?

分析:向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,形成了代数与 几何联系的新纽带 . 解:设 B(x0,y0),M(x,y) ∴ AM =(x-2,y-1), MB =(x0-x,y0-y),由题知 AM =2 MB

? x ? 2 ? 2( x0 ? x) ∴? ? y ? 1 ? 2( y0 ? y)

?

3x ? 2 ? x0 ? ? ? 2 ? ?y ? 3y ?1 0 ? 2 ?

由于 3x0-y0+5=0,∴3×

3x ? 2 3 y ? 1 +5=0 2 2

化简得 M 的轨迹方程为 9x-3y+5=0 [例 6]过抛物线:y2=2px(p>0)顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA、 OB(如图),求证:直线 AB 过一定点,并求出这一定点. 分析: 对于向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),有 a//b ? x1y2-x2y1=0.可以用来处理解析几 何中的三点共线与两直线平行问题. 证明:由题意知可设 A 点坐标为(

t12 t2 ,t1),B 点坐标为( 2 ,t2) 2p 2p

2 t12 t2 ∴ OA =( ,t1), OB =( ,t2), 2p 2p 2 t12 t2 ∵ OA ⊥ OB, ∴ OA ? OB =0 ? ? +t1 ? t2=0 2p 2p

? t1 ? t2=-4p

2

① 设直线 AB 过点 M(a,b),则 BM =(a2 t2 t2 t2 ,b-t2), BA =( 1 - 2 ,t1-t2), 2p 2p 2p

2 2 t2 t12 t 2 由于向量 BM 与 BA 是共线向量,∴(a)(t1-t2)= (b-t2)( ) 2p 2p 2p

化简得 2p(a-2p)=b(t1+t2) 显然当 a=2p,b=0 时等式对任意的成立 ∴直线 AB 过定点,且定点坐标为 M(2p,0) 四 习题导练

-9-

1.已知锐角三角形的边长分别为 2,3,x,则第三边 x 的取值范围是( A.1<x<5 B. 5 <x< 13 C. 13 <x<5



D.1<x< 5 _。 。

2. ?ABC 三顶点 A(1,1), B(3,4), C (?2,3) ,则 ?ABC 的面积为__ 3.△ABC 中,若边 a:b:c= 2 :(1+ 3 ):2,则内角 A=

4.某人在 C 点测得塔顶 A 在南偏西 80°,仰角为 45°,此人沿南偏东 40°方向 前进 10 米到 0,测得塔顶 A 仰角为 30°,则塔高= 5.在△ABC 中,已知 B=30°,b=50 状。 6.在△ABC 中,已知 cot A ? cot B ? cot C = ,判定△ABC 是什么三角形。 。

,c=150,解三角形并判断三角形的形

空间向量及其运算 一、知识导学 1 空间直角坐标系: (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1 ,这个
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基底叫单位正交基底,用{i, j, k} 表示; (2)在空间选定一点 O 和一个单位正交基底

{i, j, k} ,以点 O 为原点,分别以 i, j, k 的方向为正方向建立三条数轴:

x 轴、 y 轴、 z 轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间
直角坐标系 O ? xyz ,点 O 叫原点,向量 i, j , k 都叫坐标向量.

z

A(x,y,z) k

通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面, 分别称为 xOy 平面, yOz 平面, zOx 平面;
x

i

O j

y

2.空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A , 存在唯一的有序实数组 ( x, y, z ) , 使 OA ? xi ? y j ? z k , 有序实数组 ( x, y, z ) 叫作向 量 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,记作 A( x, y, z ) , x 叫横坐标, y 叫纵坐 标, z 叫竖坐标. 3.空间向量的直角坐标运算律: (1)若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , 则 a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,

? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) , a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ,
- 10 -

a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) , a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 .
(2)若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 ) . 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标 减去起点的坐标
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4 模长公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , 则 | a |? a ? a ? a1 ? a2 ? a3 . 5.夹角公式: cos a ? b ?
a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? . 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3

2

2

2

6 . 两 点 间 的 距 离 公 式 : 若
|A B ?|
2

A( x1, y1, z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , 则

A? B

2

2 ( ? ) x ? 2 ( 2 ?1y ) y ? 2 2( ? ) z 1x 1z
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二、疑难知识导学 1、对于这部分的一些知识点,读者可以对照平面向量的知识,看哪些知识可 以直接推广,哪些需要作修改,哪些不能用的,稍作整理,以便于记忆; 2、空间向量作为新加入的内容,在处理空间问题中具有相当的优越性,比原来 处理空间问题的方法更有灵活性,所以本节的学习难点在于掌握应用空间向量的 常用技巧与方法,特别是体会其中的转化的思想方法.如把立体几何中的线面关 系问题及求角求距离问题转化为用向量解决,如何取向量或建立空间坐标系,找 到所论证的平行垂直等关系,所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键. 3、向量运算的主要应用在于如下几个方面: (1)判断空间两条直线平行(共线)或垂直; (2)求空间两点间的距离; (3)求两条异面直线所成的角. 4、本节内容对于立体几何的应用,读者需自行复习,这里不再赘述。 三、例题导讲 [例 1]下列所表示的空间直角坐标系的直观图中,不正确的是( )

- 11 -

A

B

C

D

错解:B、C、D 中任选一个 错因:对于空间直角坐标系的表示不清楚。有共同的原点,且两两垂直的三 条数轴,只要符合右手系的规定,就可以作为空间直角坐标系. 正解:易知(C)不符合右手系的规定,应选(C). [例 2]已知点 A(-3,-1,1),点 B(-2,2,3),在 Ox、Oy、Oz 轴上分别取点 L、M、N,使它们与 A、B 两点等距离. 错因:对于坐标轴上点的坐标特征不明;使用方程解题的思想意识不够。 分析:设 Ox 轴上的点 L 的坐标为(x,0,0),由题意可得关于 x 的一元方程,从 而解得 x 的值.类似可求得点 M、N 的坐标. 解:设 L、M、N 的坐标分别为(x,0,0)、(0,y,0)、(0,0,z). 由题意,得 (x+3)2+1+1=(x+2)2+4+9, 9+1+(z-1)2=4+4+(z-

9+(y+1)2+1=4+(y-2)2+9, 3)2. 分别解得 x ? 3. y ? 1, z ?

3 3 ,故 L(3,0,0), M (0,1,0), N (0,0, ) 2 2

评注:空间两点的距离公式是平面内两点的距离公式的推广:若点 P、Q 的坐标分 别为(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2),则 P、Q 的距离为
PQ ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2

必须熟练掌握这个公式. [例 3]设 a ? (a1 , a2 , a3 ) ,b ? (b1, b2 , b3 ) ,且 a ? b ,记 | a ? b |? m ,求 a ? b 与 x 轴正方 向的夹角的余弦值
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错解:取 x 轴上的任一向量 c ? ( x,0,0) ,设所求夹角为 ? , ∵ (a ? b) ? c ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ( x,0,0) ? (a1 ? b1) x ∴ ? cos ? ?

(a ? b) ? c (a ? b ) x a ? b ? 1 1 ? 1 1 ,即余弦值为 ? a1 ? b1 mx m m | a ?b |?| c |

错因:审题不清。没有看清“ x 轴正方向” ,并不是 x 轴 正解:取 x 轴正方向的任一向量 c ? ( x,0,0) ,设所求夹角为 ? ,

- 12 -

∵ (a ? b) ? c ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ( x,0,0) ? (a1 ? b1) x ∴ cos ? ?

(a ? b) ? c (a ? b ) x a ? b ? 1 1 ? 1 1 ,即为所求 mx m | a ?b |?| c |

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[例 4]在Δ ABC 中,已知 AB =(2,4,0), BC =(-1,3,0),则∠ABC=___ 解:

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BA ? (?2, ?4,0), BC ? (?1,3,0),
BA ? BC | BA || BC | ? 2 ? 12 2 5 ? 10
=?

cos ? BA, BC ??

2 2

∴∠ABC=135°

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[例 5]已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5), ⑴求以向量 AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积 S; ⑵若向量 a 分别与向量 AB, AC 垂直,且| a |= 3 ,求向量 a 的坐标 分析:⑴? AB ? (?2,?1,3), AC ? (1,?3,2),? cos ?BAC ? ∴∠BAC=60°,? S ?| AB || AC | sin 60? ? 7 3 ⑵设 a =(x,y,z),则 a ? AB ? ?2x ? y ? 3z ? 0,
AB ? AC | AB || AC | ? 1 2
王新敞
奎屯 新疆

a ? AC ? x ? 3y ? 2z ? 0, | a |? 3 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3
解得 x=y=z=1 或 x=y=z=-1,∴ a =(1,1,1)或 a =(-1,-1,-1). [例 6]已知正方体 AC1 的棱长为 a , E 是 CC1 的中点, O 是对角线 BD1 的中点, 求异面直线 CC1 和 BD1 的距离
王新敞
奎屯 新疆

解:以 D 为原点, DA, DC, DD1 所在的直线分别为 x 轴, y 轴、 z 轴建立空间直角 坐标系,则 A(a,0,0), B(a, a,0), C (0, a,0) 设 E ( x, y, z ) ,∵ E 在平面 A1DB 上, ∴ A1E ? ? A1D ? ? A1B ,即 ( x ? a, y, z ? a) ? ? (?a,0, ?a) ? ? (0, a, a) ,
?x ? a ? ?a ? ∴ ? y ? ?a , ?z ? a ? ?a ? ?a ?

B1 (a, a, a), A1 (a,0, a), D(0,0,0) ,
A1

D1 B1 O D A B

C1 E C

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?( x, y ? 2, z )(?a,0, ?a) ? 0 ∵ CE ? A1D, CE ? BD ,∴ ? , ?( x, y ? 2, z )(?a, ?a,0) ? 0
解得: ? ? ? ?
2 1 1 1 3 ,∴ CE ? ( a, ? a, ? a) ,∴ CE ? a. 3 3 3 3 3
王新敞
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另外,此题也可直接求 B1C 与 BD 间的距离

设 B1C 与 BD 的公垂线为 OO1 ,且 O1 ? B1C, O ? BD , 设 O( x, y, z ) ,设 DO ? ? BD ,
? x ? ?? a ? 则 ( x, y, z ) ? ? (?a, ?a,0) ,∴ ? y ? ?? a ,∴ O(?? a, ?? a,0) ,同理 O1 (? a, a, ? a) , ?z ? 0 ?

∴ OO1 ? ((? ? ? )a, a ? ?a, ?a) ,∴ OO1 ? BD, OO1 ? B1C , ∴ OO1 ? BD ? 0, OO1 ? B1C ? 0 ,
2 1 1 1 1 3 解得: ? ? ? , ? ? , OO1 ? (? a, a, a) , | OO1 |? a. 3 3 3 3 3 3

四、习题导练 1.已知向量 a ? (0,2,1),b ? (?1,1,?2),则a与b 的夹角为( A.0° B.45° C.90° )

D.180°

2. 设 A、 B、 C、 D 是空间不共面的四点, 且满足 AB ? AC ? 0, AB ? AD ? 0, AC ? AD ? 0 则△BCD 是( A.钝角三角形 ) B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定

3 . 已 知 a, b 是 空 间 二 向 量 , 若 | a |? 3, | b |? 2, | a ? b |? 7 , 则a与b 的 夹 角 为 .

4.已知点 G 是△ABC 的重心,O 是空间任一点,若 OA ? OB ? OC ? ?OG, 则?的值 为 .
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5.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BC1⊥AB1,BC1⊥A1C 求证:AB1=A1C

6.如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1,底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2, M、N 分别是 A1B1,A1A 的中点, (1)求 BN的长; (2)求 cos ? BA1 , CB1 ? 的值; (3) 求证 : A1 B ? C1 M .

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